高二文科数学导数知识点及基本题型.doc

高二文科数学导数

一、知识点梳理

（1）平均变化率

对于一般的函数

y

f x

，在自变量

x

从

x 1 变 化 到

x 2 的 过 程 中 ， 若 设 x

x 2

x 1 ,

f f ( x 2 ) f ( x 1) 则函数的平均变化率为

（ 2）导数的概念

一般的，定义在区间（ a ， b ）上的函数

f ( x) ，

x o

(a ， b) ，当 x 无限趋近于 0 时，

y f (x o x) f (x o )

A ，则称

f (x) 在 x

x o 处可导，并称 A 为

x

无限趋近于一个固定的常数

x

f ( x) 在 x x o 处的导数，记作 f ' ( x o )

或 f ' ( x ) | x

x o

（3 ）导数的几何意义

函数 y=f(x)在 x=x 0 处的导数等于在该点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的

。

（4 ）基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）

（ 5）函数单调性与导数： 在某个区间

(a ,b)

内，如果

f ' ( x) 0 ，那么函数 y f (x) 在这个区间

内

；如果 f '

(x)

0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内

．

说明：（ 1）特别的，如果

f ' ( x) 0 ，那么函数 y

f (x) 在这个区间内是常函数．

（6）求解函数y f (x) 单调区间的步骤：

（7）求可导函数f( x)的极值的步骤 : (1)确定函数的定义区间，求导数 f ′ (x) (2)求方程 f′ (x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x) 在这个根处无极值

（8）函数的最值与导数：一般地，在闭区间a, b上函数y f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 y f ( x) 在a, b上必有．

二、典型例题

x 在点 (1，－ 1)处的切线方程为()

1、曲线 y＝x－2

A ． y＝ x－ 2 B． y＝－ 3x＋ 2 C． y＝ 2x－ 3 D． y＝－ 2x＋ 1

2、函数y xln x 在区间()

(A) (0,

1

)上单调递减(B) (

1

, ) 上单调递减

e e

(C) (0, ) 上单调递减(D) (0, ) 上单调递增

3、若函数

( ) ( )

在处有极大值，则常数 c 的值为_________；

f x = x x-

2

x 2

c

4、函数f ( x) x e x 的一个单调递增区间是（）

(A)1,0(B)2,8(C)1,2(D)0,2

5、函数 f ( x) x312x 的极值是

6 、已知函数y ＝ f( x) 的导函数y ＝ f ′ (x) 的图象如下，则 ()

A ．函数 f(x)有 1 个极大值点， 1 个极小值点

B．函数 f(x)有 2 个极大值点， 2 个极小值点

C．函数 f(x)有 3 个极大值点， 1 个极小值点

D．函数 f(x)有 1 个极大值点， 3 个极小值点

7、已知 f ( x) ax 3bx 2cx( a 0) 在x 1 时取得极值，且 f (1)1．

Ⅰ、试求常数a、b、c 的值；

Ⅱ、试判断 x 1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．

三、练习

1、（基础题）设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，1

4)和(

1

2，1) 内分别

()

A ．单调递增，单调递减

B ．单调递增，单调递增C．单调递减，单调递增 D ．单调递减，单调递减

2、（基础题）函数 y=x2（ x－3）的减区间是

3、（基础题）函数f (x) x3 3ax b ( a 0) 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数 a，b 的值. （Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间.

4、（基础题）已知函数y＝ f(x)＝ln

x

x

.

(1)求函数 y＝ f( x)的图象在 x＝1

处的切线方程；e

(2)求 y＝ f(x)的最大值；

(3)设实数 a＞ 0，求函数 F(x) ＝ af(x)在 [a,2a] 上的最小值（选做）

5、（基础题）设 f（x） =x3－x2

－ 2x+5. 2

（1）求 f（ x）的单调区间；

（2）当 x∈［ 1， 2］时， f（ x）

6、（提高题，选做）设函数 f ( x) a2 ln x x 2 ax ，a 0

（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数 a ，使 e 1 f (x) e2对 x [1, e] 恒成立．注：e 为自然对数的底数．