最新广东省广州市天河区高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）{}1,2,3,4,5A =()(){}230B x x x =+-<A ．B ． {}3,4,5{}1,2,3C ．D ．{}1,4,5{}1,2【答案】A【分析】，阴影部分表示，计算得到答案. {}23B x x =-<<U A B ⋂ð【详解】，或. ()(){}{}23023B x x x x x =+-<=-<<{U 2B x x =≤-ð}3x ≥阴影部分表示. {}U 3,4,5A B = ð故选：A 2．复数的虚部为（ ） 2i1i+A B ．1 C D ．i 【答案】B【分析】利用复数的除法运算法则对原式化简成的形式，即可的虚部 i a b +【详解】因为()()()()()2i 1i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 2--===-=+++-所以虚部为1.故选：B3．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A4．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）A ．B ．C ．D ．1847162383116【答案】C【分析】分析数列特征，求前5项的和.【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项12和为：. 11123112488++++=故选：C5．双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>0x =CA B C ．2 D【答案】C【分析】根据渐近线得到. a b =【详解】因为的一条渐近线方程为，所以 C 0x -=a b =所以的离心率.C 2e ==故选：C6．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时141312射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．342345710【答案】A【分析】根据目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率求解即可. 【详解】因为目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率， 所以目标被击中的概率是，111311114324⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：.A7．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面, 11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误， 11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接, EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11AC D A所以，故③错误； 1160AC D ∠=由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面， //EF 1111D C B A 故④正确； 故选:B.8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱()0e KtS t S =和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参()S t t 0S K 数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间060S =至少还需要（取，，，）（ ） ln6 1.79=ln7 1.95=ln12 2.48=ln19 2.94=A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时【答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：，，，， 60e 70K =60e 95Kt ≥70ln ln 7ln 660K ==-95ln ln19ln1260Kt ≥=-则，则给氧时间至少还需要小时.ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==-- 1.875故选：D二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于()sin2f x x =4π()y g x =说法错误的是（ ）()g x A ．最大值为，图象关于直线对称12x π=B ．在上单调递减，为奇函数04π⎛⎫⎪⎝⎭，C ．在上单调递增，为偶函数388ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．周期是，图象关于点对称 π308π⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】BCD【分析】由题意化简得，为偶函数，可以判断选项B ，结合余弦函数的性质判断()cos 2g x x =()g x 选项A ，由于，，则不具有单调性，判断选项C ，388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x，判断选项D. 308g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，()sin2f x x =4π得到函数的图象，()sin 2cos 22y g x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭关于，显然它是偶函数，周期为，故B 不正确； ()g x 22ππ=由于当时，，为最小值，故的图象关于直线对称，2x π=()1g x =-()g x 2x π=结合余弦函数的性质可得，的最大值为，故A 正确；()g x 1由于当时，，不具有单调性，故C 错误；388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x由于当时，，故的图象不关于点对称，故D 不正确． 38x π=()0g x =≠()g x 308π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：BCD ．10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---,a AB b AC ==A ．若，且，则3c = //C c B (2,1,2)c =-B ．和的夹角的余弦值a bC ．若与互相垂直，则的值为2；ka b +2ka b - k D ．若与轴垂直，则，应满足()()λμ++-a b a b z λμ0λμ-=【答案】BD【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，，(1,1,0)a = (1,0,2)b =- (2,1,2)BC =--对于A ，因为，所以，又，//C c B(2,,2)c BC λλλλ==-- 3c = 3=解得，所以或，A 不正确；1λ=±(2,1,2)c =- (2,1,2)c =--对于B ，，B 正确；cos ,a b a b a b⋅<>===对于C ，因与互相垂直，则， ka b + 2ka b - ()()2222222100ka b ka b k a ka b b k k +⋅-=-⋅-=+-= 解得或，C 不正确；2k =52k =-对于D ，因为，轴的一个方向向量()()()()()0,1,22,1,22,,22a b a b λμλμμλμλμ++-=+-=+-z ，(0,0,1)n =依题意，即，D 正确； ((0,0,12,,22)220)μλμλμλμ=+-⋅-=0λμ-=故选：BD11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =111n na a +=-{}n a n n S A ． B ． 232a =31312n n S S +-=-C ． D ．121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n na a +=-所以，故A 错误； 221121133a a =-=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-=-=-4131111312a a a =-=-==-{}n a 3所以，故B 错误； 3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n na a a a +=-=-2111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，故D 正确；()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝⎭ 故选：CD12．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则2:4C x y =,F O ()00,M x y C 5MF =（ ）A ．的坐标为B ．F ()1,004y =C ．D ．以为直径的圆与轴相切OM =MF x 【答案】BCD【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得的值，F 0y 可判断B 选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；0x 求出的中点坐标，进而可得该点到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项. MF 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y 轴正半轴上，则点错误； 2:4C x y =2,12pp ==()0,1,A F 由拋物线的定义可得，可得正确；015MF y =+=04,B y =由可知，，可得，C 正确；04y =2016x =04,x OM =±==∵的中点坐标为，则点到y 轴的距离，MF 52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭5122d MF ==∴以为直径的圆与轴相切，D 正确. MF x 故选：BCD.三、填空题13．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________. {}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可. n 【详解】因为是等差数列, {}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以. 12a =2d =故答案为:.214．已知直线被圆截得的弦长为2，则____ :l y x =()()()222:310C x y r r -+-=>r =【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，()()22231x y r -+-=()3,1圆心到直线的距离，弦长的一半为1，d r ==15．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数） 【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可. 【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角-P ABC O PA PB PC ==ABC A 形，若点分别是的中点，，则球的半径为___________. ,E F ,PA AB 90CEF ∠=︒O【分析】先判断得三棱锥为正三棱锥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得平面-P ABC AC ⊥，平面，结合勾股定理证得正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，由此将三PBG PB ⊥PAC -P ABC棱锥补形为正方体，利用的半径.-P ABC 2R O 【详解】由，是边长为2的正三角形，得三棱锥为正三棱锥， PA PB PC ==ABC A -P ABC 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于， P O BO AC G 则，又，，平面， AC BG ⊥PO AC ⊥PO BG O = ,PO BG ⊂PBG 所以平面，又平面，则， AC ⊥PBG PB ⊂PBG PB AC ⊥因为分别是的中点，所以， ,E F ,PA AB //EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF CE ⊥PB CE ⊥又，平面，所以平面， AC CE C = ,AC CE ⊂PAC PB ⊥PAC 又平面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥易知在中，，所以，则， Rt PAB A 222PA PB AB +=222PA PC AC +=PA PC ⊥又，所以，2AB =2222PA PB PC ===所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，-P ABC 将三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， -P ABC其直径，则球的半径．2R =O R =.四、解答题17．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图.[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,,90,100(1)求图中的值；m (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) 0.030m =(2)71【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再m 相加即可.【详解】（1）由， ()100.0100.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=得.0.030m =（2）样本平均数， 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.18．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、{}n a n n S 2S 4S 55S +2a 7a 成等比数列．22a (1)求的通项公式； {}n a (2)若，数列的前项和为，证明：． 11n n n b a a +={}n b n n T 16n T <【答案】(1) 21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可. 【详解】（1）由题知，设的公差为，由题意得，{}n a d 42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩即，解得，11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩132a d =⎧⎨=⎩所以， 1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+所以的通项公式为. {}n a 21n a n =+（2）证明：由（1）得，21n a n =+所以， 111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭所以．1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭19．在中，设角所对的边长分别为，且． ABC A ,,A B C ,,a b c 22cos c b a C =-(1)求角；A (2)若的面积的值． ABC A S =c =sin sin B C 【答案】(1)3A π=(2) 1sin sin 2B C =【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；（2）根据题意与面积公式求得 ，结合余弦定理得，由正弦定理得c =b =3a =，即可解决. 2sin a R A=()22sin sin bc R C B =【详解】（1）解法一：因为，22cos c b a C =-由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C =-所以()sin 2sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin C A C A C A C A C A C A C =+-=+-=因为，sin 0C ≠所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =解法二：因为，22cos c b a C =-由余弦定理得： 222222a b c c b a ab+-=-⋅整理得，即222bc b c a =+-222a b c bc =+-又由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =（2）由（1）得， π3A =因为的面积， ABC A S =所以 11πsin sin 223bc A bc ==所以， 6bc =由于 c =所以，b =又由余弦定理：，2222cos 12369a b c bc A =+-=+-=所以．3a =所以 2sin a R A==所以由正弦定理得，()22sin sin 12sin sin 6bc R C B C B ===所以． 1sin sin 2B C =20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>)F (1)求椭圆的标准方程； C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程． BM BN ⊥l 【答案】(1) 2214x y +=(2) 35y x =-【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.0BM BN ⋅= m【详解】（1）由题意得，，， c =2a b=222a b c =+，，2a ∴=1b =椭圆的标准方程为． ∴C 2214x y +=（2）依题意，知，设，．()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=，即， ()2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，． 1285m x x -+=212445m x x -=，．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅= ，()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-= ， ()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，25230m m --=解得或（舍去）． 35m =-1m =直线的方程为． ∴l 35y x =-21．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG A DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P A CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，，AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以，BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，，(2,0,3)AE =- AG = (2,0,3)CG =设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量．222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60 22．已知函数．()()21，f x x g x x ==-(1)若，使，求实数b 的范围；R x ∃∈()()f x b g x <⋅(2)设，且在上单调递增，求实数m 的范围．()()()21F x f x mg x m m =-+--()F x []0,1【答案】(1)()()04,∪,-∞+∞(2))102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣【分析】对于（1），，， R x ∃∈()()20R，f x b g x x x bx b <⋅⇔∃∈-+<即函数在x 轴下方有图像，据此可得答案；2y x bx b =-+对于（2），，分两种情况讨论得答案.()221F x x mx m =-+-00，∆≤∆>【详解】（1）由，，得. R x ∃∈()()f x b g x <⋅20R ，x x bx b ∃∈-+<则函数在x 轴下方有图像，2y x bx b =-+故，解得或，()240b b ∆=-->0b <4b >故实数b 的范围是； ()()04,∪,-∞+∞（2）由题设得， ()222251124m F x x mx m x m ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭得对称轴方程为，， 2m x =()2224154m m m ∆=--=-由于在上单调递增，则有：()F x []0,1①当即≤m 时，时，在上单调递增， 0∆≤x ∈R ()F x ,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则， 012,,m ⎡⎫⎡⎤⊆+∞⇒⎪⎢⎣⎦⎣⎭02m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩0m ≤≤②当Δ＞0即的解为：m <m >()0F x =，则. 12x x ==0>12x x <当时，可知在上单调递增. x ∈R ()Fx )122,，,m x x ⎡⎤⎡+∞⎢⎥⎣⎣⎦i 若，则， m >02m >>[]1120,1,02m mx m ⎧≥⎪⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎣⎦⎪>⎪⎩解得；2m ≥ii 若，m <0m <-<则，解得. [][)200,1,x m ∞⊆+⇒⎪<⎪⎩1m -≤<综上所述，实数m 的范围是.)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣。
广东高二上学期期末数学试题(解析版
一、单选题1．若向量，，则（ ） ()1,1,0a =()1,0,2b =- 3a b +=A B ．4C ．5D【答案】D【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.【详解】解析：由题意，得， ()32,3,2a b +=3a b ∴+==故选：D.2．在等比数列中，，则（ ） {}n a 23341,2a a a a +=+=45a a +=A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据求出，再根据可得答案. 3423()a a q a a +=+q 4534()a a q a a +=+【详解】设等比数列的公比为，q 由，可得q ＝2，所以. 3423()a a q a a +=+4534()4a a q a a +=+=故选：A.3．双曲线的渐近线方程是（ ）22149x y -=A ． B ． C ．D ．23y x =±49y x =±94y x =±32y x =±【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得， ，即 ，22149x y -=224,9a b ==2,3a b ==所以双曲线的渐近线方程是，22149x y -=32b y x x a =±=±故选：D ．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程22221x y a b-=是；双曲线的渐近线方程是．b y x a =±22221y x a b-=a y x b =±4．圆关于直线对称的圆的方程为（ ） 22:68240C x y x y ++-+=y x =A ．B ． ()()22431x y -++=()()224349x y -+-=C ．D ．()()22431x y ++-=()()224349x y +++=【答案】A【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为，C ()()22341x y ++-=()3,4-1故所求圆的圆心坐标为，半径为， ()4,3-1因此，所求圆的方程为. ()()22431x y -++=故选 ：A.5．在数列{}中，=2，，（ ） n a 1a 11n n n a a a +=-2022a =A ．2 B ．1C ．D ．－112【答案】D【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可{}n a 求解.【详解】由题意，， 111n na a +=-故，， 211111n n n a a a ++=-=-3211n n n a a a ++=-=故数列是周期为3的周期数列， {}n a 从而， 2022673333a a a ⨯+==由知，，， 12a =211112a a =-=32111a a =-=-故. 202231a a ==-故选：D.6．如图，在平行六面体中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在上，且ABCD A B C D -''''BC '，则下列向量中与相等的向量是（ ）2BM MC '=OMA ．B ．172263AB AD -++AA '111263AB AD ++AA ' C ．D ． 151263AB AD -++ AA ' 112263AB AD ++ AA ' 【答案】D【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为平行六面体中，点M 在上，且ABCD A B C D -''''BC '2BM MC '=故可得 OM 1223OB BM DB =+=+ 'BC()1223AB AD =-+ 'AD()1223AB AD -+ '()AD AA + 112263AB AD =++'AA 故选：D.7．直线与曲线m 的取值范围是（ ）． :l y x m =-+x =A ．B ． 2,⎡-⎣(2⎤--⎦C ．D ．(2⎤-⎦2,⎡⎣【答案】D【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案．【详解】由，得， x =224(0)x y x +=…如图，当直线与相切时， :l y x m =-+224(0)x y x +=…m =当直线过点（0,2）时，有两个交点:l y x m =-+若直线与曲线有两个公共点，∴:l y x m =-+x =则实数的取值范围是．m 2,⎡⎣故选：．D 8．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，()222210x y a b a b +=>>()3,1其标准方程为（ ）A ．B ．221124x y +=22611515x y +=C ．D ．22711616x y +=221182x y +=【答案】A【分析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小()3,122911a b+=值时的条件即得解. 【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱22911a b+=(,0),(0)a b ±±形，其周长为，当且仅当，即16==≥=22229b a a b=时取“=”，223a b =由得a 2=12，b 2=4，所求标准方程为.22229113a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩221124x y +=故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.二、多选题9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ） ,m n ,αβA ．若，则//,m n n α⊂//m αB ．若，则 //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 ,,//m m n ααβ⊥⊥//n βD ．若，则 ,,m n m n αβ⊥⊥⊥αβ⊥【答案】BD【解析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A ．若，此时可能平行或异面，故A 错误；//,m n n α⊂,m αB ．根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B 正确； C ．若，此时或，故C 错误；,,//m m n ααβ⊥⊥n β⊂//n βD ．选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D 正,m n ,a b ,a b ,αβa b ⊥αβ⊥确， 故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假： （1）利用定理、定义、公理等直接判断； （2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析. 10．下列关于抛物线的说法正确的是（ ） 210y x =A ．焦点在x 轴上B ．焦点到准线的距离等于10C ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于72D ．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 ()2,1【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.【详解】抛物线的焦点在x 轴上，，正确，错误； 210y x =5p =A B 设是上的一点，则，所以正确； ()01,M y 210y x =5711222p MF =+=+=C 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作210y x =5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭52y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. ()2,12k =-D 故选：.ACD 11．圆：和圆：的交点为A ，B ，则有（ ） 1O 2220x y x +-=2O 22280x y x y ++-=A ．公共弦所在直线方程为 AB 20x y +=B ．线段中垂线方程为 AB 220x y +-=C ．公共弦 ABD ．P 为圆上一动点，则P 到直线 1O AB 1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作出得出公共弦所在直线方程，判断选项； A 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项；利用垂径定理和点到直AB B 线的距离公式可判断选项；利用点到直线的距离即可判断选项.C D 【详解】对于，由圆：与圆：的交点为A ，B ， A 1O 2220x y x +-=2O 22280x y x y ++-=两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故错误； 480x y -=AB 20x y -=A 对于，圆：的圆心为，， B 1O 2220x y x +-=()1,012AB k =则线段中垂线斜率为－2，AB 即线段中垂线方程为：，整理可得，故正确； AB 02(1)y x -=-⨯-220x y +-=B对于，圆：，圆心到的距离为，半径C 1O 2220x y x +-=()11,0O 20x y -=d ==，所以不正确； 1r =AB ==C对于，P 为圆上一动点，圆心到的距离为，即P 到直线D 1O ()11,0O 20x y -=d =1r =，故正确. AB 1D 故选：BD.12．对于数列，定义为的“优值”.现已知数列的“优值”{}n a 112022n na a a H n -+++= {}n a {}n a ，记数列的前n 项和为，则下列说法正确的是（ ） 102n H +={}20n a -n S A ． B ．C ．D ．的最小值为－6222n a n =+219n S n n =-89S S =n S 【答案】AC【分析】由题可得，进而可得判断A ，再由等差数列求和公式求出1112222n n n a a a n -+++⋅⋅⋅+=⋅n a 判断B ，由分析数列的项的符号变化情况判断C ，求出判断D.n S 200n a -≤{}20n a -9S 【详解】由题意知，，则①，11120222n n n a a a H n-+++⋅⋅⋅+==1112222n n n a a a n -+++⋅⋅⋅+=⋅当时，，1n =111214a +=⨯=当时，②，2n ≥212122(1)2n n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-⋅①－②得，，1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅解得，当时也成立， ()21n a n =+1n =∴，A 正确；22n a n =+121220202020n n n S a a a a a a n =-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-21222222202(12)220n n n n n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+-=++⋅⋅⋅++-，B 错误；2(1)1817n n n n n =+-=-∵，当时，即，且， 20218n a n -=-200n a -≤9n ≤9200a -=故当或9时，的前n 项和取最小值， 8n ={}20n a -n S 最小值为，C 正确，D 错误. 899(160)722S S ⨯-+===-故选：AC.三、填空题13．已知，，若，则________. ()1,,3a x = ()2,4,b y =- a bA x y +=【答案】8-【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.【详解】因为，所以.所以，，解得，所以.a bA b a λ= 243x y λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩226x y λ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩8x y +=-故答案为：8-14．已知直线与，若，则实数a 的值为______． 1:230l ax y +-=()2:3140l x a y +-+=12l l ⊥【答案】2-【分析】由可得，从而可求出实数a 的值 12l l ⊥32(1)0a a +-=【详解】因为直线与，且， 1:230l ax y +-=()2:3140l x a y +-+=12l l ⊥所以，解得， 32(1)0a a +-=2a =-故答案为：2-15．若是等差数列的前项和，且，则______． n S {}n a n 105113S S =105a a =【答案】2【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.n【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简{}n a d 105113S S =111095*********a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，所以． 1a d =1015199244a a d d d a a d d d++===++故答案为：216．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且1(4,0)F -2(4,0)F 22:1(0)4x y C m m -=>M C ，则的面积为_____.1260F MF ∠= 12FMF △【答案】【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出，设，，根据双曲线定义和余弦定m 11MF m =2MF n =理解焦点三角形，列出两个方程，解得，利用面积公式可求得答案。
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝03．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9 5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．46．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A ．40米B ．50米C ．60米D ．70米8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值12．如图，在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 在截面AB 1D 1内（含边界），且满足A 1P =3√2．下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（1）＝．14．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x+φ)+sin2x，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f（x）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cosφ的值．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．19．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4asin2B2=2a+b−2c．（1）求角A的大小：（2）若b＝1，c＝3，D为BC中点，点E在AB上且满足DE⊥AB，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E ﹣AD ﹣C 的大小为60°． （1）求证：DF ⊥CF ；（2）设点P 为棱AE 上一点，若平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64，求AP AE的值．22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=−i1−i=−i(1+i)(1+i)(1−i)=12−12i，则z=12+12i，故共轭复数z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限．故选：A．2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝0解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，倾斜角为120°；直线√3x−y+1=0的斜率为√3，倾斜角为60°，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为135°；直线x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°，∴直线x+y+1＝0的倾斜角最大．故选：C．3．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]解：A＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}＝{x|x＞−23}，故∁R A＝{y|y≤0}，所以（∁R A）∩B＝（−23，0]．故选：D．4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为17﹣2＝15，故该组数据的中位数是15×35=9，数据共6个，故中位数为m+122=9，解得m＝6，6×40%＝2.4，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，故该组数据的40百分位数是m＝6．故选：C．5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．4解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，令x＝2sinθ（−π2≤x≤π2），则原函数化为y＝4sinθ+√4−4sin2θ=4sinθ+2cosθ=2√5sin（θ+φ），tanφ=1 2，∴当θ+φ=π2时，y取最大值为2√5，即函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是2√5．故选：B．6．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]解：f(x)=sin2(x−π12)=1−cos(2x−π6)2的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）=1−cos(2ωx+π6)2的图像，令2kπ≤2ωx+π6≤2kπ+π，k∈Z，解得，kπω−π12ω≤x≤kπω+5π12ω，k∈Z，因为g（x）在[0，π]上单调递增，所以5π12ω≥π且ω＞0，解得，0＜ω≤5π12．故选：A．7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A．40米B．50米C．60米D．70米解：由题意设直钢柱PQ中MQ在底面圆O1上的投影线段为NQ，连接O1N，OM，所以在Rt△MNQ中，tan∠PQN=20√33=|MN||NQ|=300|NQ|，得|NQ|=15√3，由题意可得四边形O1NOM为矩形，又因为点M是圆O的切点，所以O1N⊥NQ，且ON1＝15，设圆O 1的半径为r ，所以在Rt △O 1NQ 中，r 2=O 1N 2+NQ 2=152+(15√3)2=900，得r ＝30，所以圆O 1的直径为60． 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63解：如图：因为过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|， 所以|AF 1|+|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a 2， 又因为F 1M →=3MF 2→，所以|MF 1|＝3|MF 2|， 所以AM 是∠F 1AF 2的平分线，又因为AM ⊥F 1B ， 所以|AF 1|＝|AB |=3a2=|AF 2|+|BF 2|， 所以|BF 2|＝a ，|BF 2|：|AF 2|＝2．所以A （3c 2，b2），点A 在椭圆：x 22+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，所以9c 28+14=1，解得c 2=23，e 2=c 2a 2=232=13，所以e =√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A解：∵P （A ）=13，∴P （A ）=23，故A 正确；当A ，B 互斥时，P （AB ）＝0，当B ⊆A 时，P （AB ）=16，故13≤P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）≤12，故B 正确；当A ，B 互斥时，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+16=12，故C 错误； 不一定B ⊆A ，故D 错误． 故选：AB ．10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件解：对于A ：若非零平面向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，故a →∥c →，但在空间内不一定成立，故A 错误； 对于B ：若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线也可能平行，故B 错误；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，不存在实数λ和μ使a →+b →=λ(b →+c →)+μ(a →+c →)，故C 正确；对于D ：点P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是存在实数m ，n 使AP →=mAB →+nAC →，整理得OP →=(1−m −n)OA →+mOB →+nOC →=xOA →+yOB →+zOC →，所以x +y +z ＝1，故D 正确． 故选：AB ．11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值解：根据题意可得F （p 2，0），又点M(3p2，0)，且|AF |＝|AM |，∴A的横坐标为p2+3p22=p，将其代入y2＝2px中，可得A（p，√2p），∴直线AB的斜率为√2pp−p2=2√2，∴A选项正确；∴直线AB的方程为y=2√2（x−p2），联立{y=2√2(x−p2)y2=2px，解得x＝p或x=p4，∴B点横坐标为p4，将其代入y2＝2px中，可得B（p4，√2），∴|F A|=p2+x A=p2+p=3p2，|FB|=p2+x B=p2+p4=3p4，∴|F A|＝2|FB|，∴B选项错误；∴|OB|=√p216+p22=3p4，而|OF|=p2，∴|OB|≠|OF|，∴C选项错误；∵直线AB的斜率为2√2，|AF|＝|AM|，∴AM直线的斜率为−2√2，∴直线AM的方程为y=−2√2（x−3p2），联立{y=−2√2(x−3p2)y2=2px，解得x＝p或x=9p4，∴N点横坐标为9p4，将其代入y2＝2px中，可得N（9p4，√2），∴直线BN的斜率为√2−√29p 4−p4=√22，∴直线BN的斜率为定值，∴D选项正确．故选：AD．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内（含边界），且满足A1P= 3√2．下列说法正确的是（）A．点P的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]解：对于A，取B1D1的中点O1，三棱锥A1﹣AB1D1为正三棱锥，过A1作A1G⊥面AB1D1于G，则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，AO1=√32AB1=√32×6√2=3√6，∴GO1=13AO1=√6，AG=23AO1=2√6，由V A1−AB1D1=V A−A1B1D1，得13S△AB1D1⋅A1G=13S△A1B1D1⋅AA1，∴13×√34×(6√2)2×A1G=13×12×6×6×6，∴A1G=2√3，由于A1P=3√2，∴GP=√A1P2−A1G2=√6，∴点P的轨迹是以G为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，∴点P的轨迹长度为2π×√6=2√6π，故A错误；对于B，设A1P与平面AB1D1所成角为α，∵A1到平面AB1D1距离为A1G=2√3，∴sinα=A1GA1P=√332=√63，0≤α≤π2，∴cosα=√1−sin2α=√33，即A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√33．故B正确；对于C，当P为该内切圆与AD1的切点，即P为AD1与A1D的交点时，CP⊥BC1，证明如下：连接B1C，则BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面CDA1B1，∴BC1⊥平面CDA1B1，∵CP⊂平面CDA1B1，∴CP⊥BC1，故C正确；对于D ，如图，该内切圆与AO 1的交点为E ，取BD 的中点O ，作EF ⊥AO 于F ，EF ∥OO 1， EF ⊥面ABCD ，∵AE ＝AO 1﹣2GO 1=√6=13AO 1，∴EF =13OO 1=2，AF =13AO =13×3√2=√2，CF ＝AC ﹣AF =5√2，C 1E =√CF 2+(CC 1−EF)2=√(5√2)2+(6−2)2=√66，C 1O 1=3√2， 当P 与E 重合时，C 1P 取最大值；当P 与O 1重合时，C 1P 取最小值．∴3√2≤C 1P ≤√66，∵O 1 为A 1C 1的中点，∴C 1到平面AB 1D 1距离d 与A 1到平面AB 1D 1距离相等， 即d =A 1G =2√3，设C 1P 与平面AB 1D 1 所成角为θ， 则tanθ=√C1P −d2=√3√C1P −12，∵3√2≤C 1P ≤√66，∴6≤C 1P 2−12≤54，√6≤√C 1P 2−12≤3√6， ∴√23≤√3√C 12≤√2，即√23≤tanθ≤√2，即C 1P 与平面AB 1D 1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若f(x)=a −22x +1为奇函数，则f （1）＝ 13．解：根据题意，若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，当a＝1时，f（x）＝1−22x+1，f（﹣x）＝1−22(−x)+1=1−2⋅2x2x+1=−（1−22x+1）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故f（x）＝1−22x+1，则f（1）＝1−23=13；故答案为：1 314．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为7．解：∵双曲线x2−y2m−6=1中a2＝1，b2＝m﹣6，可得焦点在x轴上，且c2＝1+m﹣6＝m﹣5，又椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，∴9﹣m＝m﹣5，解得m＝7．故答案为：7．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为9．解：根据题意，可得直线l方程为xa +yb=1（a＞0，b＞0），代入P点得1a+2b=1，因此，|OA|+2|OB|＝a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故|OA|+2|OB|的最小值为9．故答案为：9．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为√3+√7．