高考复习专题五圆锥曲线

1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A 、B .

(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；

(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．

解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2， 所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝4

5

.

故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫

85，45.

(2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2

，解得，k ＝－1或k ＝－17

，

故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.

2．(2013·温州质检)已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝1

4

相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R ，k ≠0)相交于A ，B 两点．

(1)求曲线E 的方程；

(2)在曲线E 上是否存在与k 的取值无关的定点M ，使得MA ⊥MB ？若存在，求出所有符合条件的定点M ；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和到直线x ＝1

4的距离相等，∴点C 的轨迹是抛物线，其轨迹方程为y 2＝－x ，即曲线E 的方程为y 2＝－x .

(2)存在定点M .证明如下：

联立{

y 2＝－x y ＝k (x ＋1)，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1

k ，y 1y 2＝－1，

∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，

∴x 1＋x 2＝－(y 21＋y 22)＝－⎝⎛⎭⎫1k 2＋2，x 1x 2＝y 21y 22＝1. 设点M (x 0，y 0)，MA ⊥MB ⇔

(y 1－y 0)(y 2－y 0)＋(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝0⇔

1k 2x 0＋1k

y 0＋y 20＋2x 0＋x 20＝0⇔ { x 0

＝0

y 0＝0y 20＋2x 0＋x 20

＝0⇔{

x 0＝0y 0＝0，

∴存在唯一的点M (0,0)满足题意． 3．(2013·长春调研)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O

x 3 －2 4 2

y －23 0 －4 2

2

(1)求C 1、C 2

(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →

？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2

x

＝2p (x ≠0)，

据此验证四个点知(3，－23)、(4，－4)在抛物线上，易求得C 2的标准方程为y 2＝4x .

设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，把点(－2,0)、⎝⎛⎭⎫2，2

2代入得：

⎩

⎨⎧

4a 2＝12a 2

＋12b

2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝4

b 2＝1，

所以C 1的标准方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．

当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

4＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2

.①

y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，

即y 1y 2＝k 2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2.② 由OM →⊥ON →，即OM →·ON →

＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. (*)

将①②代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k

2

＝0，解得k ＝±2， 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.

4．(2011·高考湖南卷)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2

与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →

的最小值．

解：

(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.

化简得y 2＝2x ＋2|x |.

当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.

所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．

(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，

得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4

k

2，x 1x 2＝1.

因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1

k

.

设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)

＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1

＝1＋⎝⎛⎭

⎫2＋4

k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k

2，即k ＝±1时，AD →·EB →

取最小值16.

5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．

从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

c ＝2，a ＝4.

又a 2＝b 2＋c 2，所以

b 2＝12，故椭圆

C 的方程为x 216＋y 2

12

＝1.

法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

且有：⎩⎪⎨⎪⎧

4a 2＋9b 2＝1，

a 2－

b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．

从而a 2＝16.所以椭圆

C 的方程为x 216＋y 2

12

＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝3

2

x ＋t .

由⎩

⎨⎧

y ＝3

2

x ＋t ，x 216＋y

2

12

＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.