2013届高考北师大版数学总复习课件：11.3二项式定理

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基 础 自 测
• 1.(2011·陕西理， 4)(4x－ 2 － x)6(x∈R) 展开式 中的常数项是( ) • A．－20 B．－15 • C．15 D．20 [解析] 本小题考查二项展开式的指定项的求法． • [答案] C
－x r x 6－r r r (12－3r)x Tr＋1＝Cr (4 ) · ( － 2 ) ＝ C ( － 1) 2 6 6
[解析] 由题意知， 1 x>12 ∴ 0<x<1 5
1 1 2 2 C62x >C62x
1 1 ，即 <x< . 12 5
求展开式中的指定项
1 x＋ n [例 1] 在二项式 前三项的系数 4 的展开式中， 2 x 成等差数列，求展开式中的有理项．
0 1 2 n n n C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＝ 2 2 n n n (3)二项式系数的和等于 ，即 n .
(4)二项式展开式中， 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 3 5 0 2 4 n C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n n n n n n 式系数和，即
n 1 [解析] ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1， ， n(n 2 8 －1)， n 1 ∴2· ＝1＋ n(n－1) 2 8 解得 n＝8 或 n＝1(舍去)
8－r r ∴Tr＋1＝C8x 2
1 3 r r －r 4－ r 4 4 ＝ C 82 x 2 x
3 当 4－ r∈Z 时，Tr＋1 为有理项． 4 ∵0≤r≤8，且 r∈Z，∴r＝0,4,8 符合要求． 35 1 －2 故有理项有 3 项，分别是 T1＝x ，T5＝ x，T9＝ x . 3 256
r＝2 得 T3＝40x2，∴x2 的系数为 40，故选 B.
• 5 ． (2011· 重庆文， 11)(1 ＋ 2x)6 的展开式中 x4的系数是________． • [答案 240 [解析] ] 此题考查求二项式展开式中的特定项，用生成法，
考虑 x4 项怎样生成．
4 (1＋2x)6 展开式中 x4 项系数为 C4 · 2 6 ＝240.
• 4．(2011·福建理，6)(1＋2x)5的展开式中， x2的系数等于( ) • A．80 B．40 • C．20 D．10 • [答案] B
[解析] 本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质．
r r r r (1＋2x)5 展开式中的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr (2 x ) ＝ 2 C5x ， 令 5
n
－ － －
n ＋…＋Cn nb (n∈N＋) _______________________ 这个公式所表示的定理叫做二项式定
理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系数 Cr n(r ＝0,1,2，„，n)叫做 二项式系数
n－r r Cr a b . n
n r r ．式中的 Cr b 叫做二项 na
令 12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝C4 6＝15.
3 x ＋ 2n 2．(2012· 辽宁省实验中学月考 )已知 3 的展开式 x 中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比值为 64，则 n 等于( A． 4 C． 6 ) B． 3 D． 7
[答案] B
[解析] 令 x＝1 可得各项系数的和为 42n，各项二项式系
6．(2010· 湖北理)在(x＋ 3 y)20 的展开式中，系数为有理 数的项共有______项．
4
[答案] 6
[解析] (x＋ 3y) 的通项
r r
4
20
r 20－r 4 Tr＋1＝C20x (
3y)
r
r r ＝C2034
x20
－
r y ，若系数为有理数，则 为整数，故共有 6 项． 4
• 7．若(1＋ 2x)6展开式中第2项大于它的相邻 1 1 0 0 两项，试求x的取值范围． C62x >C62x
－
展开式的 通项 ，用 Tr＋1 表示，即展开式的第 r＋1 项； Tr＋1＝
2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1 .
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和 为n . (3)字母 a 按 降幂 排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直 到零；字母 b 按 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.
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[点评]
n 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 Tk ＋ 1 ＝ C k na
－k
b k( k ＝
0,1,2，„，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变 化，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中 间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等 方面有着广泛的应用．使用时要注意： (1)通项公式表示的是第“k＋1”项，而不是第“k”项； (2)通项公式中 a 和 b 的位置不能颠倒．
第 三 节
二项式定理(理)
考纲解读 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
考向预测 1．本节内容的考查热点是通项公式，可以求指定项，或 已知某项，求指数 n 等． 2．本节内容的考查通常用选择题、填空题的方式进行．
知识梳理 1．二项式定理
0 n 1 n 1 1 2 n 2 2 r n r r C a ＋ C a b ＋ C a b ＋„＋ C b n n na ( a＋ b) ＝ n
2n 4 数的和为 22n，由题知 2n＝64，即 22n＝64，故 n＝3. 2
3．(2012· 潍坊一模)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x ＋2)2＋„＋a11(x＋2)11，则 a0＋a1＋a2＋„＋a11 的值为( A．－2 C． 1 B．－1 D． 2 )
[答案] A [解析] 赋值法：令x＝－1，a0＋a1＋a2＋„＋a11＝ 2·(－1)9＝－2.
0 n 1 n (4)二项式的系数从 Cn ，C1 n，一直到 Cn ，Cn.
－
3．二项式系数的性质
二项式 (1)在二项展开式中， 与首末两端“等距离”的两项的_______
系数 相等． _________
(2)如果二项式的幂指数是偶数， 中间一项
的二项式系数
最大；如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项 的二项式系数相 等并且最大．