解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）的圆心C2（a，0），半径为√a2−a，a＞1，由直线l与圆C2相交，可得|a−3|2＜√a2−a，解得a＞2√7−13，由|AB|＝|CD|，可得|AC|＝|BD|，即有2√4−(32)2=2√a2−a−(a−32)2，解得a ＝2，圆C 2的方程为x 2+y 2﹣4x +2＝0， 圆心C 1C 2的距离为2，弦长AC =√7， 则|AD |=√72+√22−(32−12)2+√72=√3+√7． 故答案为：√3+√7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f （x ）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cos φ的值．解：（1）φ=π3时，f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x=√32sin （2x +π3）+1−cos2x2 =√34sin2x +14cos2x +12=12sin （2x +π6）+12， 故T ＝π， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（kπ2−π12，12），k ∈Z ； （2）因为f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，所以f （π6）=√32sin （π3+φ）+14=−14，即sin （π3+φ）=−√33，因为0＜φ＜π， 所以π3＜π3+φ＜4π3，所以cos （π3+φ）=−√63，所以cos φ＝cos （π3+φ−π3）=12cos （π3+φ）+√32sin （π3+φ）=12×(−√63)+√32×(−√33)=−3−√66．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．解：（1）从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100﹣60﹣43+8＝5， 利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人． （2）样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁， 现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，基本事件总数n =C 52=10，这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这2名学生都坐过高铁的概率P =m n =310． 19．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4asin 2B2=2a +b −2c ． （1）求角A 的大小：（2）若b ＝1，c ＝3，D 为BC 中点，点E 在AB 上且满足DE ⊥AB ，求CE 的长． 解：（1）由4asin 2B2=2a +b −2c ， 可得2a （1﹣cos B ）＝2a +b ﹣2c ，由余弦定理，可得−2a ×a 2+c 2−b22ac=b −2c ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，则cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3；（2）法一：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√32√7=√2114，又DE⊥AB，所以DE=BD⋅sinB=√72×√2114=√34，由sinB=√2114，可得cos∠BDE=√2114，又∠BDE+∠CDE＝π，则cos∠CDE=−√2114，在△CDE中，由余弦定理，可得CE2=74+316−2×√72×√34×(−√2114)=3716，所以CE=√374；法二：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√327=√2114，故cosB=√1−sin2B=5√7 14，则BE=BD⋅cosB=√72×5√714=54，在△BCE中，由余弦定理，可得CE2=7+2516−2×√7×54×5√714=3716，所以CE=√374．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4），可得16＝8p，解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；（2）设射线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），k＞0，由抛物线的准线方程为y＝﹣1，可得M（4−5k，﹣1），联立{x2=4yy=kx+4−4k，可得x2﹣4kx﹣16+16k＝0，Δ＝16k2﹣4（﹣16+16k）＞0，即有k≠2，由韦达定理可得4+x Q＝4k，即x Q＝4k﹣4，由4k﹣4＜4，可得0＜k＜2，则|PQ||PM|=√1+k2|4k−4−4|√1+k2|4−5k−4|=45|k2﹣2k|=45|（k﹣1）2﹣1|，由0＜k＜2，可得k＝1时，|PQ||PM|取得最大值45．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E﹣AD﹣C的大小为60°．（1）求证：DF⊥CF；（2）设点P为棱AE上一点，若平面BDP与平面BCF的夹角的余弦值为√64，求APAE的值．（1）证明：由底面ABCD 是正方形，可得AD ⊥DC ， 又∠ADE ＝90°，可得AD ⊥DE ，则∠EDC 即为二面角E ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠EDC ＝60°， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ， 又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ， 所以AB ∥EF ，即CD ∥EF ，故四边形CDEF 为梯形， 又DE ＝CF ＝2，所以四边形CDEF 为等腰梯形， 故∠DCF ＝60°，又CD ＝4，CF ＝4，由余弦定理，可得DF 2＝CD 2+CF 2﹣2CD •CF •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12，所以DF =2√3， 故DF 2+CF 2＝CD 2，则有DF ⊥CF ； （2）解：由（1）知，AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ，故AD ⊥平面CDEF ， 又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ， 过D 作Dz ⊥平面ABCD ，则Dz ⊂平面CDEF ， 故以D 为坐标原点，建立如图所示坐标系D ﹣xyz ，则有A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， D （0，0，0），E （0，1，√3），F （0，3，√3）， 设AP →=λAE →(0≤λ≤1)，则有AP →=λ(−4，1，√3)， 故P (4−4λ，λ，√3λ)，设平面BDP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由DB →=(4，4，0)，DP →=(4−4λ，λ，√3λ)， 可得{n →⋅DB →=4x +4y =0n →⋅DP →=(4−4λ)x +λy +√3λz =0，令x =√3，则y =−√3，z =5−4λ，可得n →=(√3，−√3，5−4λ)，设平面BCF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 由BC →=(−4，0，0)，BF →=(−4，−1，√3)， 可得{m →⋅BC →=−4a =0m →⋅BF →=−4a −b +√3c =0，令c ＝1，则b =√3，a ＝0，可得m →=(0，√3，1)， 由平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64， 可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|2−4λ|2×√6+(5−4λ)2=√64，整理得16λ2−88λ+85=0，令1λ=t ， 则有16t 2﹣88t +85＝0，解得t =174或t =54， 即λ=417或λ=45，即AP AE =417或45． 22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线E 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)， 可得{74a 2−94b 2=174+94=a 2+b 2，所以{7b 2−9a 2=4a 2b 2a 2+b 2=4， 所以7（4﹣a 2）﹣9a 2＝4a 2（4﹣a 2），所以a 4﹣8a 2+7＝0， 解得a 2＝7，b 2＝﹣3（舍去）或a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1； （2）设B （m ，n ），m ＞1，n ＞0，则C （﹣m ，﹣n ）， 则l BC ：y =n m x ，令x =12，则y =n2m，即M(12，n2m)，则l AM：y=n2m−012−1(x−1)=−nm(x−1)，代入x2−y23=1，得x2−[−nm(x−1)]23=1，所以3m2−n2m2x2+2n2m2x−n2m2−3=0，所以x A+x D=−2n23m2−n2，即x D=−2n23m2−n2−1=−n2−3m23m2−n2，故y D=−nm(−n2−3m23m2−n2−1)=6mn3m2−n2，所以D(−n2−3m23m2−n2，6mn3m2−n2)，则k1=−n−0−m−1=nm+1，k2=6mn3m2−n2−n−n2−3m23m2−n2−m=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2，由B（m，n）在双曲线上，可得m2−n23=1，即n2＝3m2﹣3，所以k2=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2=n(6m−3m2+3m2−3)−3m2−3m3+(m−1)(3m2−3)=3n(2m−1)−3m2−3m3+3m3−3m2−3m+3=3n(2m−1)−3(2m2+m−1)=n(2m−1)−(2m−1)(m+1)=−nm+1，所以k1+k2=nm+1−nm+1=0，所以k1+k2为定值，且该定值为0．。
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（） ()1,3P -230x y -+=A. B. 210x y +-=250x y +-=C. D.250x y +-=270x y -+=2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（） {}n a 21a +1a 4a {}n a A.1B. C.2D.2-1-3.棱长为1的正四面体中，则等于（）ABCD AD BC ⋅A.0B. C. D.121414-4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）C ()1,0(C A. B. 22123x y +=22143x y +=C. D. 22132x y +=22134x y +=5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）()2,1,3a =- axOy A. B. C. D.()0,2,1()0,1,3-()2,1,0()2,0,3-6.直线与圆交于两点，则当弦最短时:210l mx y m +--=22:(2)4C x y +-=,A B AB 直线的方程为（）l A. B. 430x y -+=2430x y --=C. D.2410x y ++=2430x y -+=7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，1l 2,y ax b l =+()0,y bx a ab a b =-≠≠正确的是（）A. B.C. D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数{}n a 221,n n a a p --=*2,,n n N p ≥∈{}n a 列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；{}n a {}2n a ②不是等方差数列；{}(1)n-③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列； {}n a {}kn a *,k k ∈N ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. {}n a 其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）{}n a n 2,5n n S S n n =-A.为等差数列B.{}n a 0n a >C.最小值为 D.为单调递增数列 n S 254-{}n a 10.已知空间中，则下列结论正确的有（） ()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-A. B.与共线的单位向量是 AB AC ⊥ AB()1,1,0C. D.平面的一个法向量是BC =ABC ()1,2,5-11.已知曲线，则下列判断正确的是（）22:1x y C a b-=A.若，则是圆，其半径为0a b =->C aB.若，则是双曲线，其渐近线方程为 0ab >C y =C.若，则是椭圆，其焦点在轴上 0a b -<<C xD.若，则是两条直线1a b ==C 12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直()0,2F 径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于y G O A 点，则（）BA.椭圆的长轴长为B.的周长为AFG A 4+C.线段长度的取值范围是AB 4,2⎡+⎣D.面积的最大值是ABF A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.28y x =14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.22:1y C x m-=)215.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一224x y +=l 条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）l 16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方xOy ()000,,P x y z (),,n a b c =α程为，过点且方向向量为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z 的直线的方程为，阅读上面材料，并解()(),,0n u v w uvw =≠ l 000x x y y z z u v w---==决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与α10x y z -++=l 20x y -+=的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.210x z -+=l α四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.{}n a *111,2,n n a a a n n +==+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.2n n b a n =-{}n b n n S 18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB（1）求证：；EF CF ⊥（2）求与所成角的余弦值. EF CG 19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足()()1,0,1,0,A B C -AC =（1）求点的轨迹方程；C （2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度. :10l x y +-=l C 20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中2:2C y px =()2,2,P A B ､C O 为原点.O （1）求抛物线的方程；C （2）若，求面积的最小值. OA OB ⊥AOB A 21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，ABCDEF ABCD //EF AC 1EF =60ABC ∠=︒，平面，，是的中点.CE ⊥ABCD CE ==2CD G DE（1）求证：平面平面；ACG //BEF （2）求直线与平面所成的角的正弦值. AD ABF 22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条2222:1(0)x y C a b a b -=>>()2,0,F O C 渐近线的夹角为.3π（1）求双曲线的方程；C （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定F l C ,P Q x M MP MQ ⋅值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.M惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得()203x y c c -+=≠()1,3P -，所以所求的直线方程为.160c --+=7c ∴=270x y -+=2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即{}n a d ()14221a a a +=+，解得.()()111321a a d a d ++=++2d =3.【解析】由题意以作为基底，， ,,AB AC AD BC AC AB =-则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然x 22221(0)x ya b a b+=>>，故椭圆方程为.1,c b ==2224a b c =+=22143x y +=5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.axOy ()2,1,06.【解析】由，则令，解得()210,2110mx y m x m y +--=-+-=21010x y -=⎧⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线过定点，由，则圆心，半径，当l 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭22(2)4x y +-=()0,2C 2r =时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，AB CP ⊥AB CP 12212CP k -==-l 12AB k =故直线为，则.l 11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2430x y -+=7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由的图象知，由的图象知，故A 正确； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <>对于B ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B 错误； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <<对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误； C 1l 0,0a b ><2l 0,0a b <>C 对于D ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.1l 0,0a b >>2l 0,0a b <<D 8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公{}n a 221n n a a p --=p {}2n a 21a 差为的等差数列；故①正确 p ②数列中，，所以是等方差数列；{}(1)n-222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦{}(1)n -故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举：{}n a 122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯{}2kn a23,,k k k a a a ⋯⋯ ()()222222121221k k k k k k a a a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=，即数列是等方差数列，故③正确；()221kn k n a a kp +∴-={}kn a ④数列是等差数列，数列是等方差数列，{}n a ()112.n n a a d n -∴-=≥ {}n a ，当时，为常数()22122n n a a d n -∴-=≥()121,n n a a d d -∴+=∴10d ≠12122n d d a d =+列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.10d ={}n a {}n a 正确命题的是①③④，故A 正确.∴二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当时，，2n ≥()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦时满足上式，所以，所以1n =114a S ==-*26,n a n n N =-∈，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故正确；{}n a A 对于B ，由上述过程可知，故B 错误； *12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，又因为，所以当或325n S n n =-52.52n ==*N n ∈2n =时，最小值为，故错误；n S 6-C 对于D ，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a {}n a 10.【解析】对于，故正确；()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+= ,A AB AC ⊥对于不是单位向量，且与不共线，错误； (),1,1,0B ()1,1,0()2,1,0AB =B对于正确；(),3,1,1,C BC AC AB BC C =-=-∴=对于，设，则，D ()1,2,5m =- ()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，所以，又()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+= ,m AB m BC ⊥⊥AB BC B⋂=，所以平面的一个法向量是正确.ABC ()1,2,5,D -11.【解析】对于，若时，转化为A 0a b =->22:1x y C a b-=22x y a +=，故错误；A 对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点B 0ab >0,0,ab C >>x 0,0,a b C <<在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是y 220x y a b-=y =C的渐近线，B 正确；对于，若转化为，由于可知，C 220,:1x y a b C a b -<<-=22:1x y C a b+=-0a b >->C是焦点在轴上的椭圆，故C 正确；x 对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故DD 221,:1x y ab C a b==-=221x y -=错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则A 2b c ==a ==2a =，故错误；A 对于，由定义知，的周长正B 2AF AG a AFG +==A 4L FGB =+=+确；对于，由性质知C,2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB C ≤≤+正确；对于，设所在直线方程为，联立可得， D AB y kx =22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A x =联立可得，则224y kx x y =⎧⎨+=⎩B x =显然，当1122ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x=+=+=+A A A 20k ≥2k 增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D 错误. y=0k=ABF S A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()2,014.（写出一个即可） 1103450,x y x y x y =±=±++=++= ､､､【注】若答案形式为：，则系数必须满足： 0Ax By C ++=222A B C +=若答案形式为：，则系数必须满足： y kx b =+221k b +=13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双22:1y C x m-=)2421m-=4m =曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，2214y x -=x1,2,a b c ===率为.e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，0AxBy C ++=()0,01,1d ==所以222A B C +=16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， α10x y z -++=()1,1,1p =-平面的法向量可取为，平面的法向量可取为20x y -+=()1,1,0m =-210x z -+=，()2,0,1n =-直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则l 20x y -+=210x z -+=(),,s t q μ=，令，则，故设直线与平面所成的角为020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩1s =()1,1,2μ=l α，,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则sin |cos ,|||p p p μθμμ⋅=〈〉=== ‖四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.） 【解析】（1）当时，*2,n n N ≥∈()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦ ()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+因为也满足上式，1n =()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2），则2221n n b a n n n n =-=-+-1n b n =-+所以是以0为首项，为公差的等差数列 {}n b 1-故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D DAX()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以 ()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+=所以 EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG =所以 cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅==所以与EF CG 【解法二】由题意得：在中有：，Rt EDFA 11,2ED DF BD====EF ∴==在中有：R EDC AA 1,2,ED DC EC ==∴==在正方形中， ABCD 12CF AC ==在中有： ∴EFC A 222EF FC CE +=所以有：EF CF ⊥（2）连接，取的中点，连接，11,A E A F 1A A H ,HG HD 四边形为平行四边形∴1,A HDE HDCG1,HD A E HD CG ∴∥∥1A E CG ∴∥在Rt 中有：，11A D EA 1A E ==在Rt 中有：，1AAF A 1A F ==在中有：∴1A EFA 2221111cos 2A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅所以与EF CG 19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.） 【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由C (),xy AC==整理得点的轨迹方程为. C 22610x y x +-+=（2）由（1）可知，曲线 22:(3)8C xy -+=则圆心坐标为， ()3,0半径为则圆心到直线的距离:10l x y +-=d=所以弦的长度==直线被曲线截得的线段长度为l C 20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.） 【解析】（1）由抛物线经过点知，2:2C y px =()2,2P 44p =解得，1p =则抛物线的方程为；C 22y x =（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，AB y :AB x ty a =+由消去，得， 22x ty a y x=+⎧⎨=⎩x 2220y ty a --=，设，2Δ480t a =+>()()1122,,,A x y B x y 则，12122,2y y t y y a +==-因为，所以即，所以 OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=22121204y y y y +=解得（舍去）或，120y y =124y y =-所以即，24a -=-2a =所以直线，所以直线过定点，:2AB x ty =+AB ()2,012122АОВS y y =⨯⨯-==A4≥=当且仅当或时，等号成立，122,2y y ==-122,2y y =-=所以面积的最小值为4.AOB A 【注：面积也可以用的方式来计算 AOB A 12AOB S OA OB =⨯⨯A 【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0 OA OB 不妨设直线方程为，代入由可得 OA y kx =2y OA OB ⊥()22,2B k k -22OA k =OB =12AOB S OA OB ==A4≥=当且仅当时等号成立1k =±所以面积的最小值为4 AOB A 【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， AB AOB A 4AOB S =A 当直线斜率存在时，设直线，AB :AB y kx b =+由消去，得， 22y kx b y x=+⎧⎨=⎩y ()222210k x kb x b +-+=()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则， ()212122221,kb b x x x x k k -+=-=因为，所以即，OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=所以 ()()22121210kb x x k x x b ++++=解得（舍去）或，0b =2b k =-所以直线，所以直线过定点，():2AB y k x =-AB ()2,0()()121212222AOB S y y k x k x =⨯⨯-=---=A 4=>综上：面积的最小值为4.AOB A 21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，BD AC O O BD 连接，是的中点，，OG G DE //OG BE ∴平面，平面，BE ⊂ BEF OG ⊄BEF 平面；//OG ∴BEF 又，平面，平面，//EF AC AC ⊄BEF EF ⊂BEF 平面，//AC BEF 又与相交于点，平面，AC OG O ,AC OG ⊂ACG 所以平面平面.//ACG BEF （2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以， OF ABCD AC BD ⊥又，，所以为等边三角形，所以，又， 60ABC ∠=︒=2CD ABC A =2AC 1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =//EF OC OCEF //OF CE 因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD 如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系， O OC OD OF x y z 则，，，，()1,0,0A-()0,B()D(F ，，，AD =(1,AB = AF = 设面的法向量为，ABF =(,,)m a b c 依题意有，则， m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩==0==0m AB a m AF a ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩令，，则，a =1b =1c =-1)m =-所以cos ,AD mAD m AD m ⋅<>==⋅ 所以直线与面AD ABF【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，OF ABCD AC BD ⊥所以为等边三角形，所以，又，ABC A 2AC =1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =EF OC ∥OCEF OF CE ∥因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD在Rt 中，， FOB A BF==在Rt 中，FOA A 2AF ==又在中，由等腰三角形易计算得 ABF A 2,AB =∴ABF S =A 设为点到平面的距离d D ABF 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅A A 即有计算得： d =设直线与平面所成的夹角为，则 AD ABF θsin d DA θ===所以直线与面AD ABF 22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为， 22221x y a b -=b y x a =±又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为 0,01b a b a >><<b y x a =,6π则. b a =a =，得 2=1a b ==所以双曲线的方程是. C 2213x y -=（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，l x l 2x ty =+代入，得，即. 2213x y -=22(2)33ty y +-=()223410t y ty -++=设点，则. ()()1122,,,P x y Q x y 12122241,33t y y y y t t +=-=--设点，则 (),0M m ()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++- ()()22223312113m t m m t ---+=-令，得， ()223121133m m m -+=-53m =此时. 2239MP MQ m ⋅=-=- 当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. l x ,P Q ()),P Q 对于点. 5552,0,,0·,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 所以存在定点，使为定值.5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2239MP MQ m ⋅=-=-。
广东省广州市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．等差数列的前项和为，若，，则（ ） {}n a n n S 23a =525S =7a =A ． B ．C ．D ．16151413【答案】D【分析】先求得等差数列的公差，从而求得. {}n a 7a 【详解】， 15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===设等差数列的公差为，则， {}n a d 322d a a =-=所以. 72535213a a d =+=+⨯=故选：D2．已知空间向量，且，则（ ）()()1,2,,,2,3n a m a == n m⊥n m -=A ．BC ．D ．20【答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得.a n m -【详解】由于，所以，n m ⊥43440,1n m a a a a⋅=++=+==- 所以()()(1,2,11,2,32,0,n m -=---== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相5523等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（ ） A ．B ．C ．D ．4312313【答案】A【分析】设第分到钱，由题意可得出关于、的方程组，解出的值即可.()15,N n n n *≤≤∈n a 1a d 1a 【详解】设第分到钱，设数列的公差为，()15,N n n n *≤≤∈n a {}()15,N n a n n *≤≤∈d 由题意可得，所以，，解得. 1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩143a =故选：A.4．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为1C 22(5)(3)9x y -+-=2C 224290x y x y +-+-=（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆：的圆心为，半径，1C 22(5)(3)9x y -+-=1(5,3)C 13r =圆：，即，圆心，半径 2C 224290x y x y +-+-=22(2)(1)14x y -++=1(2,1)C -2r =两圆的圆心距，即15C =353-<<+211221r r C C r r -<<+，所以圆与圆相交. 1C 2C 故选：C5．设是等比数列，且，，则（ ） {}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=678a a a ++=A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.q ()5678123a a a q a a a ++=++【详解】设等比数列的公比为，则， {}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ） ()21P ，221：+=O x y l l A ． B ． 3450x y --=4350x y --=C ．或 D ．或1y =4350x y --=1y =3450x y --=【答案】C【分析】设切线为，即，由与圆相切，得l 1(2)y k x -=-120kx y k -+-=l 221：+=O x y，即可解决.1d 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为1，221：+=O x y (0,0)因为在圆外， ()21P ，所以设切线为，即， l 1(2)y k x -=-120kx y k -+-=因为与圆相切，l 221：+=O x y所以，解得或， 1d 0k =43k =所以切线的方程为，或， l 1y =4350x y --=故选：C7．已知直线：与直线：平行，则a 的值是（ ） 1l 20x ay -+=2l ()()240a x a y a ++-+=A ． B ．1C ．或1D ．4或4-4-1-【答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线：与直线：平行， 1l 20x ay -+=2l ()()240a x a y a ++-+=则有，解得或，(2)40a a a ++-=1a =4a =-当时，直线：与直线：平行，1a =1l 20x y -+=2l 3310x y -+=当时，直线：与直线：，即重合， 4a =-1l 420x y ++=2l 2840x y ---=420x y ++=所以a 的值是1. 故选：B 8．已知是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，，且2F ()222210x y a b a b+=>>()220OP OF PF +⋅= ，则椭圆的离心率为（ ） 22OP OF b +=A B C D 【答案】A【分析】设的中点为，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得，从而得到2PF Q 2OQ PF ⊥，根据得到，再根据椭圆的定义得到，在直角三角形中利12PF PF ⊥22OP OF b +=1||2PF b =2||PF 用勾股定理得到，最后根据离心率公式计算可得； 23b a =【详解】解：设的中点为，则由，即 2PF Q 22OP OF OQ +=22()0OP OF PF +⋅=220OQ PF ⋅=所以，2OQ PF ⊥连接可得，所以，1PF 1//OQ PF 12PF PF ⊥因为，即，即 22OP OF b +=22OQ b = 1||2PF b =所以， 21||2||22PF a PF a b =-=-在中，， 12R t PF F 2221212||||||PF PF F F +=即，又， ()()2222224c b a b -+=222c a b =-所以，所以，即222222b a b ab a b +=+--232b ab =23b a =解得 c e a =故选：A二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．过点且在x ､y 轴截距相等的直线方程为 ()1,2P 30x y +-=B ．直线在y 轴上的截距为 32y x =-2-C 的倾斜角为10y ++=60︒D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()1,2-230x y -+=20x y +=【答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.120︒【详解】过点且在x ､y 轴截距相等的直线方程为和，A 错误； ()1,2P 30x y +-=2y x =取，，则直线在y 轴上的截距为，B 正确； 0x ==2y -32y x =-2-的斜率为，C 错误；10y ++=k =120︒垂直于直线的直线方程斜率为，过点的直线方程为230x y -+=2k =-()1,2-()2122y x x =-++=-，即，D 正确. 20x y +=故选：BD.10．已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 20182019S S <20192020S S >A ．在数列中，最大； B ．在数列中，最大 {}n a 1a {}n a 2019a C ． D ．当时，20200a >2020n ≥0n a <【答案】AD【分析】由题得，即可解决.201920200,0a a ><【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 20182019S S <20192020S S >所以， 201920200,0a a ><所以等差数列为递减数列，{}n a 所以在数列中，最大；当时，； {}n a 1a 2020n ≥0n a <故选：AD11．已知空间中三点，，，则下列命题正确的是（ ） ()0,1,0A ()2,2,0B ()1,3,1C -A ．方向的单位向量是 AB⎫⎪⎪⎭B ．与夹角的余弦值是AB BCC ．ABCD ．若，则点到直线3AP AB AC =+ P AC 【答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，，所以方向的单位向量是，A 选项()2,1,0AB = ABAB AB ⎫==⎪⎪⎭错误.B 选项，，设与夹角为，()3,1,1BC =- ABBC θ则B 选项正确.cos AB BC AB BC θ⋅===⋅C 选项，由于，所以是锐角，cos θ=cos B =B 所以sin B ==所以C 选项正确.12ABC S == D 选项，，，()1,2,1AC =-()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭所以点到直线D 选项正P AC ===确. 故选：BCD12．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交P 22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）12,C C 121212,,,,F F F PF C C ∠θ=12,e eA ．B ．若，则 12,PF a m PF a m =+=-60θ=︒2221314e e +=C ．若，则的最小值为2D ． 90θ=︒2212e e +tan2n bθ=【答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：，解得，，A 正121222PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1PF a m =+2PF a m =-确；在中，由余弦定理得：，12F PF △()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=整理得，，即()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=()()22221cos 1cos 2a m c cθθ-++=22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当时，，即，B 正确；60θ=︒222132122e e +=2221314e e +=当时，，，90θ=︒2212112e e +=2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+12≥=当且仅当时取“=”，而，C 不正确；121e e ==1201,1e e <<>在椭圆中，，即22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--， 2122||||1cos b PF PF θ=+在双曲线中，，即22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+， 2122||||1cos n PF PF θ=-于是得，而，则，D 正确. 22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++022θπ<<tan 2n bθ=故选：ABD【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线的渐近线方程是___________.221916x y -=【答案】43y x =±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为，221916x y -=所以双曲线的渐近线方程为，即，220916x y -=43y x =±故答案为：43y x =±14．以点为直径的圆的一般式方程为______________． (1,1),(3,3)A B -【答案】22240x y x y +--=【分析】根据为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可. AB【详解】因为，中点坐标为，所以()1,1A -()3,3=AB ()1,2以为直径的圆的标准方程为，展开得一般式方程为. AB ()()22125x y -+-=22240x y x y +--=故答案为：.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则=________．AB 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F 坐标为， 24y x =(1,0)F又∵直线AB 过焦点F ∴直线AB 的方程为： 1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得， 231030x x -+=解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二： 10036640∆=-=>设，则, 1122(,),(,)A x y B x y 12103x x +=过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.,A B =1x -,C D 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 16．如图，二面角的大小为，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都AB αβ--60 PM NQ 垂直于棱.若，则__________.AB 2,3,4PM MN NQ ===PQ =【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公PQ PM MN NQ =++式平方即可得解.