【高考精品复习】第六篇 数列 第4讲 数列求和

第4讲 数列求和

【高考会这样考】

1．考查非等差、等比数列求和的几种常见方法．

2．通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．

【复习指导】

1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．

2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．

基础梳理

数列求和的常用方法 1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；

(2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎨⎧

na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )

1－q ，q ≠1.

2．倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

一种思路

一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

两个提醒

在利用裂项相消法求和时应注意：

(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．

三个公式

(1)

1

n(n＋1)

＝

1

n－

1

n＋1

；

(2)

1

(2n－1)(2n＋1)

＝

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2n－1

－

1

2n＋1；

(3)

1

n＋n＋1

＝n＋1－n.

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)等比数列{a n}的公比q＝1

2，a8＝1，则S8＝()．

A ．254

B ．255

C ．256

D ．257 解析 由a 8＝1，q ＝1

2得a 1＝27， ∴S 8＝a 1(1－q 8

)1－q

＝

27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12

＝28

－1＝255. 答案 B

2．(2011·潍坊模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )．

A.n 24＋7n 4

B.n 23＋5n 3

C.n 22＋3n

4 D ．n 2＋n

解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，

a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，

∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n . 答案 A

3．(2011·北京海淀模拟)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为

S n ，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 的前

10项的和为( )．

A ．120

B ．70

C ．75

D ．100

解析 ∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)，∴

S n

n ＝n ＋2.

∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 前

10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.

答案 C

4．(2011·沈阳六校模考)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )． A.n [(－1)n －1]2

B.(－1)n －1＋12

C.(－1)n ＋12

D.(－1)n －12

解析 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝

－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －1

2.

答案 D

5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________. 解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25. 答案 －25

考向一 公式法求和

【例1】►已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列． (1)求公比q 的值；

(2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．

[审题视点] 求出公比，用等比数列求和公式直接求解． 解 (1)由题意得2a 5＝4a 1－2a 3. ∵{a n }是等比数列且a 1＝4，公比q ≠1， ∴2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，∴q 4＋q 2－2＝0， 解得q 2＝－2(舍去)或q 2＝1，∴q ＝－1.

(2)∵a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为a 2＝4×(－1)＝－4，公比为q 2＝1的等比数列，∴T n ＝na 2＝－4n .

应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数

列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．

【训练1】 在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ，并求a 9和S 8的值．

解 在等比数列{a n }中，设首项为a 1，公比为q ，由a 3＝9，a 6＝243，得q 3＝a 6

a 3

＝

243

9＝27，∴q ＝3.

由a 1q 2＝a 3，得9a 1＝9，∴a 1＝1.

于是，数列{a n }的通项公式为a n ＝1×3n －1＝3n －1，