【详解】根据题意，，PQ PM MN NQ =++由二面角大小为，可得， l αβ--120︒,120PM NQ =22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ =+++⋅+⋅+⋅ ，14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项． （1）求{an }的通项公式； （2）设数列{bn }满足，求{bn }的前n 项和Sn ．()17n n b n a =+【答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn ． 44nn =+【解析】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知，再用裂项相消法求解.()1111741n n b n a n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则解得 d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1， ()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3． （2）∵，()1111741n n b n a n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴ 1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ． 1114144nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆，直线. 22:240C x y y +--=:10l mx y m -+-=(1)判断直线与圆的位置关系；l C (2)若直线与圆交于不同的两点，且. l C ,A B AB =【答案】(1)直线与圆相交； l C (2)直线的方程为或 0x y -=20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线，整理得，:10l mx y m -+-=(1)1m x y -=-令，解得 1010x y -=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点.(1,1)P 将P 点坐标代入圆C 方程得，112440+--=-<故P 点在圆C 内，直线与圆相交.l C （2）圆，整理得22:240C x y y +--=22(1)5x y +-=即，.(0,1)C r =因为AB =所以圆心C 到直线l 的距离为. d ==又 d 所以1m =±故直线的方程为或.0x y -=20x y +-=19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且P ABCD -ABCD M PA PD ⊥ABCD ，．4PD CD ==2AD =（1）求证：；PA CD ⊥（2）求与平面所成角的正弦值；AP CMB （3）求二面角的余弦值． M CB P --【答案】（1）证明见解析；（2）；（3. 45【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即证；CD ⊥PAD PA CD ⊥（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面D ,,DA DC DP x y z 的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；CMB AP CMB （3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．CBP M CB P --【详解】（1）平面，平面，.PD ⊥ ABCD CD ⊂ABCD PD CD ∴⊥底面是矩形，，又，ABCD AD CD ∴⊥AD PD D =I 平面，平面，CD \^PAD PA ⊂PAD .CD PA ∴⊥（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示D ,,DA DC DP x yz则，()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面的法向量，则CMB (),,n x y z = ，即，令，则，·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩ 0420x x y z =⎧⎨--+=⎩1y =2z =(0,1,n ∴= 设直线与平面所成的角为，则AP CMB θ. 4sin cos ,5AP n AP n AP nθ=〈〉=== 所以与平面所成角的正弦值为. AP CMB 45（3）. ()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- 设平面的法向量，则CBP (),,m x y z =，即，令，则.·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩02440x x y z =⎧⎨--+=⎩1y =1z =()0,1,1,m m == 又平面的法向量CMB (0,1,n = 设二面角的大小为，则为锐角，M CB P --ααcos cos ,m n m n m nα∴=〈〉===所以二面角 M CB P --【点睛】本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线过点，且．2y 2px(p 0)=>()Q 1,m (m 0)>QF 2=Ⅰ求p 的值；()Ⅱ过点Q 作两条直线，分别交抛物线于，两点，直线，分别交x 轴于()1l 2l ()11A x ,y ()22B x ,y 1l 2l C ，D 两点，若，证明：为定值．QCD QDC ∠∠=12y y +【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析.p 2=【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式，可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立． 2114y x =2224y x =【详解】Ⅰ抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，得； ()p x 2=-p QF 122=+=p 2=Ⅱ由Ⅰ可知，抛物线的方程为，()()2y 4x =将点Q 的坐标代入抛物线的方程得，2m 414=⨯=，得，所以，点Q 的坐标为．m 0> m 2=()1,2，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．QCD QDC ∠∠= 则． ()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--所以，，因此，定值．12y 2y 20+++=12y y 4(+=-)【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列中，且.{}n a 12a =*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈（1）求，，并证明是等比数列；2a 3a {}n a n -（2）设，求数列的前项和. 12n n n a b -={}n b n n S 【答案】（1），，证明见解析；（2）. 24a =37a =1242n n n S n -+=+-【解析】（1）在已知的数列递推公式中分别取，结合已知的首项即可求得的值，再把2,3n =23,a a 递推式两边同时减n 即可证明是等比数列；{}n a n -（2）由是等比数列求出数列的通项公式，代入，分组后利用错位相减法求数{}n a n -{}n a 12n n n a b -=列的前n 项和.{}n b n S 【详解】（1）由已知 ()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+，，，24a =37a =1222n n a n a n --=-+即，()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦因为， ()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--所以是以2为公比的等比数列.{}n a n -（2）由（1）得，即， ()1112n n a n a --=-⋅12n n a n -=+所以， 11122n n n n a n b --==+设，且前项和为， 12n n n C -=n n T 所以， ① 01231123422222n n n T -=+++++ ， ② 123112322222n n n T =++++①－②得， 231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ， 11112212122212--+=+-=--n n nn n 所以， 1242n n n T -+=-. 1242n n n S n -+=+-【点睛】该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点，圆：，点Q 为圆上动点，线段MQ 的垂直平分线交()1,0M -N ()22116x y -+=N NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线和，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最1l 2l 大值．【答案】(1) 22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得，42MP NP PQ NP MN +=+=>=所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：； 22143x y +=（2）由题意可设的方程为， 2l 1x ty =+联立方程得， ()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩设，，则由根与系数关系有， ()11,D x y ()22,E x y 122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩， ()2212134t t +==+根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M 到直线的距离，为()2212134t DE AB t+==+1l 2l 2ld =所以四边形ABDE 面积为得， 24S =()1u u =≥224241313u S u u u==++由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．1u =0=t。
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．经过点(1,0)且与直线210x y -+=垂直的直线方程为（ ） A ．210x y --= B ．220x y --= C ．220x y +-= D ．210x y +-=【答案】C【解析】先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】因为所求直线与直线210x y -+=垂直， 所以其斜率为1212k =-=-， 又所求直线过点(1,0)，因此，所求直线方程为()21y x =--，即220x y +-=. 故选：C.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，且α⊥β，则x 的值为（ ） A ．10 B ．－10 C ．12D ．－12【答案】B【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x 的值 【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以a b ⋅＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10． 故选：B3．已知圆C 经过原点，且其圆心在直线20x y --=上，则圆C 半径的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】计算出原点到直线20x y --=的距离，即为所求. 【详解】当OC 与直线20x y --=垂直时，圆C 的半径最小，因此，圆C 半径的最小值为d =故选：B.4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是A ．22145x y -= B ．22145x y -=C ．22125x y -=D ．22125x y -= 【答案】B【详解】依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 【考点定位】考查双曲线方程．5．已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．32【答案】C【解析】设公比为q ，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q ，即可得到所求值【详解】12,,6a a 成等差数列，得12642a a +==，即：14a q =，2q所以341a a q =＝16，故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.6．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．23C 2D ．12【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a 、c ，算出离心率. 【详解】易知抛物线28y x =的焦点（2，0），准线x=-2， 即椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径； 即通径为226b a= ，又因为c=2 解得a=4所以离心率2142c e a === 故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.7．在四面体D ABC -中，点G 是ABC 的重心，设DA a =，DB b =，DC c =，则DG =（ ） A ．122333a b c ++B ．111333a b c ++C ．222333a b c ++D ．221333a b c ++【答案】B【分析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案. 【详解】设E 是BC 中点， 23DG DA AG DA AE =+=+()()211323DA AB AC DA AB AC =+⨯⨯+=++()()11233DA DB DA DC DA DA DB DC DA =+-+-=++- 111111333333DA DB DC a b c =++=++. 故选：B8．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是 A ．()0,2323,⎡++∞⎣B ．[23,23C ．(),0∞-D ．[0∞+，） 【答案】D【分析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】圆C （2,0），半径r ＝2，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2， 则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：221d k =≤+，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多选题9．已知圆1C ：221x y +=和圆2C ：()()22230x y r r -+=>，以下结论正确的是（ ） A ．若1C 和2C 只有一个公共点，则2r = B ．若1r =，则1C 和2C 关于直线32x =对称 C ．若12r <<，则1C 和2C 外离D ．若23<<r 且1C 和2C r =【答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为11r =. 圆2C 的圆心为()23,0C ，半径为2r r =. 圆心距123C C =.当4r =时，2112r r C C -=，两圆内切，1C 和2C 只有一个公共点，A 选项错误. 当1r =时，两个圆的半径相等，1C 和2C 关于直线32x =对称，B 选项正确. 当12r <<时，()1211,3r r r +=+∈，即1212C C r r >+，1C 和2C 外离，C 选项正确. 当23<<r ，()1213,4r r r +=+∈，()2111,2r r r -=-∈，所以211212r r C C r r <<+-，所以两圆相交，()2222231x y r x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减并化简得21006r x -=>， 即相交弦所在直线方程为2106r x -=，所以公共弦长为()2,3r ⇒=，D 选项正确.故选：BCD10．已知曲线C 的方程为22126x y k k+=--（R k ∈，且2k ≠，6k ≠），则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．若曲线C 为椭圆，且焦距为5k = C ．当2k <或6k >时，曲线C 为双曲线D ．当曲线C 为双曲线时，焦距等于4【答案】AC【分析】写出当4k =时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k 的值，可判断B ；当2k <或6k >时，判断2,6k k --的正负，即可判断C; 当曲线C 为双曲线时,确定k 的范围，求得焦距，可判断D.【详解】当4k =时,方程为22122x y +=，即222x y +=，表示圆，故A 正确；若曲线C 为椭圆，且焦距为则当焦点在x 轴上，260k k ->-> 且2(6)2k k ---= ，解得5k = ； 当焦点在y 轴上，620k k ->-> 且6(2)2k k ---= ，解得3k = ,故此时5k =或3k =，故B 错误； 当2k <时，20,60k k -<-> ，曲线22126x y k k+=--表示的是焦点位于y 轴上的双曲线； 当6k >时，20,60k k ->-< ，曲线22126x y k k+=--表示的是焦点位于x 轴上的双曲线；故C 正确； 当曲线C 为双曲线时， (2)(6)0k k --< ，即2k <或6k >，当2k <时，20,60k k --，焦距2c =，当6k >时，20,60k k ->-<，焦距2c =， 故D 错误， 故选：AC11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 与6a 是方程28120x x -+=的两根，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则44a =-B ．若{}n a 是等比数列，则4a =C ．若{}n a 是递减等差数列，则当n S 取得最大值时，7n =或8D ．若{}n a 是递增等差数列，216n S nt +≥对*N n ∈恒成立，则8t ≤ 【答案】BC【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前n 项和求出n S ，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 与6a 是方程28120x x -+=的两根， 由韦达定理得，268a a +=，6212a a ⨯=，所以解得22a =，66a =或26a =，62a =； 对于A 选项：若{}n a 是等差数列，则264=42a aa +=，故A 不正确；对于B 选项：若{}n a 是等比数列，则242a a q =⨯，因为20a >，所以40a >，则4a =B 正确；对于C 选项：若{}n a 是递减等差数列，所以26a =，62a =，解得公差1d =-， 首项17a =，所以()()()211711522n n n S n n n -=⨯+⨯-=--， 故当7n =或8时n S 取得最大值，故C 正确；对于D 选项：若{}n a 是递增等差数列，所以22a =，66a =，解得公差1d =，首项1，所以()2111222n S n n n nn -=⨯+⨯=+，因为216n S nt +≥对*N n ∈恒成立，即216n n nt ++≥恒成立，即161t n n ≤++恒成立，因为162168n n+≥=，当且仅当4n =时等号成立，故1619n n++≥，则9t ≤，故D 不正确. 故选：BC.12．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AC 的中点.则（ ）A ．111,120AB B D 〈〉= B ．1BD AC ⊥ C ．11BD EB ⊥ D ．145BBE ∠=【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则()111(2,0,2),(2,2,0),(2,2,2),0,0,2,(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0)A B B D A C E ， 因为111(0,2,2)(2,2,0,)A B B D =-=--，所以()()()11111122221111cos ,22222A B B D A B B D A B B D ⋅〈〉===-⋅+-⨯-+-，因为1110,180A B B D ︒≤〈〉≤︒，所以111,120A B B D 〈〉=，因此选项A 正确；因为1(2,2,2),(2,2,0)BD AC =--=-，所以11440BD AC BD AC ⋅=-=⇒⊥⇒1BD AC ⊥，所以选项B 正确； 因为11(2,2,2),(1,1,2)BD EB =--=,所以有11112240BD EB BD EB ⋅=--+=⇒⊥⇒11BD EB ⊥，所以选项C 正确； 因为11(0,0,2),(1,1,2)B B B E ---==-， 所以有11111146cos ,32114B B B E B B B E B B B E⋅〈===⨯++⋅〉， 所以145BB E ∠=不正确，因此选项D 不正确， 故选：ABC三、填空题13．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为_______. 【答案】71020【详解】因为直线与平行，得，所以，即，330x y +-=化为6260x y +-=由平行直线距离公式.14．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =_________ 3【解析】首先利用韦达定理可得153a a ⋅=，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，且231533,3a a a a =⋅=∴=3【点睛】本题考查了等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.15．如图,在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AB AD AA 两两夹角均为π3,则1AC BD ⋅=__________.【答案】0【分析】根据空间向量的加减,将1AC BD ⋅转化为1,,AB AD AA 之间的运算,再根据模及夹角计算结果即可.【详解】解:由题知平行六面体1111ABCD A B C D -棱长为1, 且1,,AB AD AA 两两夹角均为π3,所以()()11CC AC B A A A D D B C +⋅=-⋅ ()()1BC AA AD B AB A =++-⋅ ()()1AD AA AD B AB A =++-⋅1212AD AD AA AD AA AB AB AD A AB B =⋅-+-⋅+⋅-⋅ππ1111cos11cos 33=-++⨯⨯-⨯⨯ 0=.故答案为:016．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，且1F AB ∆23-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围是______. 【答案】[]1,4【分析】根据1F AB ∆的面积和短轴长得出a ，b ，c 的值，从而得出1PF 的范围，得到1211PF PF +关于1PF 的函数，从而求出答案．【详解】由已知得22b =，故1b =，∵1F AB ∆23-∴()12a c b -=，∴2a c -=()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =∴12121211PF PF PF PF PF PF ++=()211112444a PF PF PF PF ==--+，又122PF ≤≤∴211144PF PF ≤-+≤， ∴121114PF PF ≤+≤. 即1211PF PF +的取值范围为[]1,4. 故答案为[]1,4【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足2344,17a a a =+=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12b =,再从①12n n b b +=;②12n n b b +=;③1n n b b +=-这三个条件中任选一个作为已知,求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】(1)32n a n =- (2)选①时,2132222n n n n T +=-+-;选②时,22314222n n n n T -=--+;选③时,()231122nn n n T =-+--.【分析】(1)由题意设出{}n a 公差,代入2344,17a a a =+=中,求出基本量即可求出通项公式; (2)先选择一种条件,根据{}n b 递推关系得到{}n b 为等比数列,求出{}n b 的首项和公比,用分组求和即可得n T .【详解】（1）解:由题知{}n a 是等差数列, 记数列{}n a 公差为d , 因为2344,17a a a =+=,所以1142517a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解得11,3==a d , 故32n a n =-;（2）由(1)知32n a n =-, 当选择①时: 因为12n n b b +=,12b =, 故0n b ≠, 所以12n nb b +=, 即{}n b 为以2为首项,2为公比的等比数列,所以2nn b =,()()123123n n n T a a a a b b b b =+++++++++()()212132212n n n -+-=+-2132222n n n +=-+-; 当选择②时: 因为12n n b b +=,12b =, 故0n b ≠, 所以112n n b b +=, 即{}n b 为以2为首项,12为公比的等比数列, 所以212n n b -=,()()123123n n n T a a a a b b b b =+++++++++()12113221212nn n ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+-22314222n n n -=--+;当选择③时: 因为1n n b b +=-,12b =, 故0n b ≠, 所以11n nb b +=-, 即{}n b 为以2为首项,-1为公比的等比数列, 所以()121n n b -=⋅-,()()123123n n n T a a a a b b b b =+++++++++()()()()211132211nn n --+-=+--()231122nn n =-+--. 18．已知双曲线22:15x y E m -=（1）若4m =，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E 的离心率为e ∈⎝，求实数m 的取值范围．【答案】（1）焦点坐标为(3,0)-，()3,0，顶点坐标为(2,0)-，()2,0，渐近线方程为y =；（2）()5,10.【分析】（1）根据双曲线方程确定,,a b c ，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求e （用m 表示），再根据e ∈⎝解不等式得结果. 【详解】（1）当4m =时， 双曲线方程化为，22145x y -=所以2a =，b =3c =，所以焦点坐标为(3,0)-，()3,0，顶点坐标为(2,0)-，()2,0，渐近线方程为y =.（2）因为222551c m e a m m +===+，e ∈⎝所以35122m<+<， 解得510m <<，所以实数m 的取值范围是()5,10．【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，E 为AB 的中点.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）求点E 到平面1ACD 的距离；（3）求平面1AD E 与平面1ACD 夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）13；（322. 【解析】（1）首先建立空间直角坐标系，证明110D E A D ⋅=；（2）求平面1ACD 的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解； （3）求平面1AD E 与平面1ACD 的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.【详解】（1）如图，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，()10,0,1D ，()1,1,0E ，()11,0,1A ，()0,0,0D()11,1,1D E =-，()11,0,1A D =--，()()()111110110D E A D ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=，所以11D E A D ⊥；（2）()1,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,1D ，()1,1,0E ，()1,2,0AC =-， ()11,0,1AD =-，()0,1,0EA =设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1,y =则2,2x z ==，所以()2,1,2n =，则点E 到平面1ACD 的距离22213212EA n d n⋅===++； （3）由（1）可知11A D D E ⊥， 又1AD AA =，11A D AD ∴⊥，且111AD D E D =，1A D ∴⊥平面1AD E ，()11,0,1A D =--是平面1AD E 的法向量， 111222cos ,311n A D n A D n A D⨯-+⨯-⋅<>===⨯+ 平面1AD E 与平面1ACD 夹角是锐角， 所以平面1AD E 与平面1ACD 夹角的余弦值为223. 【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.20．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥. 【答案】（Ⅰ）22y x =（Ⅱ）详见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p ，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k （x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM ⊥ON 试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 所以 122p -=-， 解得1p =， 所以 抛物线的方程为22y x =. （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y . 将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 所以 124x x =.由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =，注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 即 OM ON ⊥.【解析】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程21．如图，在四棱锥M ABCD –中，底面ABCD 是平行四边形，且1AB BC ==，1MD =，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答： ①二面角A MD C ––的大小是23π；②2BAD π∠=． 若______，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．【答案】答案见解析.【分析】若选①，先证明23ADC ∠=π，轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值；若选②，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值. 【详解】若选①：因为MD ⊥平面ABCD ，所以AD MD ⊥，CD MD ⊥， 所以ADC ∠就是二面角A MD C ––的平面角，所以23ADC ∠=π. 过D 作x 轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,1,0C ，311,42H ⎫⎪⎪⎝⎭. 所以331,442CH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.取平面MCD 的一个法向量()1,0,0n =.设CH 与平面MCD 所成角为θ，则334sin 439116164CH nCH nθ⋅===⋅++. 所以CH 与平面MCD 所成角的正弦值是34. 若选②，因为MD ⊥平面ABCD ，2BAD π∠=，所以DA ，DC ，DM 两两垂直.以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0C ，111,,222H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以111,,222CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.取平面MCD 的一个法向量()1,0,0n =. 设CH 与平面MCD 所成角为θ，则334sin 111444CH n CH nθ⋅===⋅++所以CH 与平面MCD 3【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．已知圆()22:264Q x y ++=，P （2，0），M 点是圆Q 上任意一点，线段PM 的垂直平分线交半径MQ 于点C ，当M 点在圆上运动时，点C 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 方程；(2)已知直线l ：x ＝8，A 、B 是曲线C 上的两点，且不在x 轴上，1AA l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若D （3，0），且11A B D △的面积是△ABD 面积的5倍，求△ABD 面积的最大值． 【答案】(1)2211612x y += (2)32【分析】（1）由定义法求出曲线C 的方程；（2）先判断出直线AB 过定点H (2,0)或H (4,0).当AB 过定点H (4,0)，求出11212ABD S =⨯⨯=△最大；当H (2,0)时，可设直线AB ：2x my =+.用“设而不求法”表示出A B y y -=24=+t m （4t ≥），利用函数的单调性求出△ABD 面积的最大值. 【详解】（1）因为线段PM 的垂直平分线交半径MQ 于点C ，所以MC PC =, 所以84QC PC QC CM PQ +=+=>=,符合椭圆的定义， 所以点C 的轨迹为以P 、Q 为焦点的椭圆，其中28,24a c ==，所以 22212b a c =-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=. （2）不妨设直线l ：x ＝8交x 轴于G (8,0)，直线AB 交x 轴于H (h ,0)，则111112A B DA B SDG y y =-,12ABDA B S DH y y =-. 因为，1AA l ⊥， 1BB l ⊥，所以11A B A B y y y y -=-.又因为11A B D △的面积是△ABD 面积的5倍，所以5DG DH =. 因为G (8,0)，D （3，0），所以1DH =，所以H (2,0)或H (4,0).当H (4,0)时，则H 与A （或H 与B ）重合，不妨设H 与A 重合，此时，112ABDA B Sy y =⨯-， 要使△ABD 面积最大，只需B 在短轴顶点时，B y =2最大，所以11212ABD S =⨯⨯=△最大；当H (2,0)时，要想构成三角形ABD ，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB ：2x my =+.设()()1122,,,A x y B x y ,则22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得：()22346360m y my ++-=，所以()23613160m ∆=+>，122634m y y m +=-+，2123634y y m =-+，所以12A B y y y y -=-==不妨设24=+t m （4t ≥），则==u =[)4,+∞上单调递减，所以当t =4时，max 3u =，此时131322ABDS =⨯⨯=最大 综上所述，△ABD 面积的最大值为32.【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（2）解析几何中最值计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：表示为函数，利用函数求最值.。
2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学质量检测试卷(含解析)
2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{}3,2,1,0,1,13,Z A B x x n n =---==-∈，则A B = （）A ．{}3,1--B ．{}2,1-C ．{}3,1,1--D ．{}2,0-【正确答案】B【分析】先利用整数集Z 的概念与列举法得到集合B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}3,2,1,0,1,13,Z ,5,2,1,4,A B x x n n =---==-∈=-- ，所以{}2,1A B ⋂=-.故选：B.2．下列各代数式中，最小值为2的是（）A ．1x x+B ．221x x +C 2D ．142x x+-【正确答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥=（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=≠，所以无法取得最小值，故C 错误；对于D 不能保证0x >，故D 错误.故选：B3．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A ．72-B ．32C ．72D ．552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.4．设0.311531log 3,log 5,()5a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】分别求出,,a b c 的范围，再比较大小.【详解】根据对数换底公式可知，1555log 3log 3log 51a ==->-=-，所以10a -<<，1333log 5log 5log 31b ==-<-=-，所以1b <-，0.3105c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以b a c <<.故选：D5．若()0,πa ∈，22sin cos 5a a +=，则tan a =（）A ．35-B ．45-C ．34-D ．14-【正确答案】C【分析】根据同角三角函数的平方关系先求出4cos 5α=-，3sin 5α=，然后再利用商的关系即可求解.【详解】因为22sin cos 5a a +=，所以22sin cos 5a a =-，又因为22sin cos 1αα+=，所以221cos (cos 152αα-+=，解得：4cos 5α=-或24cos 25α=，则3sin 5α=或7sin 25α=-，因为()0,πa ∈，所以4cos 5α=-，3sin 5α=，则3tan 4α=-，故选.C6．若样本数据122018,,,x x x 的标准差为3，则数据12201841,41,,41x x x --- 的方差为（）A ．11B ．12C ．143D ．144【正确答案】D【分析】根据数据方差公式()()2D aX b a D X +=求解即可.【详解】因为样本数据122018,,, x x x 的标准差为3，所以方差为9，所以数据12201841,41,,41--- x x x 的方差为249144⨯=.故选：D.7．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()23P A a =-，()122P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据互斥事件的知识列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于,A B 互斥，且,A B 发生的概率均不为0，所以0231102121023212a a a a ⎧⎪<-<⎪⎪<-<⎨⎪⎪<-+-≤⎪⎩，解得1223a ≤<，所以a 的取值范围是12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D8．等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且(32)(21)n n n T n S +=+，则537b b a +=（）A ．3041B ．3043C ．1823D ．1846【正确答案】A【分析】根据等差数列前n 项和的特点，由已知设出,n n S T ，分别求出其通项公式,n n a b ，代入537b b a +计算可得答案.【详解】设等差数列{}n a ，{}n b 的首项和公差分别为1112,,,a d b d ，则120,0d d ≠≠，因为(32)(21)n n n T n S +=+，由等差数列前n 项和的特点，故可设(32),(21)n n S An n T An n =+=+，其中A 为非零常数，由2(32)32n S An n An An =+=+，当1n =时，115a S A ==，当2n ≥时，()()()2213231216n n n a S S An An A n A n An A -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，当1n =时上式仍旧适合，故6n a An A =-，同理可得，当(21)n T An n =+时，4n b An A =-，所以53720123030424141b b A A A A A a A A A +-+-===-.故选：A.二、多选题9．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B AB BC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=-- ，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACE S ︒=⨯= .设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE的距离为AF nd n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=⨯= ，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.10．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ，C ；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D 作答.【详解】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-==+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ--=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确.故选：ACD 三、填空题11．若复数z 满足i i z z +=⋅（i 为虚数单位），则z =__________．【正确答案】2【分析】根据复数的除法运算求出z ，再求模即可得解.【详解】∵i i z z +=⋅，∴()1i i z -=-，即()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -+-===---+，∴z =故2．12．若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【正确答案】4【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ===，故4.13．把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】12##0.5【分析】利用反推法与三角函数图像变换得到()f x 的解析式，再计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】由题可知，要得到()f x ，需将()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，向左平移π3个单位长度，得到πππsin sin 3412y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()1πsin 212f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1πs 2i 1n πππsin 212666f ⎛⎫⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭.故答案为.1214．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点M 在直线x c =上运动，若12A MA ∠的最大值为60 ，则双曲线C 的离心率为__________.【正确答案】233##233【分析】根据题意结合两角差的正切公式整理可得12222tan ac a m A mMA ∠=-+，利用基本不等式求其最大值，即可得223a c a=-，运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F ，MF m =，则12212,tan tan MA A MA MF MF m mF A F c a A F c a∠∠====+-，由题意可得：()21212212212tan tan tan tan 1tan tan MA MA A A MA MA MA A MA M F A F A F ∠∠∠∠∠∠∠-==+-22222221m mam ac a c a m m c a m c a m c a c a m--+===-+-+⨯+-+，∵22222222c a c a m m c a m m--+≥⨯=-，当且仅当22c a m m -=，即22m c a b =-=时等号成立，∴1222n 3ta A MA a c a∠≤=-，整理可得：2243a c =，故22243c e a ==，即233e =.故答案为.233四、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos sin C cB b=.(1)求角C 的大小；(2)点D 为边AC 的中点，2BD =，设,BC x CD y ==，求BCD △面积的最大值.【正确答案】(1)π3C =3【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan 3C =，从而求得角C ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得4xy ≤，从而利用三角形面积公式即可求得BCD △面积的最大值.【详解】（13cos sin C cB b=，所以由正弦定理得3cos sin sin sin C CB B =3cos sin C C =，故tan 3C =，又0πC <<，所以π3C =.（2）在BCD △中，,,2BC x CD y BD ===，所以由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅，即224x y xy =+-，又2242x y xy xy xy xy =+-≥-=，当且仅当2x y ==时，等号成立，则4xy ≤，所以13sin 324BCD S xy C xy =⋅ 2x y ==，故BCD △316．已知数列{}n a 满足{}131152，，n n a a a a +==-是公差为1的等差数列.(1)证明：{}n a n +是等比数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S .【正确答案】(1)答案见解析(2)21422n n n n S +++=-，N n *∈.【分析】对于（1），证明11n n a n a n+++=+常数即可；对于（2），由（1）可知2nn a n =-，后可求得n S .【详解】（1）根据题意有2132212a a a a -+=-，即2222152,2a a a -+=-=，所以()1212211n n a a a a n n +-=-+-=-，故()112n n a n a n +++=+，所以{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，()11122n n n a n a -+=+⨯=，所以2nn a n =-，所以()()222212n n n S =+++-+++ ()1212212n n n +-=⋅--.()2111422222n n n n n n +++++=--=-，其中N n *∈.17．四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA AB =，平面PAB ⊥平面PBC .(1)证明：AB ⊥BC ；(2)设M 为PC 上的点，求PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值.【正确答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直证明出线面垂直，得到AE ⊥BC ，结合PA ⊥BC ，得到线面垂直，证明出BC ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值的最大值.【详解】（1）如图，过点A 作AE ⊥PB 于点E ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为PB ，且AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥平面PBC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，因为PA AE A = ，,PA AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AB；（2）因为底面ABCD 是菱形，且BC ⊥AB ，所以四边形ABCD 为正方形，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB =1，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1A B C P ，()()1,0,0,1,1,1AB CP ==-- ，设CM CP λ= ，01λ≤≤，则()()()1,1,01,1,11,1,AM AC CM AC CP λλλλλ=+=+=+--=-- ，设平面ABM 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()()(),,1,0,00,,1,1,110n AB x y z x n AM x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅--=-+-+=⎪⎩，解得：0x =，不妨令y λ=，则1z λ=-，故()0,,1n λλ=- ，设PC 与平面ABM 所成角大小为θ，则sin cos ,CP n n CP n θ⋅===⋅，=当12λ=时，sinθ=sin 3θ=，所以PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值为3.18．已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切且与圆C ：222x y x +=外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹E 方程；(2)过圆心C 作直线l 与轨迹E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为,,,A M N B ，若AM MN NB ，，成等差数列，求直线l 的方程；【正确答案】(1)24(0)y x x =>(2)y =或y =+【分析】（1）根据相切和外切得到圆心P 到直线=1x -的距离等于圆心到()1,0C 的距离，轨迹为抛物线，计算得到答案.（2）确定2MN =得到6AB =，设出直线，联立方程，得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可.【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，圆C ：()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1，则1PC r =+，又圆心P 到y 轴的距离为r ，则圆心P 到直线=1x -的距离为1r +，由抛物线的定义得圆心P 的轨迹E 方程为抛物线，且12p =，2p =，故轨迹方程为：24(0)y x x =>（2）由圆C 的半径为1可得2MN =，AM MN NB ，，成等差数列，故24AM NB MN +==，又AM NB AB MN +=-，6AB =，设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，2440y my --=，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，6AB ===，解得212m =，2m =±，此时0∆>成立，所以直线l的方程为1x y =+，即y =y =。
广东省广州高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，则（ ） {}12A x x =-<<{}2log 2B x x =<A B = A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(0,1)(0,2)(,2)-∞【答案】C【分析】首先求集合，再求.B A B ⋂【详解】由，解得，则.又∵， 2log 2x <04x <<{}04B x x =<<{}12A x x =-<<∴. (0,2)A B ⋂=故选：C.2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ） R a ∈(1i)(i)a ++=a A ．0 B ． C ．1D1-【答案】B【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有，即可得答案. 10a +=【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上， (1i)(i)(1)(1)i a a a ++=-++∴，即． 10a +=1a =-故选：B3．若成等差数列；成等比数列，则等于 121,,,4a a 1231,,,,4b b b 122a ab -A ．B ．C ．D ．12-1212±14【答案】A【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．【详解】若1，a 1，a 2，4成等差数列，4＝1+3d ，d ＝1， ∴a 1﹣a 2＝﹣1．又1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，b 22＝1×4，解得b 2＝2，b 2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）． ∴12212a ab -=-故答案为A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103512【答案】B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为 . 310故选：B.5．已知，则（ ） ππcos 24αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 22cos 21αα+=+A ． B ． C ．D ．547477-【答案】B【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求tan α得结果.【详解】由得：，ππcos 24αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin cos sin sin cos 44ααααα-==-即，，2sin cos αα=1tan 2α∴=222222sin 222sin cos 2sin 2cos sin cos sin cos cos 212cos cos αααααααααααα+++++∴==+.2117tan tan 11244αα=++=++=故选：B.6．已知，为单位向量．若，则（ ）a b a b a b ⋅=+ cos 2,3a b <>=A ．B ．C D1111【答案】A【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.【详解】设，的夹角为，a bθ因为，为单位向量,且，a b=+a b a b ⋅ 所以，22cos =+a b a b ⋅θ 即， 222cos =++2cos a b a b θθ 整理得，2cos 2cos 2=0θ-θ-解得，cos =1θ-因为6cos 23cos<2,3>===1236a b a b a b a b a bθ⋅-故选:A.7．已知抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则24y x =F ()43A ，P P AF PAF △周长取最小值时，线段的长为 PF A ．1 B ． 134C ．5D ．214【答案】B【分析】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |．因此问题转化为求|PA |+|PD |的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时|PA |+|PD |最小，由此即可求出P 的坐标，然后求解PF 长度． 【详解】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值， 设点P 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |因此，|PA |+|PF |的最小值，即|PA |+|PD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小， 此时P （，3），F （1，0）的长为，94PF 913144+=故选B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小，是解题的关键．8．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆1F 2F ()222210,0x y a b a b-=>>P在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为2222x y a b +=+Q 1213F P F Q =（ ）A B C D 【答案】A【分析】连接,设由条件可得，可得，由条件有则21,PF QF 1PF n =12PF PF ⊥2222n b an =-，由双曲线的定义可得.在中，， 由余弦定理可23F Q n =123QF a n =+12F F Q △21cos 2nQF F c∠=-得：，可得，可解得，从而可2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠22263b an n =-n a =得答案.【详解】连接，设,设，，由双曲线的定义可得21,PF QF 12PF F θ∠=122FF c =1PF n =22PF a n =+.由条件可得 ，则，即 12PF PF ⊥()22224n a n c ++=2222n b an =-在中， 12F F P A 12cos cos 2nPF F cθ∠==由，则，由双曲线的定义可得.1213F P F Q =23F Q n =123QF a n =+在中， 12F F Q △21cos cos 2n QF F cθ∠=-=-由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠即 ()()22223342322n a n n c n c c+=++⨯⨯⨯所以22263b an n =-结合上面得到的式子：，可得2222n b an =-n a =所以，则 ，即12,3PF a PF a ==()()2232aa a c +=22104a c =所以，即210542e ==e 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解答本题的关键是由条件设由条件1PF n =可得，可得，在中，，由余弦定理可得：12PF PF ⊥2222n b an =-12F F Q △21cos 2nQF F c∠=-，即 ，所2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠()()22223342322na n n c n c c+=++⨯⨯⨯以 ，属于中档题.22263b an n =-二、多选题9．(多选)数列{an }为等差数列，Sn 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则（ ） A ．a 1＝1 B ．d ＝－ 23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40【答案】ACD【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解. 【详解】设数列{an }的公差为d ， 则由已知得S 7＝， 177()2a a +即21＝，解得a 1＝1. 17(5)2a +又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝. 23所以S 10＝10a 1＋d ＝10＋＝40. 1092⨯109223⨯⨯由{an }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10. 故选：ACD10．下列函数中，最小值为2的是（ ） A ． B ． 223y x x =++1y x x=+C ．D ．[]4(3,9)1y x x =∈-[)3(1,0)y x x x=-∈-【答案】AD【分析】根据函数的单调性可求出ACD 的最小值，利用基本不等式可判断B 选项. 【详解】对于A, ，所以函数最小值为2，故A 正确； 2223(1)22y x x x =++=++≥对于B ，当时，，当且仅当即时取得等号， 0x >12y x x =+≥1,x x=1x =当时，，因为， 0x <1y x x ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭12x x -+≥=-所以当且仅当即时取得等号， 12y x x ⎛⎫=--+≤- ⎪-⎝⎭1,x x -=-=1x -所以，故B 错误； (][),22,y ∈-∞-+∞ 对于C ，在单调递减， 41y x =-[]3,9x ∈所以当时函数有最小值为，故C 错误； 9x =41912=-对于D ，在单调递增， 3y x x=-[)1,0x ∈-所以当时函数有最小值为，故D 正确； =1x -3121--=-故选:AD.11．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是22:14x C y +=12,,F F O （ ）A ．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；2F C ,A B 1ABF B ．椭圆上不存在点，使得；C P 120PF PF ⋅=C ．椭圆 CD ．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.P 2214x y +=Q 221x y +=,P Q 【答案】AC【分析】根据椭圆方程写出a 、b 、c 及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A ；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B ；直接法求离心率判断C ；根据圆12F PF ∠的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D. ,P Q【详解】由题设椭圆参数为，且、，2,1,a b c ==1(F 2F 对A ：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A 正确； 1212||||||||24AF AF BF BF a +=+==1ABF对B ：当在y 轴上时，，而P 12||||2PF PF a ===12||2F F c == 此时，且，易知，1244121cos 82F PF +-∠==-()120,πF PF ∠∈122π3F PF ∠=故，则存在点使得， 122π[0,3F PF ∠∈P 12π2F PF ∠=故存在点使得，B 错误； P 120PF PF ⋅=对C ：椭圆的离心率为C 正确； C c e a ==对D ：由椭圆和圆的方程知：它们在y 轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x 轴上的交点为(1,0)±，所以， 0||113PQ OP a ≤≤+≤+=故的最大距离为3，D 错误. ,P Q 故选：AC.12．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，点在1111ABCD A B C D -M N 11A B 11A D P 线段上运动，给出下列四个结论正确的是（ ）CMA ．平面截正方体所得的截面图形是五边形 CMN 111ABCD ABCD -B ．直线到平面11B D CMNC ．存在点，使得P 1190B PD ∠=D ． 1PDD △【答案】ABC【分析】作出截面图形判断A ；利用等积法可判断B ，利用坐标法可判断CD. 【详解】对于A ，如图直线与、的延长线分别交于，，MN 11C B 11C D 1M 1N连接，分别交，于，，连接，，1CM 1CN 1BB 1DD 2M 2N 2MM 2NN则五边形即为所得的截面图形，故A 正确；22MM CN N 对于B ，由题可知，平面，平面， 11//MN B D MN ⊂CMN 11B D ⊂/CMN 所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，11//B D CMN 1B CMN 11B D CMN设点到平面的距离为，由正方体的棱长为2，1B CMN h 1111ABCD A B C D -可得，3CM CN ==MN =12CMN S ==A所以，11133B CMN CMN V S h h -=⋅==A ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯=A所以由，可得11--=B CMN C B MN V V h =所以直线到平面B 正确； 11B D CMN 对于C ，如图建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，1(2B 2)1(0D 2)(2C 0)(1M 2)设，，所以，2，， PC MC λ=01λ≤≤(1PC MC λλ== 2)-又，2，，，0，，，2，，(2C 0)1(2B 2)1(0D 2)所以，，，，，，，，， (2P λ-22λ-2)λ1(PB λ= 22λ-22)λ-1(2PD λ=-2λ22)λ-假设存在点，使得，P 1190B PD ∠=，整理得，∴211(2)2(22)(22)0⋅=-+-+-=PB PD λλλλλ291440λλ-+=所以（舍去）或 1λ=>λ=故存在点，使得，故C 正确；P 1190B PD ∠=对于D ，由上知，，，所以点，，在的射影为，2，， (2P λ-22λ-2)λ(2P λ-22λ-2)λ1DD (02)λ所以点，，到的距离为：(2P λ-22λ-2)λ1DDd ===所以当时，，2=5λmin d =故面积的最小值是D 错误． 1PDD △122⨯故选：ABC ．三、填空题13．向量，则__________. ()()()2,0,5,3,1,2,1,4,0a b c ==-=- 68a b c +-=【答案】()28,26,7--【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】.68a b c +-=()()()()2,0,518,6,128,32,028,26,7+---=--故答案为：()28,26,7--14．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数满足，解得或， ()25log 23y x x =+-2230x x +->3x <-1x >即函数的定义域为，()25log 23y x x =+-()(),31,-∞-⋃+∞令，()223g x x x =+-则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，()g x 再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是()25log 23y x x =+-()1,+∞ ；故答案为： .()1,+∞15．已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P 满足，则△12,F F 2214x y -=12||||6PF PF +=的面积是________．12PF F 【答案】2【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求P 21||5,||1PF PF ==，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积. 12cos F PF ∠12PF F 【详解】不妨假设在左支上，则，又， P 21||||24PF PF a -==12||||6PF PF +=所以，而，则， 21||5,||1PF PF ==21||2F F c ==12251203cos 105F PF +-∠==所以，故，12(0,)2F PF π∠∈124sin 5F PF ∠=综上，△的面积是.12PF F 2121||||1sin 22F P F F F P P ⨯∠⨯=⨯故答案为：2.16．在平面直角坐标系中有两定点A 、B ，且，动点P 满足，若点PxOy 4AB =(0)PA PB λλ⋅=＞总不在以点B 为圆心，为半径的圆内，则实数的最小值为_______． 1λ【答案】5【分析】以所在直线为x 轴，线段的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到点P AB AB 的轨迹方程，再结合两圆位置关系求解即可.【详解】以所在直线为x 轴，线段的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB AB .()()2020A B -，，，设，则，，()P x y ，()2,PA x y =---()2,PB x y =--因为动点P 满足，PA PB λ⋅=即，则，即， ()(),,x y x y λ---⋅--=２２224x y λ-+=224x y λ+=+又因为时，点P为半径的圆上，同时点P 总不在以点B 为圆心，0λ>1为半径的圆内，即圆与圆相离或外切或内切或内含，如图，()2240x y λλ+=+>22(2)1x y -+=，解得（舍去）或， 12≤12-≥3λ≤-5λ≥所以实数的最小值为5． λ故答案为：5.四、解答题17．已知等差数列的公差为（），前项和为，等比数列的公比为，且{}n a d 1d >n n S {}n b q ，，，． 111a b ==d q =39S =4528a a b +=(1)求数列，的通项公式； {}n a {}n b (2)记，求数列的前项和． nn na cb ={}n c n n T 【答案】(1)，；21n a n =-12n n b -=(2)116(23)2n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）通过公式求出公差、公比即可求出通项；（2）用错位相减法求数列的前项{}n c n和．【详解】（1），，∴，11a =31339S a d =+=2d =1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，，； 11b =2q =1112n n n b b q --==（2），∴11211(21)22n n n n n a n c n b ---⎛⎫===-⨯ ⎪⎝⎭，∴2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1111221112(21)3(23)12212m n n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．∴116(23)2n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭18．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到小数点后一位）； m n (2)现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的(]130,150(]140,150概率．【答案】(1)＝103.2，；m 104.2n =(2). 328【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可；(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在的事件数(]140,150量，由此即可求出概率.【详解】（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝ m 103.2．因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则 [)60,100n 0.024(100)0.1n -=所以，；104.2n =（2）设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为．从[)130,14012345,,,,A A A A A []140,150123,,B B B 中选出2位同学，基本事件为：， 1213141523242534354511121321,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B ， 2223313233414243515253121323,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，[]140,150所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为. (]140,15032819．a ，b ，c 分别为的内角A ，B ，C 的对边．已知． ABC A 5cos(π)cos(π)cos a A b C c B -=--(1)求；cos A (2)若，求的面积． 221,4b c a b c -==+ABC A 【答案】(1) 1cos 5A =(2)【分析】（1）由诱导公式，正弦和角公式及正弦定理得到，因为，所以5sin cos sin A A A =sin 0A >； 1cos 5A =（2）在第一问的基础上利用余弦定理得到，结合，求出，再利用三角245b c =-1b c -=6,5b c ==形面积公式求出答案.【详解】（1）因为，5cos(π)cos(π)cos a A b C c B -=--所以，即， 5cos cos cos a A b C c B -=--5cos cos cos a A b C c B =+所以， 5sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+即， 5sin cos sin()sin A A B C A =+=又，所以，所以； ()0,πA ∈sin 0A >1cos 5A =（2）由第一问可知，则，1cos 5A =sin A ==由余弦定理得：，2222222cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-因为，，所以，224a b c =+0b >245b c =-又，解得， 1b c -=6,5b c ==所以的面积． ABC A 11sin 3022S bc A ==⨯=20．如图，在正四棱柱中，，点E 在上，且．1111ABCD A B C D -2AB =1CC 122CE EC ==(1)若平面与相交于点F ，求； 1A BE 11D C 1D F (2)求二面角的余弦值． 1A BE A --【答案】(1) 43【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，由相似知识求出的长度； 1D F （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.【详解】（1）如图，连接，因为平面，平面平面，所以1,A F EF 1//A B 11CDD C 1A BE Ç11CDD C EF =．1//A B EF连接，因为，所以，所以， 1CD 11//A B CD 1//EF CD 11112C F C ED F CE ==又，所以．112C D =1112433D F C D ==（2）以D 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 1,,DA DC DD则，1(2,0,0),(2,0,3),(2,2,0),(0,2,2)A A B E ，1(0,2,0),(2,0,2),(0,2,3)AB BE A B ==-=-设平面的法向量为，ABE ()111,,m x y z =则，解得：，令，则， 11120220m AB y m BE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 10y =11x =11z =故．(1,0,1)m =设平面的法向量为，1A BE ()222,,x n y z =则，令，则， 12222230220n A B y z n BE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 23y =222,2z x ==故．(2,3,2)n =cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===由图可知二面角为锐角，故二面角1A BE A --1A BE A --21．已知圆：，过点的直线与圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点. C ()2211x y -+=()0,2P l C (1)当直线的斜率为-4时，求的面积；l AOB A (2)若直线的斜率为k ，直线OA ，OB 的斜率为，. l 1k 2k ①求k 的取值范围；②试判断的值是否与k 有关?若有关，求出与k 的关系式；若无关，请说明理由. 12k k +12k k +【答案】(2)①；②无关，理由见解析3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】(1)由题意可得直线的方程为，即可得圆心到直线的距离，l 42y x =-+l d =求解即可；12AOB S AB d =⋅⋅A (2)①利用求解即可；d r <②设，，联立直线与圆的方程由韦达定理可得，，()11,A x y ()22,B x y 122421k x x k -+=-+12241x x k =+由可得=1，即可得答案. 121212y y k k x x +=+12k k +【详解】（1）解：当直线的斜率为-4时，直线的方程为. l l 42y x =-+因为圆心到直线的距离， ()1,0l d =所以AB ===所以 12AOB S AB d =⋅⋅=△（2）解：直线的方程为.l 2y kx =+①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，l C ()1,0l 1d 得，34k <-即的取值范围是；k 3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭②设，，()11,A x y ()22,B x y 联立方程组， ()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得，()()2214240k x k x ++-+=所以，. 122421k x x k -+=-+12241x x k =+因为， 121212121212121222112222y y kx kx x x k k k k x x x x x x x x ⎛⎫++++=+=+=++=+⨯ ⎪⎝⎭所以， ()212242122221141k k k k k k k k --++=+⨯=--=+即为定值，与直线的斜率无关.12k k +l k 22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为C x 1F 2F ．点在椭圆上，且满足△的周长为6． P C 12PF F (1)求椭圆的方程；C (2)设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得(1,0)-l C A B x M 恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．MA MB ⋅M 【答案】(1)22143x y +=(2)存在， 13511,,0648M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据椭圆的定义和性质计算得到答案.（2）联立方程，根据韦达定理的根与系数的关系，计算得到，2222(485)312·43m m k m MA MB k +-+-=+ 得到，解得答案，再验证斜率不存在时的情况即可. 2248531243m m m +--=【详解】（1）由题意知：，解得方程为：.2222226b a c a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 22143x y +=（2）设，，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y (,0)M m 当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立， l (1)y k x =+22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得，则，，2222(43)84120k x k x k +++-=2122843k x x k -+=+212241243-⋅=+k x x k 又， 2212121212·(1)(1)(1)y y k x x k x x x x =++=+++222222241289(1)434343k k k k k k k --=-+=+++而 1212·()()MA MB x m x m y y =--+ 222222241289434343k k k m m k k k --=-⨯-++++为定值． 22222241289(43)43k mk k m k k -+-++=+2222(485)31243m m k m k +-+-=+只需，解得：，从而． 2248531243m m m +--=118m =-135·64MA MB =- 当不存在时，，k 33(1,),(1,)22A B ---当时，，118m =-9135·(1)(1)464MA MB m m =-----=- 综上所述：存在，使得．11(,0)8M -135·64MA MB =- 【点睛】本题考查了求椭圆方程及椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理求解是常考的方法，需要熟练掌握，将定值问题转化为比例关系是解题的关键.。
【数学】广东省广州市天河区2022-2023学年高二上学期期末试题(解析版)
广东省广州市天河区2022-2023学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线l：30x +=的倾斜角θ为（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π【答案】D【解析】30x ++=的倾斜角θ满足tan k θ==，故56πθ=.故选：D.2. 数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（ ）A. (1)32n n -+B. 1(1)23n n --+C. (1)23n n -+D. 1(1)32n n --+【答案】C【解析】数列的分母5,7,9,形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为()51223n n +-⨯=+，所以()123nna n -=+. 故选：C.3. 若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为52的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A. 52 B. 2C. 4D. 5【答案】D【解析】由题意可得：抛物线22(0)y px p =>开口向右， 焦点坐标为(,0)2p ，准线方程为：2p x =-，因为抛物线上横坐标为52的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得： 55()52222p p --=+=，解之可得：5p =，故选：D .4. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c =，若点P 满足1149A P AC =，则AP 等于（ ）A. 445999a b c++B. 544999a b c++C. 445999a b c-++ D. 544999a b c -- 【答案】A 【解析】∵1111ABCD A B C D -是平行六面体，∴111111AC A D A B A A b a c =++=+-， 114445()9999AP AA A P c b a c a b c=+=++-=++，故选：A ．5. 圆C 1：2240x y +-=与圆C 2：2244120x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切【答案】C 【解析】1C 标准方程是224x y +=，圆心为1(0,0)C ，半径为2r =， 2C 标准方程22(2)(220x y -++=），圆心2(2,2)C -，半径R =12C C =，022<<<，因此两圆相交，故选：C ．6. 若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（ ）A. 14B. 4C. D. 18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-， ∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+， ,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴=. 故选：B .7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）A. 1125块B. 1134块C. 1143块D. 1152块【答案】B【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为{}n a ，{}n a 是等差数列，且公差为9d =，19a =，设每层有k 环，则3n k =，3402n S =，{}n a 是等差数列，则232,,k k k k kS S S S S --也成等差数列，所以()()2322k k k k k S S S S S -=+-，所以23()3402n k k S S S =-=，21134k k S S -=，故选：B ．8. 已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为焦点的椭圆过A 、B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程为（ ）A. ()221148x y y -=≤-B. ()221148x y y -=≥C. (22148y x y -=≤-D. (22148y x y -=≥【答案】A 【解析】因为()0,7A ，()0,7B -，()12,2C ，所以13AC ==，15BC ==，14AB =，因为,A B 都在椭圆上， 所以AF AC BF BC+=+，214AF BF BC AC -=-=<，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支， 又214c AB ==，22a AF BF =-=，即7c =，1a =，所以248b =，因此F 的轨迹方程是22148x y -=（1y ≤-）.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 方程22210x y x +-+=表示的曲线是圆 B. 椭圆22143x y +=的长轴长为2C. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y xD. 抛物线22x y =的准线方程是18x =-【答案】CD【解析】选项A:()2210x y -+=表示点()1,0，故A 错误；选项B: 22143x y +=，2,a b ==长轴长为24a =，短轴长2b =故选项B 错误；选项C: 43x y =±化简34yx，选项C 正确；选项D:抛物线22x y =表示成标准方程为212y x =，122p =，焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭准线为18x =-,选项D 正确；故选： CD.10. △ABC 的三个顶点坐标为A (4，0)，B (0，3)，C (6，7)，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC 与直线3210x y -+=平行B. 边BC 上的高所在的直线的方程为32120x y +-=C. 过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为130x y +-=D. 过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D (3，5) 【答案】BD【解析】直线BC 的斜率为732603k -==-，而直线3210x y -+=的斜率为32，两直线不平行，A 错；BC 边上高所在直线斜率为32-，直线方程为3(4)2y x =--，即32120x y +-=，B 正确；过C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为130x y +-=，过原点时方程为76y x=，C 错；过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 中点，坐标为(3,5)，D 正确． 故选：BD ．11.设数列{}n a 满足()12335212n a a a n a n ++++-=，记数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nS ，则（ ）A.12a = B.221n a n =-C.21n nS n =+D. 1n n S na +=【答案】ABD 【解析】由题意()12335212n a a a n a n++++-=，当1n =时，得12a =，令()12335212n n T a a a n a n=++++-=，则当2n ≥时，()11231352322n n T a a a n a n --=++++-=-所以()1212n n n T T n a --=-=，即221n a n =-．又1n =时，122211a ==⨯-也成立，∴221n a n =-，故数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为()()21121212121n n n n =-+--+， ∴11111111113355723212121n S n n n n =-+-+-++-+----+1212121nn n =-=++，即有1n n S na +=．故选：ABD ． 12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为棱BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项中正确的是（ ）A. 点A 到直线EF的距离为2B. 平面AEF 截正方体所得截面为五边形C. 三棱锥1A-AEF 的体积为23D. 存在实数λ、μ使得1λμ=+AG AF AE 【答案】ACD【解析】连接AC，由已知AE =，EF =3AF ====，222cos 2AF EF AE AFE AF EF +-∠===⋅，AEF △中，sin 2AFE ∠=，点A 到直线EF的距离为sin 322AF AFE ∠=⨯=，A 正确；连接1BC ，则由,E F 分别是1,BC CC 中点得1//EF BC ，又正方体中易得11//BC AD ，因此1//EF AD ，∴1D ∈平面AEF ，从而截面为四边形1AEFD ，B 错；由已知点F 到直线1AA的距离行于AC =1122EA AS=⨯⨯=平面1AA E即为平面11ACC A ，1//CF AA ，1AA ⊂平面1AA E，CF ⊄平面1AA E ，则//CF 平面1AA E，∴F ，C 到平面1AA E的距离相等，∴11A AEF E AA FV V --=，由正方体性质知B 到平面11ACC A，E 是BC 中点，则E 到平面1AA E的距离为2d =，∴1111123323A AEF E AA F AA EV V Sd --===⨯=，C 正确；GF 与11A D 平行且相等（可由11B C 传递），则11AGFD 是平行四边形，11//AG D F ，1D F ⊂平面1AEFD ，1AG ⊄平面1AEFD ，∴1//AG 平面1AEFD ，实际上11AG D F =，而在平面AEF 中，,AE AF 不共线，,AE AF 可作为平面AEF 的基底，从而存在实数λ、μ使得1E D A A F F λμ=+，即1λμ=+AG AF AE ，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在各项均为正数的等比数列{na }中，若24354624a a a a a a ++=，则35a a +=_________．【答案】2 【解析】等比数列{}n a 各项均为正数，∴222335524354356242()a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，352a a +=（负值舍去）.故答案为：2.14. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB 为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．【答案】8【解析】画出圆拱图示意图，设圆半径为R ,雨季时水位方程()22213R R --=，解得5R =；旱季时水位方程()2222R DE R -+=，解得4DE =，所以此时水面跨度为28DE =.所以答案为 8.15. 如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为_________．【答案】23【解析】如图，连接DN ，取DN 中点G ，连接MG ，又M 是AD 中点，则//MG AN ， 所以异面直线AN ，CM 所成角是CMG ∠或其补角，由已知AN CM ==12MG AN ==，12NG DN ==，又DN BC ⊥，2CG ===，MCG △中，3732cos 3CMG +-∠==，∴异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为23．故答案为：23．16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，过F 点作圆222x y b +=的一条切线，切点为T ，延长FT 交椭圆C 于点A ，若T 为线段AF 的中点，则椭圆C 的离心率为_________．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为1F ,连接1AF ，OT ,由几何关系可知112OT AF b ==，则TF ==即AF =由椭圆的定义可知12AF AF a+=，即22b a +=且222c a b =-， 整理得2320b ab -=，解得23b a =，e ====.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列{na }为等差数列，nS 是其前n 项和，且315S =，1516a a +=．数列{nb }中，11b =，()*112+=∈n n b b n N ． （1）分别求数列{na }，{nb }的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和nT．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为315S =，1516a a +=，则1113315416a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得：123a d =⎧⎨=⎩，所以23(1)31n a n n =+-=-.又因为11b =，()*112+=∈n n b b n N ， 所以数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11111()()22n n n b --=⨯=， 故数列{na }，{nb }的通项公式分别为：23(1)31n a n n =+-=-，11111()()22n n nb --=⨯=.（2）由（1）可知：11(31)()2n n n a b n -+=-+， 所以112233n n nT a b a b a b a b =++++++++ 123123()()n n a a a a b b b b =+++++++++11[1()](231)21212n n n ⨯-+-=+- 12312222n n n -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.18. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过坐标原点O 和点A (3． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点P (4，4)与圆C 相切的直线方程． 解：（1）设圆心C 坐标为(,0)a ，由a =2a =，∴圆半径为2r OC ==，圆方程为22(2)4x y -+=； （2）易知直线4x =与圆C 相切，当切线斜率存在时设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，∴2=，解得34k =，切线方程为34(4)4y x -=-，即3440x y -+=，综上切线方程为3440x y -+=或4x =． 19. 如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，12AA AB AC ===，D 、E 、F 分别是棱11A B 、1CC 、BC 的中点．（1）求证：DF //平面11A ACC ；（2）若11AE A B ⊥，求平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值．（1）证明：取AC 中点M ,连接1,FM A M，1A D AB∥，且112A D AB =，又FM AB ∥，12FM AB =，11,A D FM A D FM∴=∥，∴四边形是1A DFM 平行四边形，1DF A M ∴∥,又DF ⊄平面111,A ACC A M ⊂平面11A ACC ，所以DF ∥平面11A ACC . （2）解：因为11AE A B ⊥，11//A B AB，所以AE AB ⊥，又因为直三棱柱111ABCA B C 中，1AA AB ⊥且1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面11A ACC ，所以⊥AB 平面11A ACC ，又⊂AC 平面11A ACC ，所以⊥AB AC ， 所以AB 、AC 、1AA 两两垂直，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知，12AA AB AC ===，所以()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,1,0F ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()1,0,2D ，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，()1,2,1DE =--，()0,1,2DF =-，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，取1y =，得()1,1,1n =，平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，1cos ,33m n m n m n⋅<>===所以平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为.20. 设数列{na }的前n 项和为nS ，已知11a =，22a =，且*2+1+3+3()+=∈n n n a S S n N ．（1）求证：23n na a +=；（2）求2nS ．（1）证明：由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+*()∈n N ，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()∈n N ， 两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=．（2）解：由（1）知，0n a ≠，所以23n n a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++⨯++=⨯++=．所以123(31)33222n n nS +=-=-.21. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到1A DE △(1A ∉平面ABCD )的位置．（1）判断当△ADE 折起到什么位置时，四棱锥1A BCDE-的体积最大(无需证明)，并求出这个最大体积；（2）若1AC =，点M 在线段A 1C 上，当直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为时，试判断点M 的位置． 解：（1）取DE 中点O ．连接1A O，则1AO DE ⊥，折叠过程中1A O 始终与DE 垂直， 因此当1AO ⊥平面BCDE 时，1A 点到平面BCDE 的距离最大为1A O，由1AO ⊂平面1A DE，得平面1A DE ⊥平面BCDE ，由已知12A O =，21321122BCDE ABCD AEDS S S =-=⨯-⨯=，11113332A BCDE BCDE V S AO -=⋅=⨯=；（2）由已知ED CE ==222DE CE CD +=，DE CE ⊥，又CE =OE =，∴OC ===，1AC =，所以22211A C A O OC =+，1A O OC ⊥，又1AO DE ⊥，DEOC O =，,DE OC ⊂平面BCDE ，∴1A O ⊥平面BCDE ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，其中//CE x 轴．1(0,0,2A，2C -，1(2,22A C =--，设x 轴与CD 交于点N ，则N 为CD 中点，连接BN ，BN 交OC 于点P ， 由DN 与BE 平行且相等得DEBN 是平行四边形， 所以//BN DE，于是P 为CE 中点，NP OE ==，12BP CE ==，因此BN BPPN =+=，所以B，1(2BA =-，设11(2,,)22A M A C λλλ==--，(01)λ<<，则11(2)2222BM BA A M λλ=+=---+，平面DEC 的一个法向量是(0,0,1)n =，因为直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为10，所以cos ,(n BM n BM n BM⋅==，解得12λ=（2λ=舍去），所以M 是1A C 中点．22. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0F，点(P 在双曲线C上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设A 、B 分别为双曲线C 的左、右顶点，若过点F 的直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点，设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在实数λ使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，2222222341a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2245a b ⎧=⎨=⎩， 故双曲线C 的标准方程为22145x y -=；（2）直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点， 故斜率不为0，设为3x my =+，联立双曲线方程化简得()225430250my my -++=，22230425544001mm m ，则223025,5454MNM Nmy y y y m m ，直线l 与右支交于两点，则225054M Ny y m ，则，()2,0A -，()2,0B ，12,022N M MNy y k k x x ，122122552MM N M N M N M M N N MN M M N NN y y x y my my y y k x y k y x y my my y y x ，∵65M N M Ny y m y y ，∴56M NM Nmy y y y ，∴125151 666552555666M N M M NM N N M Ny y y y ykk y y y y y，∴存在15λ=-使得12k kλ=.。
2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线2023y x =+的倾斜角为（ ）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】A【分析】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，然后利用斜率公式即可 【详解】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<， 由2023y x =+可得斜率tan 1k θ==，即π4θ= 故选：A2．已知圆C 的方程为()22120x y -+-=，则圆心C 的坐标为（ ） A ．()1,0- B ．()1,2 C ．()1,0 D ．1,2【答案】C【分析】将圆C 的方程转化为标准形式,再得到圆心C 的坐标即可.【详解】圆C 的方程为()22120x y -+-=,则圆C 的标准方程为()2212x y -+=, 所以圆心C 的坐标为(1,0). 故选:C.3．已知双曲线221169x y -=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2516B ．259 C ．54D ．53【答案】C【分析】根据双曲线的方程直接求出离心率即可.【详解】由双曲线221169x y -=,可知该双曲线的离心率54e ==. 故选:C.4．等差数列{}n a 中，已知310a =，820a =-，则公差d 等于 A ．3 B ．-6C ．4D ．-3【答案】B【分析】利用等差数列的性质()n m a a n m d -=-，即能求出公差. 【详解】由等差数列的性质，得()83835a a d d =-=-， 所以201065d --==-. 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的公差的求法，是基础题.5．已知点()2,1P -到直线:340l x y m -+=的距离为1，则m 的值为（ ） A ．-5或-15 B ．-5或15 C ．5或-15 D ．5或15【答案】D【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于m 的方程,再求出m 的值. 【详解】因为点()2,1P -到直线:340l x y m -+=的距离为1，1=,解得15m =或5.故选:D.6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q ，且满足2616a a =，则5a =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a = 【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a = 则451282a =⨯=故选：A7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，H 分别为11C D ，11AC ，DE 的中点．若AB a →=，AD b →=，1AA c →=，则向量FH 可用,,a b c →→→表示为（ ）A ．113122a b c →→→--+B ．111422a b c →→→-+- C ．311443a b c →→→--D ．231343a b c →→→-+【答案】B【分析】根据向量的线性运算，利用基底,,a b c →→→表示所求向量即可. 【详解】由题意，1111111222FH FC C E EH AC AB DE =++=--, 且11111,2AC a b DE DD D E c a →→→→=+=+=+， 2111()(1114)222212a b a FH a b a c c →→→→→→→→∴-++=+-=--，故选：B.8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线216y x =的焦点重合，过点F 的直线交E 于A B 、两点，若AB 的中点坐标为1,1，则椭圆E 方程为（ ） A ．221248x y +=B ．221259x y +=C ．2213620x y +=D ．221189x y +=【答案】A【分析】结合中点坐标用点差法求得228,24b a ==. 【详解】∵216y x =，故右焦点()4,0F ，则2216a b =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=-，且22221122222211x y x y a b a b+=+=，， 两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，故()()2221212222121220112413ABb x x y y b b k x x a y y a a +-+==-=-===-+--,故222316a b b ==+，故228,24b a ==, 故椭圆E 方程为221248x y +=，故选：A.二、多选题9．已知非零空间向量,,a b c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//a b b c ，则//a c B ．a b b a ⋅=⋅C ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．若(),R c xa yb x y =+∈，则,,a b c 不共面【答案】AB【分析】根据向量共线定理判断A ；利用数量积的定义判断B ；根据平面向量数量积的定义和运算律判断C ；利用平面向量基本定理判断D【详解】对于A ，因为a ，b ，c 是非零向量，且满足//a b ，//c b ，故存在实数,λμ使得,a b b c λμ==，故a c λμ=，所以//a c ，故正确；对于B ，因为a ，b ，c 是非零向量，所以cos ,a b a b a b b a ⋅=⋅=⋅，故正确； 对于C ，()()R a b c mc m ⋅⋅=∈，()()R b c a na n ⋅⋅=∈，a 与c 未必共线，故不正确； 对于D ，由平面向量基本定理可得若(),R c xa yb x y =+∈，则,,a b c 共面，故不正确 故选：AB10．已知点P 在圆C ：2240x y x +-=上，直线:AB 2y x =+，则（ ） A ．直线AB 与圆C 相交B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB 距离最大值为2D ．点P 到直线AB 距离最小值为1【答案】BC【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】解：圆C ：2240x y x +-=，即()2224x y -+=，圆心为()2,0C ，半径2r =，则圆心C 到直线AB 的距离d r ==>，所以直线AB 与圆C 相离，又点P 在圆C 上，所以点P 到直线AB 距离最大值为2，点P 到直线AB 距离最小值为2，故正确的有B 、C.故选：BC11．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知26a =，548a =，则下列结论正确的是（ ） A ．39a = B ．132n n a -=⋅C ．31n n S =-D ．()321nn S =⋅-【答案】BD【分析】根据等比数列公式得到13a =，2q ，计算得到132n n a -=⋅，()321n n S =⋅-，对比选项得到答案.【详解】126a a q ==，45148a a q ==，解得13a =，2q ，故132n n a -=⋅，()321n n S =⋅-， 233212a =⋅=，故BD 正确，AC 错误. 故选：BD.12．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12,F F 在y 轴上，短轴长等于2，，过焦1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于,P Q 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y +=C ．PQ =D ．2PF =【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出椭圆C 的方程，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，有1b =，222223a b e a -==， 解得2233a b ==，因此椭圆C 的方程为2213y x +=，A 正确，B 不正确；由椭圆的对称性不妨令1(0,F ，直线:PQ y =2233y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得||x =，则PQ =C 正确；由选项C 知，1||PF =21||2||PF a PF =-==D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则向量3a b -的坐标为______.【答案】()10,1,16-【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.【详解】已知()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则()()()333,2,51,5,110,1,16a b -=---=-. 故答案为：()10,1,16-14．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.【答案】66【分析】根据给定信息，求出三角形数按从小到大排列构成数列的通项，即可求解作答. 【详解】依题意，三角形数按从小到大排列构成数列{}n a ，则(1)1232n n n a n +=++++=， 所以第11个三角形数是1166a =. 故答案为：6615．已知抛物线26y x =，直线l 过抛物线的焦点，直线l 与抛物线交于,A B 两点，弦AB 长为12，则直线l 的方程为______. 【答案】32y x =-或32y x =-+【分析】根据题意可得抛物线的焦点3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为3322y k x kx k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立直线l 与抛物线方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，由||12AB =，解得k ，即可求解．【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3322y k x kx k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立2326y kx k y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22229(36)04k x k x k -++=，所以212236k x x k ++=，1294x x =， 因为212236312k AB x x p k +=++=+=，解得21k =，1k =±，则直线l 的方程为32y x =-或32y x =-+．故答案为：32y x =-或32y x =-+．四、双空题16．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ（0λ>，1λ≠）的点M 的轨迹是圆.若两定点(3,0)A -，(3,0)B ，动点M 满足MA =，点M 的轨迹围成区域的面积为______，△ABM 面积的最大值为______.【答案】 72π【分析】设动点(,)M x y ，由MA =结合两点距离公式可得得动点M 的轨迹方程为22(9)72x y -+=，可得圆心坐标和半径，即可求点M 的轨迹围成区域的面积；又12ABMM SAB y =⋅，只需max ||M y ，即可得△ABM 面积的最大值.【详解】解：设动点(,)M x y ，则MA MB由|||MA MB ==， 所以221890x x y -++=， 所以22(9)72x y -+=，所以动点M 的轨迹方程为22(9)72x y -+=，所以点M 的轨迹是圆且圆心(9,0)N ，半径为R = 点M 的轨迹区域面积272S R ππ==； 12ABMM SAB y =⋅，又||6AB =， 所以3ABMM Sy =，而max ||M y R ==ABM S △的最大值为．故答案为：72π；五、解答题17．已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -. (1)求圆M 的标准方程；(2)已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB . 【答案】(1)()()222325x y -+-=(2)AB =【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可; （2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB . 【详解】（1）因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -, 所以圆M 的半径5r MC ==,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=. （2）由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l 的距离22324316234d,所以由垂径定理，得AB ===18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+ (1)求{}n a 的通项公式 (2)求证数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列【答案】(1)21n a n =+ (2)证明见解析【分析】(1)根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,代入即可求出通项公式,注意检验1a ; (2)由题意得出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,用后一项减前一项为定值来证明是等差数列即可.【详解】（1）解:由题知22n S n n =+,113,S a ∴==当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()222121n n n n =+----21n =+,将1n =代入上式可得13a =, 故1n =时满足上式,21n a n ∴=+;（2）证明:由题知22n S n n =+,2nS n n∴=+, ()121211n n S S n n n n -∴-=+---=-, 且131S =, n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以3为首项,1为公差的等差数列. 19．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点.(1)求证：11A F C E ⊥； (2)求点A 到平面1C EF 的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)23.【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）利用（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】（1）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，分别以1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()110,1,0,1,0,0,0,2,2,2,0,2E F A C ，()()111,2,2,2,1,2A F C E =--=--， 所以2111(2)(2)1(2)0A F C E ⋅=⨯-+-⨯+-=，即有11A F C E ⊥， 所以11A F C E ⊥.（2）由（1）知，()0,2,0A ，则()()()11,1,0,1,0,2,0,1,0EF FC AE =-==-，设(),,n x y z =是平面1C EF 的法向量，则1020n EF x y n FC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =-，得()2,2,1n =-， 所以点A 到平面1C EF 的距离||23||441AE n d n ⋅===++. 20．已知()()1,2,2,4A B ，且()()*,N n C n a n ∈在直线AB 上，其中n a 是数列{}n a 中的第n 项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n a n =；(2)()2124n n T n +=-+.【分析】（1）根据给定条件，求出直线AB 的方程，再代入求解作答. （2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和作答. 【详解】（1）因为()()1,2,2,4A B ，则直线AB 的斜率为42221AB k -==-，直线AB 的方程为：()221y x -=-，即2y x =，又因为()()*,N n C n a n ∈在直线AB 上，则有2n a n =，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n =.（2）由（1）知，1222n n n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯，于是得()341221222122n n n T n n ++=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减得：22312222(12)22222(1)2412n n n n n n T n n n ++++--=+++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以数列{}n b 的前n 项和()2124n n T n +=-⋅+.21．如图，PA ⊥底面ABCD ，ED ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，22AP AD DE ===.(1)证明：//DE 平面ABP ；(2)求直线CP 与平面DCE 所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；2.【分析】（1）利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即可求解作答.【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，ED ⊥底面ABCD ，则//PA DE ，PA ⊂平面ABP ，DE ⊄平面ABP ， 所以//DE 平面ABP .（2）依题意，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,0,2D C E P ，()2,2,2CP =--，()0,2,0AD =， 而,,,,DE AD DC AD DE DC D DE DC ⊥⊥⋂=⊂平面DCE ，即AD ⊥平面DCE ， 则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD =，设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则||3sin cos ,||||223AD CP AD CP AD CP θ⋅=〈〉===⨯ 则2236cos 1sin 13θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，sin 2tan cos 2θθθ==， 所以直线CP 与平面DCE 222．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>2､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】(1)2212x y += (2)证明见解析【分析】（1）依题意可得22221c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，即可求出a 、b 、c ，即可得解；（2）设直线l 的方程为12y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线AM 、AN 的方程，得到P 、Q 的坐标，即可得到以PQ 为直径的圆的方程，再令0x =，得到26y =，即可得解；【详解】（1）解：因为椭圆Cc a =. 又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =.又222a b c =+，所以1b c ==，a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）解：由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ， 将直线l 代入椭圆C 的方程得：()2242430k x kx ++-=， 由韦达定理得：122442k x x k -+=+，122342x x k -=+， 直线AM 的方程为1111y y x x -=+，直线AN 的方程为2211y y x x -=+， 所以11,01x P y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，22,01x Q y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 所以以PQ 为直径的圆为21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()221212*********x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.① 因为()()()121212222212121212412611114211284222x x x x x x y y k x x k x x k k k kx kx -====----++-+++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令①中的0x =，可得26y =，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,.。
2023-2024学年广东省广州市六区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣43．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．14．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．216．过直线l ：√3x +y −4=0上一点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠APB =π3，则点P 的坐标为（ ） A ．(4√33，0) B ．(2√3，−2)或（0，4）C ．(√3，1)D ．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)7．已知双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线右支相交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π2，tan ∠ABF 1=512，则双曲线的离心率为（ ）A ．√213B ．√21C ．√293D ．√298．数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =2n −1，前12项和为158，则a 1的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n ，则（ ） A ．S 3，S 6，S 9成等差数列B ．a 3，a 6，a 9成等差数列C ．数列{a n }是递增数列D ．数列{S n }是递增数列10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2 11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 ． 14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= ． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ ．16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 ；反射光线n 所在直线的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝4，S 3＝6． （1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别为线段AB ，AA 1的中点．（1）求直线A 1C 与EF 所成角的余弦值； （2）求点B 1到平面CEF 的距离．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0． （1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列；（2）设c n=1a n−1，记集合{n|k≤c n≤2k，k∈N∗}中元素的个数为b k，求使b1+b2+⋯+b k＞2024成立的最小正整数k的值．22．（12分）如图，在圆O：x2+y2＝1上任取一点p，过点p作y轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|，当点p在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C（当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点p重合）．（1）求曲线C的方程；（2）过点T（t，0）作圆O：x2+y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，将|AB|表示成t的函数，并求|AB|的最大值．2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y解：抛物线的焦点坐标为（0，2），可得p ＝4，则抛物线的标准方程是：x 2＝8y ． 故选：D ．2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣4解：因为m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=（﹣2）×4+1×（﹣1）+（﹣3）×x ＝0，解得x ＝﹣3． 故选：C ．3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．1解：由题意直线的斜率k ＝tan π4=1．故选：D ．4．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解：第一个椭圆的a 1＝5，b 1＝4，则焦距为2√25−16=6， 且长轴长为10，短轴长为4，离心率为35，第二个椭圆的a2=√25−k ，b 2=√16−k ，则焦距为2√(25−k)−(16−k)=6，且长轴长为2√25−k ，短轴长为2√16−k ，离心率为√25−k，所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．21解：因为直线l1：3x﹣4y+m＝0（m＜0）与l2：3x+ny+6＝0平行，所以3n＝﹣4×3，解得n＝﹣4，所以l2：3x﹣4y+6＝0，又两平行线之间的距离d=|m−6|√3+(−4)=|m−6|5=3，所以|m﹣6|＝15，即m﹣6＝15或m﹣6＝﹣15，解得m＝21或m＝﹣9，因为m＜0，所以m＝﹣9，所以m+n＝﹣13．故选：A．6．过直线l：√3x+y−4=0上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB=π3，则点P的坐标为（）A．(4√33，0)B．(2√3，−2)或（0，4）C．(√3，1)D．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)解：因为点P在直线l：√3x+y−4=0上，可设P(√3a，4−3a)，又P A，PB是圆的两条切线，且∠APB=π3，所以OA⊥PA，∠OPA=π6，|OA|=2，所以|OP|＝4，即√3a2+(4−3a)2=4，化为a2﹣2a＝0，解得a＝0或a＝2，所以点P坐标为(0，4)，(2√3，−2)．故选：B．7．已知双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，过F2的直线l与双曲线右支相交于A，B两点，且∠F1AB=π2，tan∠ABF1=512，则双曲线的离心率为（）A．√213B．√21C．√293D．√29解：如图，由题意，设|AF1|＝5x，则|AB|＝12x，|BF1|＝13x，设|AF2|＝y，则|BF2|＝12x﹣y，因为A，B都在双曲线上，所以|AF1|﹣|AF2|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣y＝13x﹣（12x﹣y）＝2a，解得x=2a3，y=4a3，又|F1F2|=2c=√|AF1|2+|AF2|2=√(10a3)2+(4a3)2=2√293a，所以c=√293a，则离心率e=ca=√293．故选：C．8．数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=2n−1，前12项和为158，则a1的值为（）A．4B．5C．6D．7解：当n为奇数时，a n+2﹣a n＝2n﹣1，可得a2n﹣1＝a1+（n﹣1）+12（n﹣1）（n﹣2）×4＝a1+（n﹣1）（2n﹣3），则a1+a3+a5+a7+a9+a11＝6a1+1+6+15+28+45＝6a1+95，而a2+a4＝3，a6+a8＝11，a10+a12＝19，则前12项和为6a1+95+33＝158，解得a1＝5．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，则（）A．S3，S6，S9成等差数列B．a3，a6，a9成等差数列C．数列{a n}是递增数列D．数列{S n}是递增数列解：数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，对于A，S3＝32﹣3＝6，S6＝62﹣6＝30，S9=92−9=72，∵2S6≠S3+S9，∴S3，S6，S9不成等差数列，故A错误；对于B，a3＝S3﹣S2＝（32﹣3）﹣（22﹣2）＝4，a6＝S6﹣S5＝（62﹣6）﹣（52﹣5）＝10，a9＝S9﹣S8＝（92﹣9）﹣（82﹣8）＝16，∵2a6＝a3+a9，∴a3，a6，a9成等差数列，故B正确；对于C，数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2，∴数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，∵数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n =n （n ﹣1）， ∴数列{S n }是递增数列，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2解：对于A ，直线l 的方程可化为：x +y ﹣2+λ （3x +y ﹣4）＝0，由{x +y −2=03x +y −4=0，解得{x =1y =1，∴直线l 恒过定点（1，1），故A 错误； 对于 B ，∵（1﹣2）2+（1﹣2）2＝2＜4，∴点 （1，1）在圆C 的内部，∴直线l 与圆C 相交，故B 正确；对于C ，由圆的性质可知，当直线l 被圆C 截得的弦最短时，圆心C （2，2）到直线l 的距离d 最大， 而当直线l 与直线y ＝x 垂直时，圆心C 到直线l 的距离d =2√2最大， 此时直线l 的方程为x +y ﹣2＝0，故C 正确；对于D ，圆C 的半径r ＝2，且直线l 恒过定点（1，1），且点（1，1）在圆C 的内部． 圆C 上存在三个点到直线l 的距离等于2−√2，故D 错误． 故选：BC ．11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）解：根据题意可得双曲线的渐近线为y ＝±2x ， 点（2，0）在抛物线右支开口内，∴A 选项满足； 点（﹣2，4）在渐近线y ＝2x 上，∴B 选项不满足； 点（1，4）在两渐近线所夹上方区域，∴C 选项满足； 点（﹣1，1）在两渐近线所夹左方区域，∴D 选项不满足． 故选：AC ．12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13解：由题意BB 1⊥BC ，BB 1⊥BA ，BC ∩BA ＝B ，则BB 1⊥平面ABC ， 平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，平面BCC 1B 1∩平面BAA 1B 1＝BB 1， AB ⊂平面ABB 1A 1，AB ⊥BB 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，故AB ⊥BC ， 以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （2，0，0）， B 1（0，0，2），C 1（2，0，2），所以BC →1=(2，0，2)，AB →1=(0，−2，2)， 因为BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，设AN →=λAB →1，BM →=λBC →1，(0＜λ＜1，且λ=a22)， 所以M （2λ，0，2λ），N （0，2﹣2λ，2λ）， 所以MN →=(−2λ，2−2λ，0)，易知平面ABC 的一个法向量为BB 1→=(0，0，2)，因为MN →⋅BB 1→=0，且MN ⊄平面ABC ， 所以直线MN ∥平面ABC ，故A 正确；由|MN →|=√(−2λ)2+(2−2λ)2=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，当λ=12，即a =√2时，线段MN 有最小值为√2，故B 不正确；当a =√22时，λ=14，此时MN →=(−12，32，0)，不妨取平面BAA 1B 1的一个法向量为BC →=(2，0，0)， 则|cos ＜MN →，BC →＞|=|MN →⋅BC →|MN →||BC →||=2×√14+94=√1010，所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正弦值为√1010， 故直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的余弦值为√1−(√1010)2=3√1010， 所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13，故C 正确；取MN 的中点O ，连接BO ，B 1O ，BN ，B 1M ， 因为三角形MNB 与三角形MNB 1都是等边三角形， 所以∠BOB 1为二面角的平面角， 又BB 1=2，BO =B 1O =√62，根据余弦定理可得cos ∠BOB 1=−13， 所以平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：A （5，﹣1），B （1，1），则k AB =−1−15−1=−12，故边AB 上的高所在直线的斜率为2， 所求直线过点C （2，3），故边AB 上的高所在直线的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= 8 ． 解：∵正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，∴|a →|=|b →|=|c →|=2，a →⋅b →=a →⋅c →=2×2×cos60°＝2，∴a →⋅(a →+b →+c →)=a →⋅a →+a →⋅b →+a →⋅c →=4+2+2＝8．故答案为：8．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ n •2n ﹣1 ． 解：∵数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，∴a n +1=2(n+1)n ×a n =2(n+1)n ×2n n−1×.....×2×21×a 1＝2n •（n +1）， 故a n ＝n •2n ﹣1，（当n ＝1时，a 1＝1也满足）．故答案为：n •2n ﹣1． 16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 y =12 ；反射光线n 所在直线的方程为 y =−18 ．解：抛物线C ：y 2=−12x 的焦点为F(−18，0)， 因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y ＝﹣x ， 由{y =−x y 2=−12x ，解得{x =0y =0或{x =−12y =12，所以A(−12，12)， 则入射光线m 所在直线的方程为y =12； 则k AF =12−12−(−18)=−43，所以直线AF 的方程为y =−43(x +18)， 由{y =−43(x +18)y 2=−12x ，解得{x =−132y =−18或{x =−12y =12，所以B(−132，−18)， 则反射光线n 所在直线的方程为y =−18．故答案为：y=12；y=−18．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6，可得1+d+q＝4，3+3d＝6，即d+q＝3，d＝1，q＝2，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n﹣1；（2）S n=12n（n+1），可得1S n=2n(n+1)=2（1n−1n+1），则T n＝2（1−12+12−13+...+1n−1n+1）＝2（1−1n+1）=2nn+1．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为线段AB，AA1的中点．（1）求直线A1C与EF所成角的余弦值；（2）求点B1到平面CEF的距离．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（2，0，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以A 1C →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（0，﹣1，2），所以cos ＜A 1C →，EF →＞=A 1C →⋅EF →|A 1C →|⋅|EF →|=−2−8√4+4+16×√1+4=−√306， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为√306． （2）由（1）知，B 1（2，2，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以CE →=（2，﹣1，0），CF →=（2，﹣2，2），CB 1→=（2，0，4），设平面CEF 的的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CE →=0n →⋅CF →=0，即{2x −y =02x −2y +2z =0， 取x ＝1，则y ＝2，z ＝1，所以n →=（1，2，1），所以点B 1到平面CEF 的距离为|CB 1→⋅n →||n →|=√6=√6．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0．（1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．解：（1）由x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0，可得（x ﹣2）2+（y +m ）2＝2m ﹣m 2+3，则2m ﹣m 2+3＞0，解得﹣1＜m ＜3，即m 的取值范围是（﹣1，3）：（2）当m ＝1时，圆C 为x 2+y 2﹣4x +2y +1＝0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−4x +2y +1=0，可得两圆的公共弦所在的直线方程为4x ﹣2y ﹣5＝0， 由圆O 的圆心（0，0）到直线4x ﹣2y ﹣5＝0的距离为d =|0−0−5|√16+4=√52， 则公共弦的长为2√4−54=√11． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．（1）证明：如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB ，因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF =12AD ， 又因为BC ∥AD ，BC =12AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，所以CE ∥平面P AB ；（2）解：如图，设AD 的中点为O ，连接PO ，BO ，因为△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，则PO ⊥AD ，又AD ＝2DC ＝2CB ＝2，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，所以PO ＝OB ＝1，AB =√2，P A =√2，又∠P AB ＝60°，所以△P AB 是正三角形，则PB =√2，所以PO 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又PO ⊥AD ，OB ⊥OD ，则以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），所以PA →=(0，−1，−1)，PB →=(1，0，−1)，PC →=(1，1，−1)，设平面P AB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PA →=0n →⋅PB →=0，即{−y −z =0x −z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)， 设平面P AB 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PC →=0m →⋅PB →=0，即{a +b −c =0a −c =0，令a ＝1，则b ＝0，c ＝1，即m →=(1，0，1)， 设平面P AB 与平面PBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=23×2=√63． 即平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值为√63． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ﹣2a n +1＝0，n ∈N *．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列； （2）设c n =1a n −1，记集合{n|k ≤c n ≤2k ，k ∈N ∗}中元素的个数为b k ，求使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 的值．解：（1）证明：由题意可知a n +1a n ＝2a n ﹣1，所以1a n+1−1−1a n −1=(a n −1)−(a n+1−1)(a n+1−1)(a n −1) =a n −a n+1a n+1a n −(a n+1+a n )+1 =a n+1−a n 2a n −1−(a n+1+a n )+1=1， 所以数列{1a n −1}是首项为1a 1−1=1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可知c n =1a n −1=1+(n −1)×1=n ， 所以集合{n |k ≤n ≤2k ，k ∈N *}中元素的个数为2k ﹣k +1，即b k =2k −k +1，所以b 1+b 2+b 3+…+b k ＝（21+22+23+…+2k ）﹣（1+2+3+…+k ）+k=2(1−2k)1−2−k(1+k)2+k =2k +1﹣2−12k 2+12k ， 由指数函数的图象和性质可得b k =2k −k +1＞0 恒成立，所以b 1+b 2+⋯+b k 单调递增，因为b 1+b 2+⋯+b 10=210+1−2−12×102+12×10=2001， b 1+b 2+⋯+b 11=211+1−2−12×112+12×11=4039， 所以使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 为11．22．（12分）如图，在圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点p ，过点p 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |，当点p 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点p 重合）．（1）求曲线C 的方程；（2）过点T （t ，0）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，将|AB |表示成t 的函数，并求|AB |的最大值．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则D （0，y 0），因为|DM |＝2|DP |，所以点P 是线段PM 的中点，所以x 0=x 2，y 0＝y ， 因为点P 在圆x 2+y 2＝1上，所以x 02+y 02=1，所以x 24+y 2=1，所以动点M 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1；（2）当﹣1＜t ＜1时点T （t ，0）在圆内，此时过点T （t ，0）不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当t ＝1（t ＝﹣1）时切线方程为x ＝1（x ＝﹣1），对于x 24+y 2=1，令x ＝1，解得y =±√32，所以|AB|=√3，当|t |＞1时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为y ＝k （x ﹣t ）（|t |＞1），所以22=1，所以k 2=1t 2−1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −t)x 24+y 2=1，消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣8tk 2x +4k 2t 2﹣4＝0， 将k 2=1t 2−1 代入得（t 2+3）x 2﹣8tx +4＝0， 所以Δ＝48t 2﹣48＞0，所以x 1+x 2=8t t 2+3，x 1x 2=4t 2+3， 所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48t 2(t 2+3)2=4√3|t|t 2+3， 综上所述，|AB |={√3，t =±14√3|t|t 2+3，|t|＞1， 又当|t |＞1时，|AB |=4√3|t|t 2+3=4√3|t|+3|t|≤√32√|t|⋅3|t|=2，当且仅当|t|=√3时取等号， 所以|AB |max ＝2．。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
2019-2020学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试题一、单选题 1．数列12-，14，18-，116，L 的一个通项公式是（ ）A ．12n -B ．(1)2n n- C ．1(1)2n n+- D ．1(1)2nn --【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】()111122-=-⨯，()2211142-⨯=，()3311182--=⨯，()44111162=-⨯ 所以其通项公式是：(1)2n n -故选：B 【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只【答案】D【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即16nn a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6nn a =所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是666a = 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3．已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，使方程成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真，故正确答案为C. 【考点】函数零点、常用逻辑用语.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2A Ca b A +=，则cos B =（ ） A ．12-B ．12C ．3D 3【答案】B【解析】由诱导公式得sincos 22A C B+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出1sin 22B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A = 0,sin 0A A π<<∴≠Q ,则1cossin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题. 6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ） A ．1l ，2l 都平行于同一个平面 B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等 C ．1l 平行于2l 所在的平面 D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30°的方向，则海轮的速度为（ ）A ．2海里/分B ．2海里/分C 3/分D 2海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意可得：90301545BCA ∠=︒-︒-︒=︒ ，180(45105)30B ∠=︒-︒+︒=︒由正弦定理可得：sin sin AB ACBCA B=∠∠，即120sin 2102sin 22AB B AC BCA ⨯⋅∠===∠1022=/分 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF =，，2BC BF =，且AF BF >，则此抛物线的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=︒，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p .【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N由抛物线的定义可知：12BN FB BC ==在直角CNB ∆中，1cos 2BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=︒ 所以60AFM ∠=︒又4AF =，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =︒==︒=则(2,23)2pA + 由22122p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为24y x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且10cos θ=，则该四面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =11(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22A B E D a11(0,1,),(,,0)22AD a BE =-=u u u r u u u r2221102cos 11122AD BE AD BE a θ-===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得：2a = 该四面体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法①命题“0a ∃>，函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有()2max min2()x xax +≥”④ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件.其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】当0a >时，则440a ∆=+>，则①错误；②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确； 当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是()2max min2)34(x x ax =<=+所以③错误；2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔-<-⇔<则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22124y x -=B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c u u u u r u u u u r＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=u u u r，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到所求方程． 【详解】因为()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，所以()()2122120F F F A F F F A +⋅-+=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r得到22221AF F F =u u u u r u u u u r ，即有2212AF F F c u u u u r u u u u r＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=u u u r，根据题意，在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 所以127cos 25AF F ∠=-， 即()2224422722225c c a c c c +-+=-⨯⨯，整理得35c a =，而45b c ==，所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，根据选项可知双曲线的标准方程可能为221916x y -=，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】【解析】由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ∆中，1AB =，AC =，4B π∠=，则C ∠=__________．【答案】6π 【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得：1sin 1sin 2AB BC AC===，解得56C π=(舍)，6C π= 故答案为：6π【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】12-【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -分别以,,OC OD OB 为,,x y z轴A C G E(0,02,),(20,,2GE AC ==--u u u r u u u r122(=2GE AC ∴⋅=--u u u r u u u r故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =__________． 【答案】12-【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S . 【详解】1(1)(1)n n na n a n n +=+++Q111n na a n n+∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为121(1)nn a n a n n∴=+-⇒= 2cos3n n b n π∴= 3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 33cos 23k b k k k π==3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-= ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-L 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值. 【答案】（1）23n a n =+ （2）15n =【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以26121a a a =，即()()211152202a a a +⨯=+⨯，解得15a = 所以23n a n =+. （2）由（1）知()()1112325n n n b a a n n +==++， 所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，所以1111111257792325n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()525n n =+，由()352535n n =+，得15n = 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题. 18．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A . （1）求A ；（2）若a =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）4A π=（2）2【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴ sin 0C ≠Q ，cos sin A A ∴=又()0,A π∈，4A π∴=（2）1sin 2S bc A ==Q 由余弦定理可得，22282cos 4a b c bc π==+-又222b c bc +≥故(42bc ≤=+，当且仅当b c =时，等号成立.所以2S =≤所以面积最大为2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题.19．已知m 为实数，命题:p 方程221214x ym m -=--表示双曲线；命题:q 函数21()lg 4f x mx x m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m <或4m > （2）12m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可；(2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->，即m 的取值范围是12m <或4m > （2）若命题q 为真，即2104mx x m -+>恒成立，则00m >⎧⎨∆<⎩有2010m m >⎧⎨-<⎩，1m > 命题p 、q 一真一假.当p 真q 假时，1421m m m ⎧<>⎪⎨⎪≤⎩或得12m < 当p 假q 真时，1421m m ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩得14m <≤12m ∴<或14m <≤ 【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB =，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由.【答案】（1）24y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析 【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1m k=，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.24y x =（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+， 又AF FB =，故()02,0B x +由于002x x +≠，则直线AB 不与x 轴垂直 令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则02AB y k k ==-， ()2,2A k k ∴-将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2()4kx m x +=， 整理222(24)0k x km x m +-+=……①222(24)40km k m ∴∆=--=，1km ∴=当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠10m k∴=≠ 所以①可以化为222120k x x k-+= 21D x k ∴=，2D y k=， 212,D k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当21k ≠时2222222111AD kk k k k k k k k+===--- ()222:21kAD y k x k k∴+=--， 22:(1)1kAD y x k∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD 中，35AB =，25BC =，点E 、P 分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，152DP =，现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2（1）证明：'AE D P ⊥；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （215【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O在Rt PCD∆中，由35DC AB==，152DP=，22352PC DP DC=-=以点A为坐标原点，建立直角坐标系，则()5,25AE=u u u r，3535,2PD⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭u u u r即353552502AE PD⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u rAE DP∴⊥，从而有AE OD⊥，AE OP⊥，即在图2中有AE OD'⊥，AE OP⊥，OD OP O'⋂=，,OD OP'⊂平面POD' AE∴⊥平面POD'D P'⊂Q平面POD'，AE D P'∴⊥；（2）延长AE，BC交于点Q，连接'D Q根据公理3得到直线'D Q即为l，再根据二面角定义得到23D OPπ'∠=.在平面'POD内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标则(0,3D'-，(1,0,0)E-，(11,0,0)Q-，(3,4,0)C-，(11,1,3D Q'=--u u u u r，(2,4,0)EC=-u u u r，(1,3ED'=-u u u u r，设平面'D EC的一个法向量为(, , )n x y z=r，由24030n EC x yn ED x y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'u u u rru u u u rr，取1y=，得32,1,n⎛=⎝⎭r.l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为cos ,n D Q n D Q n D Q'⋅'=='⋅u u u u r r r u u u u r r 【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题. 22．已知椭圆22:236C x y +=. （1）求椭圆C 的短轴长和离心率；（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长2e =（2）TM TP >，证明见解析 【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断TP 与TM 的大小；当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可. 【详解】解：（1）由题意可知，椭圆22:236C x y +=可变形为22:13618x y C +=6a ∴=，b =c =故短轴长为2e =（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入22:236C x y +=可得4y =±，此时()2,0T ，4TM ∴=，2TP =， TM TP ∴>，当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-代入到22:236C x y +=，得2222(2)36x k x +-=()22222188360k x k x k ∴+-+-=令()11,M x y ，()22,N x y则2122821k x x k +=+，212283621k x x k -=+， 此时()114,PM x y =-u u u u r ，()224,PN x y =-u u u r，()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴⋅=--+=--+--u u u u r u u u r()()()()212124422x x k x x =--+--()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++()()()222222283618421642121k k k k kk k -++=-++++()()()()()222222222291424214212121k k k k k k k k k ⎡⎤-++++⎢⎥=-+⨯+++⎢⎥⎣⎦22654021k k --=⨯<+ 90MPN ∴∠>︒，点P 在以MN 为直径的圆内部.所以TM TP >， 综上所述，TM TP > 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.。
广东省高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ）1111OABC O A B C -1E B B ∈12EB EB =OE =A ．B ．C ．D ．(2,2,1)(2,2,2)22,2,3⎛⎫⎪⎝⎭42,2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知条件求得.OE【详解】依题意，，所以，12EB EB =24233EB ⨯==所以.OE = 42,2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2．抛物线y 2=4x 的焦点坐标是 A ．（0,2） B ．（0,1） C ．（2,0） D ．（1,0）【答案】D【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D. 24y x =(1,0)【解析】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．3．棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）A B C ． D ．【答案】C【分析】由正方体的对角线与其外接球的半径之间的关系求出半径，由球的体积公式求出外接球的体积．【详解】由正方体的对角线为其外接球的直径可得，2R 22(2)32R =⨯解得R 所以外接球的体积，334433V R p p ===故选：．C 【点睛】本题考查正方体的对角线与其外接球直径的关系及球的体积公式，属于基础题． 4． 双曲线的实轴长是 2228x y -=A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【详解】试题分析：双曲线方程变形为，所以22148x y -=28b b =∴=2b =【解析】双曲线方程及性质5．在直三棱柱中，，且，点M 是的中点，则异面直111ABC A B C -1111122AA A B B C ==AB BC ⊥11A C 线与所成角的余弦值为 MB 1AA ()A ．B C D ．1312【答案】B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得B BA x BC y 1BB z ，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ()10, 02AA =，MB 1AA 的余弦值．【详解】在直三棱柱中，，且，点是，111ABC A B C -1111122AA A B B C ==AB BC ⊥M 11A C 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∴B BA x BC y 1BB z 设，11111222AA A B B C ===则，，，，11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭(0,00B ，）(1,00A ，）1(1,02A ，），，11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 1(0,02AA，）=设异面直线与所成角为，MB 1AA θ则, 11cos MB AA MB AA θ⋅===⋅ 异面直线与B ．∴MB 1AA【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6．直线与圆相交于两点，则()()()222350R m x m y m ++-+=∈22:(1)(2)16C x y -++=,A B AB 的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．D ．【答案】D【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式时，最P AB =AB PC ⊥AB 小，从而可求得结果.【详解】因为可化为，()()222350m x m y ++-+=()22350x y m x y ++-+=令，解得，()202350x y x y ⎧+=⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=⎩所以直线恒过定点，该点在圆内，AB (1,1)P -因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， AB =AB C AB d 显然当时，最大，最小，AB PC ⊥d PC =AB又因为圆，所以圆心，22:(1)(2)16C x y -++=()1,2C -216r ==，故此时2AB ===故选：D.7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲1F 2F 12π3F PF ∠=线的离心率分别为，，则的最小值为（ ） 1e 2e 12e e ⋅A B C ．1 D ．12【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即12π3F PF ∠=1e 2e 可得到的最小值12e e ⋅【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，2a 2a '，，（） ，1PF m =2PF n =m n >122F F c =则，解之得 +=2=2m n am n a -'⎧⎨⎩=+=m a a n a a ⎧⎨-''⎩又222π41cos 322m n c mn +-==则 ()()()()2224a a a a c a a a a ''''++--=+-则，则 222340a a c '+-=2212134e e +=则，则 2212134e e =+≥12e e ⋅≥（当且仅当 12e e ==则12e e ⋅故选：B8．已知数列的前n 项和为，数列的前n 项和为，{}n a 11,1,21n n n n S a S S a +==++12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭,*∈N n T n 那么下列选项正确的是（ ）①是等差数列 ②是等比数列 ③ ④是等比数列{}1n a +{}1n a +21nn a =-{}1n T -A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】B【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式1121n n n n a S S a ++=-=+可得，由数列的裂项相消求和可得. ()()111221121212121n n n n n n n n a a +++==-----n T 【详解】由即为，可化为， 121n n n S S a +=++1121n n n n a S S a ++=-=+()1121n n a a ++=+由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，111S a =={}1n a +则，即，12nn a +=21n n a =-故BC 正确；又，可得 ()()111221121212121n n n n n n n n a a +++==----- 2231111111111212121212121n n n n T ++=-+-+⋯+-=-------则，即，不为等比数列，故D 错误； 11121n n T +-=--1231111,1,13715T T T -=--=--=-故选：B二、多选题9．在递增的等比数列{an }中，Sn 是数列{an }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{Sn +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lgan }是公差为2的等差数列【答案】BC【解析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{an }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 10． 2a q=＞∵等比数列{an }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12．故选项A 不正确． 2a q==an ＝a 1•qn ﹣1＝2n ． ∵Sn 2n +1﹣2．()21212n -==-∴Sn +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{Sn +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确．∵lgan ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lgan }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>P F C 论正确的是（ ）A ．CB ．的渐近线方程为C 0x =C ．若到，则的方程为F C C 22142x y -=D ．设为坐标原点，若,则O ||||PO PF =POF S ∆=【答案】AC【解析】根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.【详解】由题：双曲线的一条渐近线过点，2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>P所以渐近线方程为，所以B 选项错误； y =所以A 选项正确； b a =c e a===若到，即F C 2b a ==则的方程为，所以C 选项正确；C 22142x y -=为坐标原点，若,，所以 O ||||PO PF =P F，所以D 选项错误. 12POF S ∆==故选：AC【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.11．正方体的棱长为分别为的中点.则（ ）1111ABCD A B C D -2,,,E F G 11,,BC CC BBA ．直线与直线AF 垂直 1D DB ．直线与平面AEF 平行1A G C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点和点D 到平面AEF 的距离相等 1A 【答案】BCD【分析】根据异面直线所成角的定义判断A ，由面面平行的性质定理判断B ，作出完整的截面，判断CD ．【详解】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A 错；11//D D C C 1C C AF 1DD AF 取中点，连接，，由分别是中点，得， 11B C H 1,A H GH 1BC ,,G E F 11,,BB BC CC 1////HG BC EF 又，，是平行四边形，所以，，11////HE BB AA 11HE BB AA ==1A HEA 1//A H AE AE EF E ⋂=平面，所以平面，平面，,AE EF ⊂AEF 1//A H AEF //HG AEF 而，平面，所以平面平面，1A H HG H = 1,A H HG ⊂1A HG 1//A HG AEF 又平面，所以平面．B 正确； 1AG ⊂1A HG 1//A G AEF 由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形，11,FD AD AEF 1AEFD1AD EF ==1D F AE ==h ==截面面积为，C 正确，1922S =⨯=设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等．D 正确．11A D AD O ⋂=O 1A D 1,A D 1AEFD故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的性质．考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正方体的截面问题．在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解．12．已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） {}n a 1112,1,2,n n n n n a n a a a n ++⎧-==⎨+⎩为奇数为偶数A ． B ．C ．D ．37a =202120212a =222n n a a +=23213265n n S n ++=--【答案】ACD【分析】A 选项直接由递推关系式即可求出即可；C 选项由即3a 212122212122,2k k k k k k a a a a +++++=-=+可判断；B 选项由即可判断；D 选项由分组求和及等比数列求和公式即2021202120212020212a a =+=-+可判断.【详解】，A 正确；3213221,27a a a a =-=-=+=对于，有，两式相加得，C 正确；k *∈N 212122212122,2k k k k k k a a a a +++++=-=+222k k a a +=由知，则，B 错误；222k k a a +=2020201821a a a ====- 2021202120212020212a a =+=-+由偶数项均为可得为偶数时，，则1-n 1112n n a ++=-+ ()()()()()3521211234521111211212n n n S a a a a a a +++=++++++=+-+-++-+-+++-+ ，则，D ()323252128(12)11(2)23222112265n n n n n n ++-=+-⨯++++=-=-++-- 23213265n n S n ++=--正确. 故选：ACD.三、填空题13．已知两异面直线和的方向向量分别为和，若，则与所成角为1l 2l 1v 2v 121cos ,2v v =- 1l 2l ______. 【答案】60 【分析】根据异面直线和的方向向量分别为和，且，结合1l 2l 1v 2v 121cos ,2v v =- 求解.12,0,180v v ⎡⎤∈︒⎣⎦ 【详解】因为，121cos ,2v v =- 又,1212,0,180,,120v v v v ⎡⎤∈︒=︒⎣⎦所以异面直线与所成角为60°. 1l 2l 故答案为：60 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的向量求法，属于基础题.14．等差数列是递增数列，满足，前n 项和为，则最小值时___________． {}n a 753a a =n S n S n =【答案】3或4【分析】首先根据得到，代入得到，再结合二次函数的性质求解753a a =13a d =-n S ()272n d S n n =-即可.【详解】因为，所以，整理得：. 753a a =()11634a d a d +=+13a d =-所以. ()()()221137222n n n d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-因为等差数列是递增数列，所以. {}n a 0d >所以当时，取得最小值， 72n =n S 又因为为正整数，所以或时，最小值. n 3n =4n =n S 故答案为：3或4 15．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则19(0,2,)8A 5(1,1,)8B -5(2,1,8C -(,,)a x y z = _____________．::x y z =【答案】2：3：（-4）【详解】试题分析：由得19550,2,,1,1,,2,1,888A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭771,3,,2,1,44AB AC ⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为为平面的法向量，则有，即 0,0AB a AC a ⋅=⋅= ()()71,3,,,04{72,1,,,04x y z x y z ⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫---⋅= ⎪⎝⎭由向量的数量积的运算法则有解得7304{7204x y z x y z --=---=31,42y z x z =-=-所以()234::::2:3:4444z z z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故正确答案为 ()2:3:4-【解析】空间向量的法向量．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半1O 2O 径分别为4和2，球心距离，球相切于点（是截口椭圆12O O =1O2O ,E F ,E F 的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率. ,a c 【详解】设，12O O EF D ⋂=由， 22112112O D O F O D O E O D OD ⎧==⎪⎨⎪+=⎩， 23==所以， 4222,133c c =+==设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示， EF A ,B C 则，,AB AE AC AF ==两式相加得，即，2AB AC AE AF a c a c a +=+=-++=2BCa =过作，垂直为， 2O 21O G O B ⊥G 则四边形为矩形，所以，，2BGO C 26=3a =所以椭圆的离心率为. 13c a=故答案为：13【点睛】求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得求得，从而求得椭圆的离心率,a c c a；一个是求得关于的关系式，可以是一次式，也可以是二次式，但必须是齐次式，由此化简求,a c 得椭圆的离心率.四、解答题17．在等差数列中，已知． {}n a 16636,66a S ==(1)求数列的通项公式； {}n a n a (2)若，求数列的前n 项和． 12n n b a =13n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【答案】(1) 24n a n =+(2) 3n n T n =+【分析】（1）根据等差数列的性质可得，求出的值，再与联立求出公差，()6343S a a =+34a a +16a 根据通项公式可求.(2)求出的通项公式，求出的通项公式，然后用裂项相消求和.{}n b 13n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】（1）设等差数列的公差为， {}n a d 又因为 ()()1663463662a a S a a +==+=所以，又因为 3422a a +=1636a =所以 ()()341616131222a a a d a d +=-+-=所以，2d =所以 ()16163623224n a a n d n n =+-=+-=+（2）又因为 122n n b a n ==+所以 ()()1331132323n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以11111111334455623n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 113333n n n ⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦18．如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且ABCD ABEF为的中点．,,2,45,1,AB AF BE AF AF BE CBA AB AD ⊥==︒=∠=//P DF(1)证明：平面； //PE ABCD (2)证明：平面． CA ⊥ABEF 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】(1) 取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理AD M MP MB 可得：四边形是平行四边形，于是，再利用线面平行的判定定理可得出结论. BEPM PE BM ∥(2) 在中，由余弦定理可得：，因此ABC A 2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-×Ð=，.利用面面垂直的性质定理可得出结论.222AC AB BC +=AC AB ⊥【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图，AD M MP MB为的中点， ，且， P DF ∴MP AF ∥12MP AF =又，且，，且，BE AF ∥12BE AF =BE MP ∴∥BE MP =四边形是平行四边形，，∴BEPM PE BM ∴∥又平面，平面， PE ⊄ABCD BM ⊂ABCD 平面.PE ∴A ABCD （2）证明：四边形是平行四边形，ABCD，BC AD ∴==1AB =在中，由余弦定理可得：∴ABC A2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，，2121451=+-⨯︒=1AC ∴=， .222AC AB BC ∴+=AC AB ∴⊥平面平面，平面平面，平面.ABCD ⊥ABEF ABCDABEF AB =∴AC ⊥ABEF 19．已知椭圆，椭圆的长轴长为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，点，求证：为定值．(1)y k x =+7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭MA MB ⋅ 【答案】(1) 221553x y +=(2)证明详见解析【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.,,a b cC （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，进而计算出为定(1)y k x =+MA MB ⋅值.【详解】（1）依题意，解得2222c a a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩a b c ===所以椭圆的方程为 C 221553x y +=（2）由于直线过定点，该点在椭圆内， (1)y k x =+()1,0-C 所以直线与椭圆必有两个交点，(1)y k x =+C 由消去并化简得，22(1)1553y k x x y =+⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩y ()2222136350k x k x k +++-=设，则， ()()1122,,,A x y B x y 22121222635,1313k k x x x x k k --+==++112277,,33MA MB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212127491139x x x x k x k x =+++++⋅+ ()()2221212121274939x x x x k x x k x x k =+++++++ 222222222223576356491331313139k k k k k k k k k k k ----=+⨯++⨯++++++. 2251549494513999k k --=+=-+=+20．如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，P ABCD -PC ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥//AB CD ，E 平分．222AB AD CD ===PB(1)求证：平面平面； ACE ⊥PBC(2)若二面角，求直线与平面所成角的正弦值． P AC E --PA ACE 【答案】(1)证明见解析;．【分析】（1）证明出，从而可证明平面，然后可得证面面垂直；AC BC ⊥BC ⊥PAC （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的向量法求得的长，再由线面角的向量法求得PC 结论．【详解】（1）由题意，∴，BC ==AC ==222AC BC AB +=AC BC ⊥，平面，平面，∴， PC ⊥ABCD AC ⊂ABCD PC AC ⊥，平面，∴平面， PC BC C ⋂=,PC BC ⊂PBC AC ⊥PBC 平面，∴平面平面；AC ⊂ACE PBC ⊥ACE （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，， ,,CB CA CP ,,x y z PC t =0t >则，，，， B A (0,0,)P t 2t E，，CA =2t CE = 设平面的一个法向量为，EAC (,,)n x y z =则，取，02n CA tn CE z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩z=(n t =- 平面的一个法向量为，PAC (1,0,0)m =所以，解得，cos ,m n n m m n ⋅=== 2t =∴，又，(0,2)AP = (n =-，cos ,AP n AP n AP n ⋅===∴直线与平面 PA ACE21．已知圆与抛物线相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为F 为抛2212x y +=22(0)x py p =>物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，1234P P P P 、、、求的值． 1234PP P P -【答案】(1) 24x y = 8【分析】（1）先通过抛物线求出点B 的坐标，再待入圆方程解出p ，即可得出抛物线的方程； （2）求出抛物线的焦点F 的坐标即可得到直线l 的方程，再由抛物线和圆方程分别与直线方程联立，利用韦达定理得出关系式，结合直线方程进行变化，即可计算出答案. 【详解】（1）令中， 22x py =x =4y p=即点B 坐标为，4p ⎛⎫⎪⎝⎭代入中，解得，2212x y +=24p =，， 0p > 2p ∴=则抛物线方程为；24x y =（2）抛物线的焦点F 的坐标为， 24x y =()0,1则直线l 为：，作出图像草图根据草图可得，1y x =+直线l 与圆交于，与抛物线交于， 13P P 、24P P 、设，，，， ()111,P x y ()222,P x y ()333,P x y ()444,P x y 将直线l 代入抛物线，得， 24x y =2440x x --=得，，244x x +=244x x =-将直线l 代入圆，得， 2212x y +=222110x x +-=得，， 131x x +=-13112x x =-都是直线l 上的点， 1234P P P P 、、、，112233441111y x y x y x y x =+⎧⎪=+⎪∴⎨=+⎪⎪=+⎩，))2143x x x x --=，()()2143x x x x ---=⎤⎦，()()2413x x x x -++=-⎤⎦，=，8=故的值为.1234PP P P -822．已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象{}n a n n S *n ∈N (),n n a S ()22f x x =-上．（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和； (21)n n b n a =-{}n b n n T （3）已知数列满足，若对任意，存在，使得{}n c ()*1111n n c n N a n n ⎛⎫=--∈ ⎪+⎝⎭*n ∈N 011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦成立，求实数的取值范围．()120n c c c f x a +++- …a 【答案】（1），；（2）；（3）．2n n a =*n ∈N 16(23)2n n T n +=+-⨯91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）由点都在函数的图象上，得到，然后利用数列通项和(),n n a S ()22f x x =-22n n S a =-前n 项和的关系求解.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）由（1）知，然后利用错位相减法求解.(21)2nn b n =-（3）由（1）知，设为数列的前项和，然后利用裂项相消法求解， 11121n n c n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭M {}n c n 【详解】解：（1）由点都在函数的图象上，可得①，当时，(),n n a S ()22f x x =-22n n S a =-1n =，解得；当时，由得，②，①-②，得11122a S a ==-12a =2n …22n n S a =-1122n n S a --=-，即，又，所以数列是首项为2，公比为2112222n n n n n a S S a a --=-=--+12n n a a -=120a =≠{}n a 的等比数列．所以，．2n n a =*n ∈N （2）由（1）知，则，(21)(21)2n n n b n a n =-=-123123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减可得23121232(23)2(2 1) 2 n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，()()12311141222222(21)222(21)2(32)2612n nn n n n T n n n -+++⨯--=++++--⨯=+⨯--⨯=-⨯-- 所以．16(23)2n n T n +=+-⨯（3）由（1）知，设为数列的前项和，则11121n n c n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭M {}n c n ，21111111111111122111222223111212nn n n M n n n n ⎛⎫⨯- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++--+-++-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-因为，所以，，，，当时，令11111212(1)n n n c n n n n ⎛⎫=--=- ⎪++⎝⎭10c =20c >30c >40c >5n …，则，所以为递增数列． 2(1)nn d n n =+11222(2) 0(1)(2)(1)(1)(2)n n n n n n d d n n n n n n n ++--=-=>+++++{}n d 又，所以，所以，所以，所以的最大值为5521615615d ==>⨯1n d >2(1)n n n >+0n c <n M ，当时，的最大值为，因为对任意，4111151680M =-=11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()22f x a x a -=--1a --*n ∈N 存在，使得成立，所以，解得．所以实数011,22x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()120n c c c f x a +++- …11180a --…9180a -…的取值范围是．a 91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，②等比数列的前n 项和()()11122n n n a a n n S na d +-==+公式；()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．。
广东省广州市高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）21,7a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()4,4-A ． B ．23677y x =-22077y x =--C ． D ．7182y x =-7102y x =-+【答案】A【分析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为， 27所以所求直线方程为，即.()2447y x +=-23677y x =-故选：A2．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E 上，另两个顶点位于E 的两个焦点处，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C D 1312【答案】B【分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率. ,a c【详解】依题意可知，b =所以.222222114,,42c c a b c c a a =+===故选：B3．如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD CC +-=A ．B ．C ．D ．1AC u u u r 1AC 1D B1DB 【答案】B【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．【详解】连接，可得，又，1、AC A C AB AD AC +=11=CC AA 所以． 111+-=-=AB AD CC AC AA A C 故选：B.4．已知，，，则（ ） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D5．如图，在三棱柱中，E ，F 分别是BC ，的中点，，则（ ） 111ABC A B C -1CC 2AG GE = GF =A ． 1121332AB AC AA -+ B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++【答案】D【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+- ，()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++故选：D ．6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） ()1,2P ()2,3A ()4,5B -A ．B ．240x y +-=250x y +-=C ．或 D ．或240x y +-=250x y +-=3270x y +-=460x y +-=【答案】D【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. AB AB 【详解】若过的直线与平行，因为， P AB 3(5)424AB k --==--故直线的方程为：即.l ()241y x -=--460x y +-=若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， P AB AB ()3,1-2(1)3132AB k --==--故直线的方程为：即. l ()3212y x -=--3270x y +-=故选：D.7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为2y x =(2,A ．B ．2214x y -=2214y x -=C ．D ．2214y x -=2214x y -=【答案】B【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，且过点，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为，但不过点2y x =±(2,2y x =±(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.12y x =±【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.8．P 为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q ，使得22:11713x y C +=1F 2F 1F P ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）2PQ PF =A ．B ． ()22234x y ++=()22268x y ++=C ． D ．()22234x y -+=()22268x y -+=【答案】B【解析】由椭圆的，，所以122PF PF a +==2PQ PF =112PF PQ FQ a +===动点Q 的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程.()12,0F -【详解】由可得：，2211713x y +=a =因为，，122PF PF a +==2PQ PF =所以 112PF PQ FQ a +===所以动点Q 的轨迹为以为圆心， ()12,0F -故动点Q 的轨迹方程为.()22268x y ++=故选：B.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程； ,x y （2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.二、多选题9．已知直线：，：，则下列结论正确的有（ ） 1l 0x y m -+=2l 210x my +-=A ．若，则 12//l l 2m =-B ．若，则12l l ⊥2m =C ．若，在x 轴上的截距相等则 1l 2l 1m =D ．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍 2l 1l 【答案】AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB 选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD 选项的正确性. 【详解】若，则，得，选项A 正确； 12//l l 2111m m-=≠-2m =-若，则，得，选项B 正确； 12l l ⊥120m ⨯-=2m =若，在x 轴上的截距相等，则，解得，选项C 错误；1l 2l 12m -=12m =-当时，的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D 错误． 0m =2l π21l π4故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭4x π=A ．函数为偶函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．函数在上单调递增()f x ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若，则的最小值为()()122f x f x -=12x x -3πD ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+【答案】BC【分析】根据函数的图象关于直线对称，由()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭4x π=求得函数的解析式，再逐项判断.3,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈【详解】因为函数的图象关于直线对称，()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭4x π=所以，即，3,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈,4k k Z πϕπ=-∈又因为，则，22ππϕ-<<4πϕ=-所以，()sin(3)4f x x π=-A.函数为奇函数，故错误；si 121n(3)sin 423f x x x πππ⎛⎫⎛⎫++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 因为，则，又 在上递增，所以函数在上,126x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦30,44x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin y x =0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()f x ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故正确； C. 因为，则 分别为函数的最大值和最小值，则的最23T π=()()122f x f x -=()()12,f x f x 12x x -小值为，故正确； 23T π=D.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故错误；()f x 13sin(9)4y x π=-故选：BC11．下列说法正确的是（ ）A ．设是两个空间向量，则一定共面 ,a b,a bB ．设是三个空间向量，则一定不共面,,a b c ,,a b cC ．设是两个空间向量，则,a ba b b a ⋅=⋅ D ．设是三个空间向量，则,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】AC【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】对于A ：因为是两个空间向量，则一定共面，故A 正确； ,a b,a b对于B ：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B 错误； ,,a b c ,,a b c对于C ：因为是两个空间向量，则，故C 正确；,a ba b b a ⋅=⋅ 对于D ：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D 错误．,,a b c ()a b c ⋅ a()a b c ⋅ c 故选：AC ．12．已知双曲线C ：，则（ ）2213y x -=A ．双曲线C 与圆有3个公共点22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．双曲线C 的离心率与椭圆的离心率的乘积为122143x y +=C ．双曲线C 与双曲线有相同的渐近线2213y x -=D ．双曲线C 的一个焦点与抛物线的焦点相同 28y x =【答案】BCD【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.【详解】解：作图可知A 不正确；由已知得双曲线C 中，，，所以1a =b =2c ==双曲线C 的焦点为，顶点为，渐近线方程为， ()2,0±()1,0±by x a=±=离心率为，易知选项BCD 正确． 2ca=故选：BCD13．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线()()22:114M x y -+-=:20l x y ++=P l P M 、，切点为、，则下列结论正确的是（ ）PA PB A B A ．四边形面积的最小值为 MAPB 4B ．四边形面积的最大值为 MAPB 8C ．当最大时，APB ∠PA =D ．当最大时，直线的方程为 APB ∠AB 0x y +=【答案】AD【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式MP l ⊥MAPB APB ∠可判断AB 选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD 选项. MAPB 【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得，，MA PA ⊥MB PB ⊥由切线长定理可得，又因为，，所以，， PA PB =MA MB =MP MP =PAM PBM △≌△所以，， 22PAM MAPB S S PA AM PA ==⋅=△四边形时，取最小值，MP l ⊥MP且的面积的最小值为，A 对；min MP MAPB 24=因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，B 错； MP PA MAPB 因为为锐角，，且， APM ∠2APB APM ∠=∠2sin AM APM MP MP∠==故当最小时，最大，此时最大，此时，C 错； MP APM ∠APB ∠2PA =由上可知，当最大时，且， APB ∠2PA PB MA MB ====90PAM ∠= 故四边形为正方形，且有，则的方程为，MAPB MP l ⊥MP y x =联立，可得，即点，20y x x y =⎧⎨++=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩()1,1P --由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，D AB MP ()0,0O AB y x =-对. 故选：AD.三、填空题14．命题“，”的否定为__________． x ∀∈R 2240x x -+≤【答案】2,240x R x x ∃∈-+>【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为“”2,240x R x x ∃∈-+>15．设向量，，，则实数________. ()1,2,4AB = (),1,1CD m = AB CD ⊥m =【答案】6-【解析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解. 【详解】因为，AB CD ⊥所以， 240AB CD m ⋅=++=解得. 6m =-故答案为：.6-【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 16．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________. 【答案】27π【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆， 6所以圆锥的母线长为，6l =设圆锥的底面半径为，则，所以， r 26r ππ=⨯3r =所以圆锥的表面积为. 227S r rl πππ=+=故答案为：.27π17．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹221():31Q x y ++=222:()381Q x y +=-方程为：______.【答案】2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为，半径为R ，根据动圆与圆外切，与圆(),Q x y 221():31Q x y ++=内切，得到，两式相加得到222:()381Q x y +=-121,9QQ R QQ R =+=-，再根据椭圆的定义求解.1212106QQ QQ Q Q +=>=【详解】设动圆的圆心为，半径为R ，(),Q x y 因为动圆与圆外切，与圆内切，221():31Q x y ++=222:()381Q x y +=-所以， 121,9QQ R QQ R =+=-所以，1212106QQ QQ Q Q +=>=所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆， 12,Q Q 所以，2210,5,3,16a a c b ====所以动圆圆心的轨迹方程为，2212516x y +=故答案为：2212516x y +=【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题18．已知圆D 经过点A （-1，0），B （3，0），C （1，2）. (1)求圆D 的标准方程；(2)若直线l ：与圆D 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度. 3420x y +=-【答案】(1) ()2214x y -+=(2)【分析】（1）设圆D 的标准方程，利用待定系数法即可得出答案； 222()()x a y b r -+-=（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.【详解】（1）解：设圆D 的标准方程，222()()x a y b r -+-=由题意可得，解得，222222222(1)(0)(3)(0)(1)(2)a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆D 的标准方程为； 22(1)4x y -+=（2）解：由（1）可知圆心，半径， ()1,0D 2r =所以圆心D （1，0）到直线l ：的距离，3420x y +=-d 所以||MN ==19．已知抛物线上的点M （5，m ）到焦点F 的距离为6. 2:2(0)C y px p =>(1)求抛物线C 的方程；(2)过点作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. ()2,1P -【答案】(1) 24y x =(2) 230x y +-=【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. 562p+=（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k ，即可得直:(1)2l x k y =++线l 方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， 2px =-∴抛物线定义知：可得，故 562p+=2p =2:4C y x =（2）由题设，直线l 的斜率存在且不为0，设(1)2x k y =++联立方程，得， 2(1)24x k y y x =++⎧⎨=⎩24(1)8y k y =++整理得，则.24480y ky k ---=4A B y y k +=又P 是线段AB 的中点，∴，即42k =-12k =-故l 230x y +-=：20．如图，平面平面，，，，.ACEF ⊥ABC AF AC ⊥//AF CE 23AF CE =2BD DE =（1）求证：平面； //DF ABC （2）求证：.DF CE ⊥【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明D BC CE G M 四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面AFDM DF //AM //DF ABC ；(2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得. CE ⊥ABC CE AM ⊥DF //AM CE DF ⊥【详解】(1) 证明：过点作的平行线，交于点，连接. D BC CE G FG 过点作的平行线交于点，连接. D EC BC M AM 则四边形为平行四边形，有平行且等于. CMDG DM CG 因为，所以. 2BD DE =12ED BD =因为，所以， //DG BC 12FG ED CG BD ==故，所以，2CG EG =23CG CE AF ==又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，AF CG //AFGC AF CG所以平行且等于，四边形为平行四边形，有. AF DM AFDM DF //AM 又平面，平面，所以平面. DF ⊄ABC AM ⊂ABC //DF ABC (2)证明：因为，，所以.AF AC ⊥//AF CE CE AC ⊥因为平面与平面垂直，且交线为，又平面， ACEF ABC AC CE ⊂ACEF 所以平面，又平面，所以. CE ⊥ABC AM ⊂ABC CE AM ⊥又由(1)知，所以.DF //AM CE DF ⊥21．已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P 在椭圆上，，1C 222:1305x y C +=1F 2F 1C 12PF PF ⊥______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆1C ()1C 1C (1)求椭圆的标准方程； 1C (2)求的面积．12PF F △【答案】(1)2215025x y +=(2) 25【分析】（1）设椭圆C 的方程为（），，由题意可得.22221x y a b +=0a b >>222+=a b c 225c =选①：可得②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得a =5b =c a =即可求解椭圆方程；（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.1250PF PF ⋅=【详解】（1）设椭圆C 的方程为（），，则椭圆与椭圆22221x y a b+=0a b >>222+=a b c 1C 具有共同的焦点，则．222:1305x y C +=225c =选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．a =225b =1C 2215025x y +=选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为． 5b =250a =1C 2215025x y +=选②，由已知可得，所以，椭圆的方程为．c a =250a =225b =1C 2215025x y +=（2）由椭圆的定义知① 122PF PF a +==又因为，所以，②12PF PF ⊥222124100PF PF c +==由①②可得，解得，因此2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=1250PF PF ⋅=． 12121252PF F S PF PF =⋅=A22．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧棱ABCD 为P ABCD -PAD ⊥PA PD ==直角梯形，其中，，，．//BC AD AB AD ⊥222AD AB BC ===12PF FD =(1)求证：平面ACF ；//PB(2)在线段PB 上是否存在一点H ，使得CH 与平面ACF PH 的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在，. PH【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.//PB ACF （2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求PH tPB =CH CH ACF t 得的长.PH【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧棱P ABCD -PAD ⊥PA PD ==底面ABCD 为直角梯形，其中，，，，//BC AD AB AD ⊥222AD AB BC ===12PF FD =以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，A，，()()()420,1,1,1,0,0,1,1,0,0,,33P B C F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,1PB =--设平面的法向量为，ACF (),,n x y z = 则，故可设，420330n AF y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ()1,1,2n =-- 由于， 1120n PB ⋅=--+=所以平面. //PB ACF （2）存在，理由如下：设，， ()()1,1,1,,PH tPB t t t t ==--=--01t ≤≤， ()()()0,1,1,,,1,1AH AP PH t t t t t t =+=+--=--，()()(),1,11,1,01,,1CH AH AC t t t t t t =-=---=---依题意与平面CH ACF=，解得或.1=1t =13t=，即与平面PH CH ACF23．已知点，圆，点Q 在圆上运动，的垂直平分线交于点P . ()11,0F -()22218F x y -+=：2F 1QF 2QF (1)求动点P 的轨迹的方程；C (2)过点的动直线l 交曲线C 于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；2212x y +=(2)存在，T (0，1)﹒【分析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨12221222PF PF PQ PF QF F F +=+==>=迹方程；(2)假设存在T (0，t )，设AB 方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出13y kx =-TA TB ⋅ 定点T .【详解】（1）由题可知，，1PF PQ =则，12221222PF PF PQ PF QF F F +=+==>=由椭圆定义知P的轨迹是以F 1、为焦点，且长轴长为 2F ∴，∴，1a c ==2221b a c =-=∴P 的轨迹方程为C ：；2212x y +=（2）假设存在T (0，t )满足题意，易得AB 的斜率一定存在，否则不会存在T 满足题意，设直线AB的方程为，()()1122,1,3,y kx A x y B x y =-,联立，化为，易知恒成立，221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2241612039k x kx +--=0∆>∴(*)()()121222416312912k x x x x k k +==-++，由题可知， 11221212(,)(,)()()TA TB x y t x y t x x y t y t ⋅=-⋅-=+--u u r u u r()2121212112333x x kx kx t k x x t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+---+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22121211210393k x x k tk x x t t ⎛⎫=+-+++++= ⎪⎝⎭，将(*)代入可得：()()()222216114120393912312k k k kt t tkk +⎛⎫--+⨯+++=⎪++⎝⎭，即 ()()222181896150t t k t t -++-=，∴，解， 221818096150t t t ⎧-=⎨+-=⎩1t =∴在y 轴上存在定点T (0，1)，使以AB 为直径的圆恒过这个点T .。
2023-2024学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 经过点A （﹣1，0）和B(1，2√3)，则l 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π32．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 7＝5，若a 2a 4a 8a m ＝25，则正整数m 的值为（ ） A ．11B ．10C ．1D ．83．直线x cos θ+y sin θ﹣2＝0与圆x 2+y 2＝1的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．相切D ．位置关系与θ有关4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）A ．61B ．66C ．90D ．915．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线2x ﹣y +1＝0垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ） A ．√52B ．√3C ．2D ．√56．如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1＝2AB ，N 是B 1C 1的中点，G 是CN 的中点，若A 1G →=xA 1B 1→+yA 1C 1→+zA 1A →，则x +y +z ＝（ ）A ．34B ．1C ．54D ．327．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）可由抛物线y ＝ax 2平移得到．若抛物线E ：y =14（x ﹣2）2+3的焦点为F，点P在抛物线E上且|PF|＝5，则点P到x轴距离为（）A．5B．6C．7D．88．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，若圆D：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足|PM|=√2|PO|，则实数a的取值范围为（）A．[−√7−1，√7−1]B．[﹣4，2]C．[﹣3，3]D．[﹣2，4]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：2x+（a+1）y﹣2a＝0，且l1∥l2，则（）A．a＝﹣2B．a＝1C．l1与l2间的距离为√5D．l1的一个方向向量为（1，2）10．若动点P（x，y）与两定点M（﹣2，0），N（2，0）的连线的斜率之积为常数k（k≠0），则点P（x，y）的轨迹可能是（）A．除M，N两点外的圆B．除M，N两点外的椭圆C．除M，N两点外的双曲线D．除M，N两点外的抛物线11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则下列说法正确的是（）A．点D1到直线A1C的距离为√2 2B．点D1到平面A1BD的距离为√3 3C．若点P（x，y，z）在直线A1C上，则x＝y＝1﹣zD．若点P（x，y．z）在平面A1BD内，则x﹣y+z＝112．已知数列{a n}的通项公式为a n=(2n−1)π4，b n＝tan a n，记S n为数列{a n}的前n项和，则下列说法正确的是（）A．b n＝（﹣1）nB ．b 1+b 2+b 3+…+b n =1+(−1)n−12C ．若c n ＝a n b n ，则c 1+c 2+c 3+…+c n =(−1)n−1nπ4D ．若d n ＝b n S n ，则d 1+d 2+d 3+…+d 40＝﹣205π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若方程x 2+y 2+2x +a ＝0表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是 ． 14．若数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n +1＝3a n +2，则{a n }的通项公式为 ．15．已知点A （0，﹣2）和B （0，2），椭圆y 216+x 212=1上一点P 满足|P A |﹣|PB |＝2，则PA →⋅PB →= ．16．如图，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角D ﹣AB ﹣F 的大小是60°，则直线AC 和BF 夹角的余弦值为 ．若M ，N 分别是AC ，BF 上的动点，且AM ＝BN ，则MN 的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n =3a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点E ，F ，G ，H 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AE ＝1，BF ＝DH ＝2，CG ＝3． （1）证明：FG ∥EH ；（2）求直线AA 1与平面EGH 所成角的正弦值．19．（12分）已知圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝4，直线l 过点M （﹣2，4）．（1）若直线l 的斜率为﹣2，求直线l 被圆C 所截得的弦长； （2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．20．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，∠BAD =π4，AD ＝2BC ＝4，PB ⊥平面ABCD ．（1）求证：AP ⊥CD ；（2）若平面PCD 与平面PCB 夹角的余弦值为√33，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．21．（12分）甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为p 万元．根据市场分析和预测，甲企业第n 年的利润额比前一年利润额多3p(23)n 万元，乙企业前n 年的总利润额为p （n 2﹣n +1）万元，记甲，乙两企业第n 年利润额（单位：万元）分别为a n ，b n ． （1）求a n ，b n ；（2）若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的50%，则该企业将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，点P 在椭圆C 上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为√3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 内一点T （m ，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，是否存在定值m ，使得|AB |＝4|AT |•|BT |恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．2023-2024学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l经过点A（﹣1，0）和B(1，2√3)，则l的倾斜角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3解：直线l经过点A（﹣1，0）和B（1，2√3），则直线l的斜率k=2√3−01−(−1)=√3，∴tanα=√3，∴α=π3．故选：C．2．公比不为1的等比数列{a n}满足a5a7＝5，若a2a4a8a m＝25，则正整数m的值为（）A．11B．10C．1D．8解：∵公比不为1的等比数列{a n}满足a5a7＝5，∴a4a8＝a5a7＝5，∵a2a4a8a m＝25，∴a2a m＝5，∴2+m＝5+7，∴m＝10．故选：B．3．直线x cosθ+y sinθ﹣2＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．位置关系与θ有关解：由题设知圆心到直线的距离d=√cos2θ+sinθ=2，而2＞1＝r，圆的半径r＝1，所以直线x cosθ+y sinθ﹣2＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是相离．故选：A．4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（）A ．61B ．66C ．90D ．91解：分别观察各图中小正方体木块的个数为1，1+5，1+5+9，…，归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n =n +n(n−1)×42=2n 2−n ， 所以S 6＝2×36﹣6＝66．故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66． 故选：B ．5．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线2x ﹣y +1＝0垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ） A ．√52B ．√3C ．2D ．√5解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y ＝±bax ，因为直线2x ﹣y +1＝0的斜率k ＝2，由题意可得−b a =−12，可得b 2a 2=14，所以双曲线的离心率e =c a =√1+b 2a2=√1+14=√52，故选：A ．6．如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1＝2AB ，N 是B 1C 1的中点，G 是CN 的中点，若A 1G →=xA 1B 1→+yA 1C 1→+zA 1A →，则x +y +z ＝（ ）A ．34B ．1C ．54D ．32解：在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1＝2AB ，N 是B 1C 1的中点，G 是CN 的中点，所以A 1G →=12(A 1C →+A 1N →)=12A 1A →+14A 1C 1→+14A 1B 1→+14A 1C 1→=12A 1A →+12A 1C 1→+14A 1B 1→=xA 1B 1→+yA 1C 1→+zA 1A →．故x =14，y =12，z =12；所以x +y +z =54．故选：C ．7．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）可由抛物线y ＝ax 2平移得到．若抛物线E ：y =14（x ﹣2）2+3的焦点为F ，点P 在抛物线E 上且|PF |＝5，则点P 到x 轴距离为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：由抛物线E ：y =14（x ﹣2）2+3，得（x ﹣2）2＝4（y ﹣3），作出该函数的图象如图，抛物线的准线方程为y ＝2，则点P 到x 轴距离为|PF |+2＝7． 故选：C ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝2，若圆D ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且满足|PM|=√2|PO|，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−√7−1，√7−1] B ．[﹣4，2]C ．[﹣3，3]D ．[﹣2，4]解：设P （x ，y ）由由|PM|=√2|PO|，可得|PM |2＝2|PO |2， ∵PM 与C 相切，且M 为切点， ∴PM 2＝PC 2﹣r 2， ∴2PO 2＝PC 2﹣2，∴2（x 2+y 2）＝（x +1）2+（y ﹣2）2﹣2， ∴x 2+y 2﹣2x +4y ﹣3＝0， 即（x ﹣1）2+（y +2）2＝8，∵P 又在圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2 上，∴两圆有公共点且不能内切，∴√2＜√(1−a)2+(−2−1)2≤3√2，√(1−a)2+(−2−1)2=√(1−a)2+9＞√2恒成立， ∴√(1−a)2+9≤3√2， ∴（a ﹣1）2≤9， ∴﹣2≤a ≤4，即实数a 的取值范围为[﹣2，4]． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l 1：ax +y ﹣1＝0，l 2：2x +（a +1）y ﹣2a ＝0，且l 1∥l 2，则（ ） A ．a ＝﹣2B ．a ＝1C ．l 1与l 2间的距离为√5D ．l 1的一个方向向量为（1，2）解：由两条直线平行可得：{a(a +1)=1×2−2a ≠−(a +1)，解得a ＝﹣2所以A 正确，B 不正确；可得直线l 1为：﹣2x +y ﹣1＝0，即2x ﹣y +1＝0， l 2：2x ﹣y +4＝0，所以两条直线之间的距离d =|4−1|√2+(−1)2=3√55，所以C 不正确； D 中，直线l 1的斜率为12，所以它的一个方向向量可以为（1，2），所以D 正确．故选：AD ．10．若动点P （x ，y ）与两定点M （﹣2，0），N （2，0）的连线的斜率之积为常数k （k ≠0），则点P （x ，y ）的轨迹可能是（ ） A ．除M ，N 两点外的圆B ．除M ，N 两点外的椭圆C ．除M ，N 两点外的双曲线D ．除M ，N 两点外的抛物线解：依题意可知y x+2⋅yx−2=k ，整理得y 2﹣kx 2＝﹣4k ，（x ≠±2）当k ＞0时，方程的轨迹为双曲线（除M ，N 两点）； 当k ＜0时，且k ≠﹣1方程的轨迹为椭圆（除M ，N 两点）； 当k ＝﹣1时，点P 的轨迹为圆（除M ，N 两点）； 因为抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1， 故P 点的轨迹一定不可能是抛物线．故选：ABC ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，则下列说法正确的是（ ）A ．点D 1到直线A 1C 的距离为√22 B ．点D 1到平面A 1BD 的距离为√33C ．若点P （x ，y ，z ）在直线A 1C 上，则x ＝y ＝1﹣zD ．若点P （x ，y ．z ）在平面A 1BD 内，则x ﹣y +z ＝1解：A 1（0，0，1），C （1，1，0），D 1（0，1，1），B （1，0，0），D （0，1，0）， 对于A ，A 1C →=（1，1，﹣1），CD 1→=（﹣1，0，1）， A 1C →•CD 1→=−2，CD 1→在A 1C →上的射影为A 1C →⋅CD 1→|A 1C →|=√3，所以点D 1到直线A 1C 的距离为√CD 12−(|A 1C →⋅CD 1|→|A 1C →|)2=√2−43=√63，故A 错误； 对于B ，易知AC 1⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为AC 1→=（1，1，1），D 1B →=（1，﹣1，﹣1）， 所以点D 1到平面A 1BD的距离为|AC 1→⋅D 1B →|AC 1→||=1√3=√33，故B 正确；对于C ，若点P （x ，y ，z ）在直线A 1C 上，则CP →=λA 1C →， 即（（x ﹣1，y ﹣1，z ）＝λ（1，1，﹣1）＝（λ，λ，﹣λ）， 所以{x −1=λy −1=λz =−λ，所以x ＝y ＝1﹣z ，故C 正确；对于D ，若点P （x ，y ．z ）在平面A 1BD 内， 则AP →=m AA 1→+n AB →+t AD →，（其中m +n +t ＝1），所以（x ，y ，z ）＝m （0，0，1）+n （1，0，0）+t （0，1，0）＝（n ，t ，m ）， 所以{x =ny =t z =m ，所以x +y +z ＝1，故D 错误．故选：BC ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =(2n−1)π4，b n ＝tan a n ，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．b n ＝（﹣1）n B ．b 1+b 2+b 3+…+b n =1+(−1)n−12C ．若c n ＝a n b n ，则c 1+c 2+c 3+…+c n =(−1)n−1nπ4D ．若d n ＝b n S n ，则d 1+d 2+d 3+…+d 40＝﹣205π 解：因为数列{a n }的通项公式为a n =(2n−1)π4，所以{a n }为等差数列，a 1=π4，公差为π2， 则S n =na 1+n(n−1)2d =n 24π，b n =tana n =tan(π4+(n −1)π2)=tan(nπ2−π4)={1，n =2k −1−1，n =2k （k ∈Z ），当n ＝1时，b 1＝1，则选项A 不正确； 当n 为偶数时，b 1+b 2+b 3+⋯+b n ＝0； 当n 为奇数时，b 1+b 2+b 3+⋯+b n ＝1， 故b 1+b 2+b 3+⋯+b n =1+(−1)n−12，所以选项B 正确；c n ＝a n b n ={a n ，n =2k −1−a n ，n =2k （k ∈Z ），c 2k +c 2k−1=−a 2k +a 2k−1=−π2，当n 为偶数时，c 1+c 2+c 3+⋯+c n =−n4π，当n为奇数时，c1+c2+c3+⋯+c n=−n−14π+π4(2n−1)=n4π，所以c1+c2+c3+⋯+c n=(−1)n−1n4π，故选项C正确；d n＝b n S n={S n，n=2k−1−S n，n=2k（k∈Z），d2k−1+d2k=S2k−1−S2k=π4[(2k−1)2−(2k)2]=−π4(4k−1)，所以d1+d2+d3+…+d2n＝（d1+d2）+（d3+d4）+…+（d2n﹣1+d2n）=−π4[3+7+⋯+(4n−1)]=−π4×3+4n−12×n=−π4(2n2+n)，所以d1+d2+d3+…+d40=−π4（2×202+10）=−405π2，所以选项D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若方程x2+y2+2x+a＝0表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．解：方程x2+y2+2x+a＝0表示圆，所以D2+E2﹣4F＞0即22﹣4a＞0，∴a＜1，解得a的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．14．若数列{a n}的首项a1＝1，且满足a n+1＝3a n+2，则{a n}的通项公式为a n＝2•3n﹣1﹣1．解：∵a n+1＝3a n+2，∴a n+1+1＝3（a n+1），则{a n+1}是首项为a1+1＝2，公比为3的等比数列，则a n+1＝2•3n﹣1，a n＝2•3n﹣1﹣1．故答案为：a n＝2•3n﹣1﹣1．15．已知点A（0，﹣2）和B（0，2），椭圆y216+x212=1上一点P满足|P A|﹣|PB|＝2，则PA→⋅PB→=9．解：由题意两定点A（0，﹣2）、B（0，2），点P在椭圆y216+x212=1上，可知A 、B 是椭圆的焦点坐标，所以|P A |+|PB |＝8，|P A |﹣|PB |＝2，解得|P A |＝5，|PB |＝3，AB ＝4， 所以△ABP 是直角三角形，可得：PA →⋅PB →=|PB →|2＝9． 故答案为：9．16．如图，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角D ﹣AB ﹣F 的大小是60°，则直线AC 和BF 夹角的余弦值为 14．若M ，N 分别是AC ，BF 上的动点，且AM ＝BN ，则MN 的最小值是√55．解：连接MB ，如下图，由题意，AM ＝BN ，AC ＝BF ，正方形ABCD 中，AD ⊥AB ，∵正方形ABEF 中AF ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，AD ⊂平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴∠DAF 就是二面角D ﹣AB ﹣F 的平面角，则∠DAF =60°， ∴向量AD →与向量AF →夹角为60°，且AD →⊥AB →，AF →⊥AB →， ①AC →=AB →+BC →，BF →=BE →+EF →，|AC →|=|BF →|=√2，AC →⋅BF →=(AB →+BC →)(BE →+EF →)=AB →⋅BE →+AB →⋅EF →+BC →⋅BE →+BC →⋅EF →=−12，∴cos ＜AC →，BF →＞=−122=−14，∴直线AC 和BF 夹角的余弦值为14；②设AM →=λAC →，BN →=λBF →，λ∈[0，1]，则MC →=(1−λ)AC →， 且由题意|AD →|=|AB →|=|AF →|=1，MN →=MB →+BN →=MC →+CB →+BN →=(1−λ)AC →+CB →+λBF →=(1−λ)(AD →+AB →)+CB →+λ(BA →+BE →)=(1−λ)AD →+(1−λ)AB →−AD →−λAB →+λAF →=−λAD →+(1−2λ)AB →+λAF →，∴MN →2=λ2AD →2+(1−2λ)2AB →2+λ2AF →2−2λ(1−2λ)AD →⋅AB →+2λ(1−2λ)AB →⋅AF →−2λ2AD →⋅AF →=λ2+(1−2λ)2+λ2+0+0−2λ2cos60° ＝5λ2﹣4λ+1，令h （λ）＝5λ2﹣4λ+1，λ∈[0，1]，h （λ）图象开口向上，且对称轴为λ=25，∴当λ=25时，h （λ）取得最小值ℎ(λ)min =ℎ(25)=15，又MN 2=|MN →|2，∴（MN 2）min =15，即MN 的最小值是√55．故答案为：14；√55．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n =3a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）已知{a n }是公差不为0的等差数列，设公差为d ，则d ≠0， 又a 1＝2，a 1，a 3，a 11成等比数列， 则（2+2d ）2＝2（2+10d ）， 即d 2＝3d ， 又d ≠0， 即d ＝3，则a n ＝2+3（n ﹣1）＝3n ﹣1， 则{a n }的通项公式为a n ＝3n ﹣1； （2）由（1）可得b n =3a n a n+1=3(3n−1)(3n+2)=13n−1−13n+2，则S n =(12−15)+(15−18)+...+(13n−1−13n+2)=12−13n+2=3n6n+4．18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点E ，F ，G ，H 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AE ＝1，BF ＝DH ＝2，CG ＝3． （1）证明：FG ∥EH ；（2）求直线AA 1与平面EGH 所成角的正弦值．（1）证明：如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝2，AA 1＝4，点E ，F ，G ，H 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AE ＝1，BF ＝DH ＝2，CG ＝3，所以F （2，0，2），G （2，2，3），E （0，0，1），H （0，2，2）， 所以FG →=(0，2，1)，EH →=(0，2，1)， 所以FG →=EH →， 所以FG ∥EH ；（2）解：由（1）知A （0，0，0），A 1＝（0，0，4）， 所以AA 1→=（0，0，4），EG →=(2，2，2)， 设平面EGH 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅EH →=0n →⋅EG →=0，即{2x +2y +2z =02y +z =0，令y ＝1，则z ＝﹣2，x ＝1，即n →=(1，1，−2)， 设直线AA 1与平面EGH 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜n →，AA 1→＞|=|AA 1→⋅n →||AA 1→|⋅|n →|=84×6=√63，即直线AA1与平面EGH所成角的正弦值为√6 3．19．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，直线l过点M（﹣2，4）．（1）若直线l的斜率为﹣2，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程．解：（1）由题设，直线l：y﹣4＝﹣2（x+2），可得l：2x+y＝0，圆C：x2+（y﹣1）2＝4的圆心C（0，1），半径r＝2，则C（0，1）到直线l的距离d=15=√55，所以直线l被圆C所截得的弦长为2√r2−d2=2√95 5；（2）由（﹣2）2+32＞4，即M在圆外，当直线l斜率存在时，设l：y﹣4＝k（x+2），即kx﹣y+2k+4＝0，要使直线l与圆C相切，则√1+k2=2，可得k=−5 12，所以直线l的方程为5x+12y﹣38＝0，当直线l斜率不存在时，l：x＝﹣2与圆C相切；故直线l的方程为：x＝﹣2或5x+12y﹣38＝0．20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD=π4，AD＝2BC＝4，PB⊥平面ABCD．（1）求证：AP⊥CD；（2）若平面PCD与平面PCB夹角的余弦值为√33，求四棱锥P﹣ABCD的体积．解：（1）证明：∵PB⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，∴PB⊥CD，过点B作BH∥CD，∵ABCD为等腰梯形，且∠BAD=π4，∴∠BHA=∠BAD=π4，∠ABH=π2，即AB⊥BH，∴AB ⊥CD ，又PB ∩AB ＝B ，PB 、AB ⊂平面P AB ， ∴CD ⊥平面P AB ，而AP ⊂平面P AB ，∴AP ⊥CD ．（2）由（1）可知BH ，BA ，BP 两两垂直，故以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BP ＝m ，则B （0，0，0），C(√2，−√2，0)，D(2√2，−√2，0)，P （0，0，m ）， ∴PC →=（√2，−√2，﹣m ），DC →=（−√2，0，0），BP →=（0，0，m ），设平面PCD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PC →=0m →⋅DC →=0，即{√2x −√2y −mz =0−√2x =0， 令y =√2，则x ＝0，z =−2m ，∴m →=(0，√2，−2m)，设平面PCB 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅PC →=0n →⋅BP →=0，即{√2a −√2b −mc =02c =0， 令a ＝1，则b ＝1，c ＝0，∴n →=(1，1，0)， 因为平面PCD 与平面PCB 夹角的余弦值为√33，设平面PCD 与平面PCB 夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2√2+4m 2⋅√2=√33，解得m ＝2．在等腰梯形ABCD 中，∠BAD =π4，AD ＝2BC ＝4，∴梯形的高为1，面积S =12×(2+4)×1=3， ∵V P−ABCD =13S ⋅PB =13×3×2=2，∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积为2．21．（12分）甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为p 万元．根据市场分析和预测，甲企业第n 年的利润额比前一年利润额多3p(23)n 万元，乙企业前n 年的总利润额为p （n 2﹣n +1）万元，记甲，乙两企业第n 年利润额（单位：万元）分别为a n ，b n ． （1）求a n ，b n ；（2）若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的50%，则该企业将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 解：（1）由题意知，a 1＝b 1＝p （p ＞0），a n −a n−1=3p(23)n (n ≥2)，设乙企业前n 年的总利润额为S n ，则S n =p(n 2−n +1)， 当n ＝1时，b 1＝S 1＝p ，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=p(n 2−n +1)−p[(n −1)2−(n −1)+1]=2p(n −1)， 将n ＝1代入b n ＝2p （n ﹣1）可得b 1＝0 不符合， 所以b n ={p ，n =12p(n −1)，n ≥2，又a n ﹣a n ﹣1＝3p （23）n，n ≥2，a 1＝p ，所以a n ＝a 1+a 2﹣a 1+…+a n ﹣a n ﹣1＝p +3p （23）2+3p （23）3+…+3p （23）n ＝p +3p ×(23)2−(23)n+11−23=p [5﹣9×(23)n+1]，当n ＝1时，a 1＝p 适合上式， 所以a n =p[5−9×(23)n+1]；（2）①b n −12a n ={12p ，n =1p[2n +3×(23)n −92]，n ≥2，b 1−12a 1=12p ，即b 1＞12a 1，当n ≥2时，(b n+1−12a n+1)−(b n −12a n )=n[2(n +1)+3×(23)n+1−92]−p[2n +3×(23)n −92]=n[2−(23)n ]＞0，所以b n −12a n ≥b 2−12a 2=56p ＞0，即b n ＞12a n ，故对于∀n ∈N +，b n ＞12a n 恒成立，即乙企业不可能被甲企业收购．；②a n −12b n ={12p ，n =1p[6−9×(23)n+1−n]，n ≥2，当n ＝1时，a n −12b n =12p ＞0，即a n ＞12b n ，当n ≥2时，(a n+1−12b n+1)−(a n −12b n )=p[6−9×(23)n+2−(n +1)]−p[6−9×(23)n+1−n]=p[3×(23)n+1−1]＜0，所以{a n −12b n }在n ≥2且n ∈N 上单调递减，当2≤n ≤5且n ∈N 时，a n −12b n ＞0，即a n ＞12b n ，当n ≥6且 n ∈N 时，a n −12b n ＜0，即a n ＜12b n ，故当1≤n ≤5且n ∈N 时，a n ＞12b n ，即甲企业不能被乙企业收购，当n ≥6且n ∈N 时，a n ＜12b n ，即甲企业能被乙企业收购，综述：甲企业可能被乙企业收购，至少出现在第6年．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，点P 在椭圆C 上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为√3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 内一点T （m ，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，是否存在定值m ，使得|AB |＝4|AT |•|BT |恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：（1）当点P 位于椭圆的上或下顶点时，点P 与椭圆C 的两焦点围成的三角形面积， 由题意知，{2b =212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得b ＝1，c =√3，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率为0时，不妨取A ，B 分别为椭圆的左，右顶点， 则|AB |＝2a ＝4，|AT |＝m +2，|BT |＝2﹣m ，若|AB |＝4|AT |•|BT |，则4＝4（m +2）（2﹣m ），解得m ＝±√3；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x =ty +m x 24+y 2=1，消去x 得，（t 2+4）y 2+2tmy +m 2﹣4＝0， 所以y 1+y 2=−2tm t 2+4，y 1y 2=m 2−4t 2+4，Δ＝（2tm ）2﹣4（t 2+4）（m 2﹣4）＝16（t 2﹣m 2+4）＞0，即4﹣m 2＞t 2≥0， 所以|AB |=√1+t 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2•4√t 2−m 2+4t 2+4，|AT |=√(x 1−m)2+y 12=√t 2y 12+y 12=√t 2+1⋅|y 1|，同理可得|BT |=√t 2+1⋅|y 2|， 若|AB |＝4|AT |•|BT |，则√1+t 2•4√t 2−m 2+4t 2+4=4•√t 2+1⋅|y 1|•√t 2+1⋅|y 2|=4（t 2+1）•|y 1y 2|＝4（t 2+1）•4−m 2t 2+4， 整理得，t 2（3﹣m 2）＝0，即t 2（3﹣m 2）＝0对任意的t 恒成立， 所以m 2＝3，即m ＝±√3，综上所述，存在定值m ，使得|AB |＝4|AT |•|BT |恒成立，此时m ＝±√3．。
广东省广州市市天河中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析
广东省广州市市天河中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分层抽样适合的总体是( )A．总体容量较多B．样本容量较多C．总体中个体有差异D．任何总体参考答案：C【考点】分层抽样方法．【专题】方案型；试验法；概率与统计．【分析】根据分层抽样的适用范围，可得答案．【解答】解：分层抽样适合的总体是总体中个体存在差异的情况，故选：C【点评】本题考查的知识点是抽样方法的适用范围，熟练掌握三种抽样方法的适用范围，是解答的关键．2. 若数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}的前n项和为()A. B. C. D.参考答案：C∵a n=2n+2n-1，设，易知{}为等比数列，{}为等差数列，且.则数列{a n}的前n项和：，故选C.3. 在中，角A、B、C的对应边分别为、、，若满足，的恰有两解，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：C略4. 已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=( )A．B．7 C．6 D．参考答案：A【考点】等比数列．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10．【解答】解：a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5. 已知复数若为实数，则实数m的值为（）A. B. C. D.参考答案：D略6. ,则的值为A.2B.0C.D.参考答案：C7. 已知为虚数单位，则＝（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 设，则（）A. B. C. 1 D. －1参考答案：B【分析】对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.【详解】因为，所以.故答案为:B.9. 不等式的解集是（）A． B． C． D．参考答案：D略10. 下列程序执行后输出的结果是（）A．–1 B． 0 C． 1 D． 2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知F为双曲线的左焦点，过点F作直线与圆相切于点A，且与双曲线的右支相交于点B，若，则双曲线的渐近线方程为__________．参考答案：【分析】利用直线与圆相切可求得，根据向量关系和双曲线的定义可求得；在中，利用余弦定理可构造方程整理出的值，进而得到结果.【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，，，是的中点，由双曲线的定义可知：在中，由余弦定理可得：，整理可得：双曲线的渐近线方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解问题，涉及到双曲线定义、余弦定理的应用，主要考查双曲线的几何性质，属于中档题.12. 右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为_ ▲ .参考答案：-313. 已知关于的不等式至少有一个负数解，则实数的最小值为▲．参考答案：14. 在三角形ABC中，若其三内角度数成等差，其对应三边长成等比，则此三角形为三角形。
2021-2022学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线在y 轴的截距是( )A. B. 2C. 3D.2.已知点，点A 关于x 轴的对称点的坐标为( )A. B. C.D.3.已知点，Q 是圆O ：上的动点，则线段PQ 长的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 64.已知椭圆方程为：，则其离心率为( )A.B.C.D.5.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为( )A. 30B. 40C. 50D. 606.已知抛物线C ：的焦点为F ，直线l 经过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物浅C 的准线于点P ，若，则为( )A. 2B. 3C. 4D. 67.已知圆O ：，直线l ：，直线l 被圆O 截得的弦长最短为( )A.B.C. 8D. 98.数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为( )A. 153B. 190C. 231D. 276二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.过点的直线l 与直线平行，则下列说法正确的是( )A. 直线l的倾斜角为B.直线l的方程为：C. 直线l与直线间的距离为D. 过点P且与直线l垂直的直线为：10.已知曲线与曲线，则下列说法正确的是( )A. 曲线的焦点到其渐近线的距离是3B. 当时，两曲线的焦距相等C. 当时，曲线为椭圆D. 当时，曲线为双曲线11.已知数列，下列说法正确的是( )A. 若数列为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列为单调数列B. 若等差数列的前n项和为，，则当时，最大C. 若点在函数为常数的图象上，则数列为等差数列D. 若点在函数为常数，，且的图象上，则数列为等比数列12.如图所示，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且，则下列结论中正确的有( )A. ，使B. 线段MN存在最小值，最小值为C. 直线MN与平面ABEF所成的角恒为D. ，都存在过MN且与平面BCE平行的平面三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知圆C：关于直线l：对称，则__________.14.如图，在平行六面体中，设，N是BC的中点，则向量__________用表示15.已知是数列的前n项和，且，，则__________；数列的通项公式__________.16.已知，是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点不是顶点，过作角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2022-2023学年广东省广州市天河中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州市天河中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．135︒【答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角. 【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒. 故选：D2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(234)P ,,在平面xOy 内射影的坐标为（ ） A ．(230),, B ．(230)-,, C ．(2,0,4) D ．(034),,【答案】A【分析】根据射影的概念，由点(234)P ,,在平面xOy 内射影的z 轴方向坐标变为0，其它方向坐标不变即可得解.【详解】点(234)P ,,在平面xOy 内的射影， 即向平面xOy 作垂线，垂足为射影，故x 轴和y 轴方向的坐标不变，z 轴方向坐标变为0， 故射影的坐标(230),,. 故选：A3．圆221:140C x y x +-=与圆()()222:3425C x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断两圆位置关系作答.【详解】依题意，圆221:(7)49C x y -+=的圆心1(7,0)C ，半径17r =，圆()()222:3425C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径25r =，则有12||C C 121212||r r C C r r -<<+， 所以圆1C 与圆2C 相交. 故选：B4．椭圆22143x y +=与椭圆()221343x y m m m+=<--的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.【详解】解：椭圆22143x y +=的长轴长为4，短轴长为12=，焦距为2=；椭圆()221343x y m m m+=<--的长轴长为，焦距为2；故两个椭圆的焦距相等. 故选：D.5．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（ ）个奇数 A ．1012 B ．1346 C ．1348 D ．1350【答案】C【分析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得1a 为奇数，2a 为奇数，3a 为偶数，因为21n n n a a a ++=+， 所以4a 为奇数，5a 为奇数，6a 为偶数， …………所以31n a +为奇数，32n a +为奇数，33n a +为偶数， 又2022=3674⨯故该数列的前2022项中共有1348个奇数， 故选：C.6．已知F 是抛物线24x y =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到x 轴的距离为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据抛物线的几何性质求出MN 中点的纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义可得12121126MF NF y y y y +=+++=++=， 即124y y +=，则MN 中点的纵坐标为1222y y +=， 即MN 的中点到x 轴的距离为2， 故选：C .7．已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（ ） A ．2350x y -+= B ．2350x y --= C ．3250x y -+= D ．3250x y --=【答案】A【分析】直线l 方程变为()210x y m x y ++++=，可得定点P ()1,1-.根据l '的方向向量()3,2a =，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】()()2110m x m y m ++++=可变形为()210x y m x y ++++=，解0210x y x y +=⎧⎨++=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即P 点坐标为()1,1-.因为()23,231,3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率为23，又l '过点P ()1,1-，代入点斜式方程可得()2113y x -=+，整理可得2350x y -+=. 故选：A.8．某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，…，n c ，…，其中*n ∈N ，则下列结论不正确的是（ ） （附：51.2 2.4883≈，61.2 2.9860≈，71.2 3.5822≈，101.2 6.1917≈.） A ．2540c =B ．1n c +与n c 的递推公式为1 1.260n n c c +=-C ．按照计划2028年年初存栏数首次突破1000D ．令1012310S c c c c =++++，则108192S ≈（精确到1）【答案】C【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为20%”和“每年年底卖出60头”建立1n c ＋与n c 的关系，用待定系数法构造等比数列，求出n c 通项公式即可求解.【详解】由题意得1500c =，并且1 1.260n n c c +=-，故B 正确； 则211.260 1.250060540c c =-=⨯-=，故A 正确；设()1 1.2n n c x c x +-=-，则1 1.20.2n n c c x +=-，则0.2x ＝60，则x ＝300，∴()1300 1.2300n n c c +-=-，即数列{300n c -}是首项为1300200c -=，公比为1.2的等比数列，则1300200 1.2n n c --=⨯，则1300200 1.2n n c -=+⨯，令1300200 1.21000n n c -=+⨯>，则11.2 3.5n ->，∵61.2 2.9860≈，71.2 3.5832≈，∴n －1≥7，则n ≥8， 故2029年年初存栏数首次突破1000，故C 错误； ()101010123101 1.23001020030001000 1.211 1.2S c c c c -=++++=⨯+⨯=+⨯--≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D 正确. 故选：C.二、多选题9．已知圆()()22:121M x y -+-=，则（ ） A ．圆M 关于直线10x y -+=对称B ．圆M 关于直线10x y ++=对称的圆为()()22321x y +++= C ．直线l 过点()2,0且与圆M 相切，则直线l 的方程为3460x y +-=D ．若点(),P a b 在圆M 的最小值为3【答案】ABD【分析】利用圆心在直线上判断A ；利用圆心关于直线对称判断B ；利用直线2x =也符合题意判断C ；利用圆心到定点的距离减去半径判断D.【详解】圆()()22:121M x y -+-=的半径为1，圆心为(1,2)M ，(1,2)M 在直线10x y -+=上，所以圆M 关于直线10x y -+=对称，A 正确；因为()()22321x y +++=的半径为1，圆心为(3,2)N --，所以MN 的中点坐标为(1,0)E -，(1,0)E -在直线10x y ++=上， 又因为22113MN k +==+，直线:10l x y ++=的斜率为1-，所以MN l ⊥，所以M N ，关于直线l 对称，即两圆半径相等圆心关于直线:10l x y ++=对称，所以两圆关于直线:10l x y ++=对称，B 正确； 因为直线2x =经过()2,0，且其到圆心(1,2)M 的距离等于半径1，所以直线2x =也与圆M 相切，故C 错误；表示(),P a b 到()3,2F -的距离，因4MF =，1413MF -=-=，D 正确.故选：ABD.10．已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（ ） A ．若125x x +=，则7PQ = B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【分析】根据焦点弦公式即可判断A ；求出线段PQ 的中点坐标及圆的半径，从而可判断B ；根据抛物线的定义可得1PM PP PM PF MF +=+≥，即可判断C ；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.【详解】解：由题意127PQ x x p =++=，故A 正确； 拋物线2:4C y x =的准线:1l x =-，122P x Q x =++，则以PQ 为直径的圆的半径1212x x r +=+， 线段PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则线段PQ 的中点到准线的距离为1212x x r ++=， 所以以PQ 为直径的圆与准线l 相切，故B 正确；拋物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，12PM PP PM PF MF +=+≥=， 当且仅当,,M P F 三点共线时，取等号， 所以12PM PP +≥，故C 正确；对于D ，当直线斜率不存在时，直线方程为0x =，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为1y kx =+，联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，消x 得2440ky y -+=，当0k =时，方程得解为1y =， 此时直线与抛物线只有一个交点，当0k ≠时，则16160k ∆=-=，解得1k =，综上所述，过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条，故D 错误. 故选：ABC.11．如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．点F 到直线1AAB ．点E 到直线BD 距离的最小值为1C ．三棱锥1B ACE -的体积是定值13D ．当E 为11A C 的中点时，EF 与1AD 所成的角等于60︒ 【答案】ABD【分析】对于A ，利用中位线定理证得四边形FGAH 是平行四边形，结合线面垂直的性质推得1HF AA ⊥，再利用勾股定理求得HF 即可判断；对于B ，当E 为11A C 的中点时，利用线面垂直的判定定理证得EO 是异面直线11A C 与BD 的公垂线，从而得以判断；对于C ，利用线面平行的判定定理证得11//A C 面1AB C ，从而利用等体积法求得三棱锥1B ACE -的体积，由此判断即可；对于D ，利用线线平行将EF 与1AD 所成的角转化为1A B 与1BC 所成的角，从而在等边11A BC 求得其角为60︒，从而得以判断.【详解】对于A ，记1,BC AA 的中点为,G H ，连结,,FG AG HF ，如图1， 又因为F 为线段1BC 的中点，所以1//FG CC ，112FG CC =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =， 所以1//FG AA ，112FG AA AH ==，故四边形FGAH 是平行四边形， 所以//HF GA ，HF GA =，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ， 又GA ⊂面ABCD ，所以1AA AG ⊥，故1HF AA ⊥， 所以点F 到直线1AA 的距离为HF ，因为在Rt ABG △中，GA ===，则HF GA ==所以点F 到直线1AA ，故A 正确；.对于B ，当E 为11A C 的中点时，连结AC 交BD 于O ，连结11B D ，易得1111B D AC E =，如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ， 又BD ⊂面ABCD ，所以1AA BD ⊥， 在正方形ABCD 中，易得AC BD ⊥， 因为1AA AC A =，1,AA AC ⊂面11AA CC ，所以BD ⊥面11AA CC ，因为EO ⊂面11AA CC ，所以BD EO ⊥，同理：11AC EO ⊥，故EO 是异面直线11A C 与BD 的公垂线， 所以当E 为11A C 的中点时，动点E 到直线BD 距离最小，且为EO ， 此时，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =， 所以四边形11AAC C 是平行四边形，故11//A C AC ，11A C AC =， 又,E O 是11,A C AC 的中点，所以1//A E AO ，1A E AO =， 所以四边形1AA EO 是平行四边形，所以11EO AA ==， 所以动点E 到直线BD 距离的最小值为1，故B 正确；.对于C ，连结11,,AC AB B C ，如图3， 由选项B 可知11//A C AC ，因为11A C ⊄面1AB C ，AC ⊂面1AB C ，所以11//A C 面1AB C ，因为E 为线段11A C 上的动点，所以E 到面1AB C 的距离与1C 到面1AB C 的距离相等， 所以111111B ACE E AB C C AB C A B CC V V V V ----===， 易得AB ⊥面11BB C C ，1111111111222B CC S B C CC =⋅=⨯⨯=， 所以1111111113326A B CC B CC V SAB -=⋅=⨯⨯=，即三棱锥1B ACE -的体积是定值16，故C 错误； .对于D ，当E 为11A C 的中点时，连结1A B ，1AD ，如图4， 因为,E F 为111,AC BC 的中点，所以1//EF A B ， 又与选项B 同理得11//AD BC ，所以1A B 与1BC 所成的角为EF 与1AD 所成的角，即11A BC ∠，易得11112A B BC AC ===，所以11A BC 是正三角形，故1160A BC ∠=︒， 所以EF 与1AD 所成的角为60︒，故D 正确..故选：ABD.12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（ ）A ．12311111n n a a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数 C ．12311112nb b b b ++++< D ．N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N*q ∈，使得m p q b a a =+成立 【答案】BCD【分析】根据给定信息，求出数列{}n a 、{}n b 的通项，再逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】依题意，数列{}n a 中，11a =，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-=，2n ≥，于是得121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，11a =满足上式， 数列{}n b 中，11b =，21324313,5,7,,21n n b b b b b b b b n --=-=-=-=-，2n ≥，于是得2121321()()()135(21)n n n b b b b b b b b n n -=+-+-++-=++++-=，11b =满足上式，因此2(1),2n n n n a b n +==， 对于A ，12112()(1)1n a n n n n ==-++，则1231111122(1)11n na a a a n n ++++=-=++，A 不正确； 对于B ，因为245049(491)122522+==，则491225a =，又2122535=，则351225b =，B 正确； 对于C ，221144112()(2)(21)(21)2121n b n n n n n n ==<=-+--+， 则12311111111112[(1)()()]2(1)2335212121n b b b b n n n ++++<-+-++-=-<-++，C 正确； 对于D ，N*m ∀∈，2m ≥，取,1p m q m ==-，则21(1)(1)22p q m m m m m m m a a a a m b -+-+=+=+==， 所以N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N*q ∈，使得m p q b a a =+成立，D 正确. 故选：BCD【点睛】易错点睛：裂项法求和问题，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、填空题13．已知直线1:2210l x y --=，2:10l x ay ++=.若12//l l ，则实数=a ______. 【答案】1-【分析】根据平行直线的性质进行求解即可. 【详解】因为12//l l ，所以有122121a a ⎧=⎪⎪-⎨⎪≠⎪--⎩，解得1a =-，故答案为：1-14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，G 为11B C 的中点，若该六面体的棱长都为2，1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，则AG =______.17【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，显然,,a b c 不共面，两两夹角为60，因为G 为11B C 的中点，则1111122AG AB BB B G AB AA AD a b c =++=++=++， 而||||||2a b c ===，1||||cos602222a b b c a c a c ⋅=⋅=⋅==⨯⨯=， 所以2222222111||()2222224244AG a b c a b c a b b c a c =++=+++⋅+⋅+⋅=+⨯++++17=1715．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF 是等边三角形，则双曲线的离心率为______.【答案】7【分析】记等边2MNF 的边长为m ，利用双曲线的定义得到4m a ，进而在12NF F △中利用余弦定理求得7c a =，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为2MNF 是等边三角形，不妨记2MF m =，所以2MN NF m ==， 由双曲线的定义得122MF MF a -=，故12MF a m =+， 所以()1122NF MF MN a m m a =-=+-=，又由双曲线的定义得212NF NF a -=，所以22m a a -=，故4m a ，所以12NF a =，24NF m a ==，在12NF F △中，12120F NF ∠=︒，则2221212122cos120F F NF NF NF NF =+-︒，所以222144162242c a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得227c a =，故7c a =，所以双曲线的离心率为7ce a==. 故答案为：7..16．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的内切圆面积的最大值为___________.【答案】4π 【分析】设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在. 设直线AB的方程为x ty =()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+， 则2121212ABF S F F y y =⋅-12=⋅=====≤2=（当且仅当t =.设2ABF △的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==， 则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤，则2ABF △的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π．四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线10x y +-=，且与直线20x y -=相切于点()0,0. (1)求圆C 的方程；(2)直线l 过点()3,3P -且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22215x y -++= (2)3x =或3430x y ++=【分析】（1）分析可知圆心在直线20x y +=上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆C 的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线l 的距离，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）解：过点()0,0且与直线20x y -=垂直的直线的方程为20x y +=， 由题意可知，圆心C 即为直线20x y +=与直线10x y +-=的交点，联立2010x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，故圆C 的半径为r =因此，圆C 的方程为()()22215x y -++=.（2）解：由勾股定理可知，圆心C 到直线l 的距离为1d ==.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，圆心C 到直线l 的距离为1，满足条件； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()33y k x +=-，即330kx y k ---=，由题意可得1d ===，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3334y x +=--，即3430x y ++=. 综上所述，直线l 的方程为3x =或3430x y ++=.18．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈,且13b =求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 23n a n =+； (Ⅱ)n =T13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 【分析】(Ⅰ)利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)根据题意，由累加法求出数列{}n b 的通项公式，再通过裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+又15a =,解得2d =,所以23n a n =+.(Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+ (2n ≥且*n N ∈) 所以()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ ,()()()22132121 (5322)n n n n n n ++=++-+++==+.对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 所以1111111113111...23243522212n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力. 形如()1n n a a f n +-=的数列 {}n a 均可利用累加法求通项公式.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，AB BC ⊥，//AD BC ，2BC =，1BA =，3AD =，3PB =，点E 为棱PA 上一点，且AE AP λ=.(1)若BE //平面PCD ，求实数λ的值；(2)若BE ⊥平面PAD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】(1)13【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，表达出()1E λ-，求出平面PCD 的法向量，从而BE m ⊥，列出方程，求出13λ=；（2）求出平面PAD的法向量，结合第一问得到的()1E λ-，列出方程组，求出14λ=，从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案.【详解】（1）因为PB ⊥底面ABCD ，,BC AB ⊂平面ABCD ， 所以PB ⊥BC ，PB ⊥AB ， 又因为AB BC ⊥， 所以,,AB BC PB 两两垂直，以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为2BC =，1BA =，3AD =，PB AE AP λ=，所以()()(()()0,0,0,1,0,0,,0,2,0,1,3,0B A P C D ，设(),,E a b c ， 故()(1,,a b c λ-=-，解得：1,0,a b c λ=-==，故()1E λ-，()1BE λ=-， 设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则()(()(,,0,2,20,,1,3,30m PC x y z y m PD x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩， 令1z =，解得：y x ==故32m ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 由题意得：BE m ⊥，即()10BE m λ⎛⎫⋅=-⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：13λ=；（2）设平面PAD 的法向量为()111,,x n y z =，则()(()(11111111111,,1,0,330,,1,3,3330n PA x y z x z n PD x y z x y z ⎧⋅=⋅-==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩， 令11z =，则13x =10y =， 故()3,0,1n =，由于BE ⊥平面PAD ，所以//BE n ，设BE tn =，即13003t t t λλ⎧-=⎪=⎨=，解得：14λ=，故334BE ⎛= ⎝⎭， 由（1）得：平面PCD 的法向量为332m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值为θ，故3333,,1,0,224410sin cos ,33931441616m BE m BE m BEθ⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭====⋅++⨯+， 直线BE 和平面PCD 1020．已知正项数列{}n a ，其前n 项和为(),12n n n S a S n N *=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()112n n n b n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数． 【分析】（1）S n 前后两项作差消去，求得a n 的前后两项关系，从而求得an 的通项公式； （2）由（1）求得bn ，对n 分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n 项和. 【详解】解：（1）由已知12n n a S =-，① 所以有1112n n a S ++=-，②②-①，得112n n n a a a ++-=-，即13n n a a +=，∴113n n a a +=， 所以数列{}n a 是公比为13的等比数列．又1111212a S a =-=-，∴113a =．所以1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得()()()()1121312n n n nn n b n n a ⎛⎫=-+=-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，()()2343333321234nn T n =-+-+-⋯-+-+-+-⋯-()()()3131121122132222nn n n n -----++--⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113373144n n n n ++----=--=-当n 为偶数时，()()2343333321234nn T n =-+-+-⋯++-+-+-⋯+()()()()31311222132222nn n n n ---⎛⎫-+-++⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113343344n n n n ++-++-=+=综上所述，1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数 【点睛】方法点睛：（1）通过an +1=Sn +1-Sn 得到an 前后两项的关系，从而求得通项公式； （2）对于含有(-1)n 的问题可以讨论n 的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n 项和.21．如图，三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.(1)求证：平面BAE ⊥平面1A BD ；(2)求平面1DBA 和平面1BAA 夹角的余弦值；(3)在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD 25？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析； 15 (3)存在，M 与点1B 重合时，满足题意.【分析】(1)由题意可证明BD AE ⊥和1A D AE ⊥，即可证明平面BAE ⊥平面1A BD ； (2)先找出二面角，再转化到三角形中解三角形即可； (3)存在点M ，运用等体积法验证即可说明.【详解】（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA ⊥BD ，又ABD △为边长为2的正三角形，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥， 1AA AC A =所以BD ⊥平面11AAC C ，AE ⊂平面11AAC C ，所以BD AE ⊥①, 又1()AA D CAE SAS ≅， 所以1AA D CAE ∠=∠， 所以1A AE AEC ∠=∠，所以1190A AE AA D ∠+∠=︒，所以190AOA ∠=︒(O 为AE 与1A D 的交点)， 所以1AE A D ⊥②， 又因为1BDA D D =③,由①②③可得⊥AE 平面1A BD ， 又因为AE ⊂平面BAE ， 所以平面BAE ⊥平面1A BD ；（2）解：设1AE A D O ⋂=,过A 作1AF A B ⊥于F ，连接OF ,因为⊥AE 平面1A BD ， 1A B ⊂平面1A BD ，所以⊥AE 1A B ， 又因为1AF A B ⊥，AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ,OF ⊂平面AEF ,所以1A B ⊥OF ，所以OFA ∠为平面1DBA 和平面1BAA 夹角， 在1Rt AA B △中，221111222AF A B AA AB ==+在1AA D △中，11,AA AD A D AO ⋅=⋅， 所以25AO =，所以Rt AOF 中，22305OF AF OA =-=, 所以15cos 5OF OFA AF ∠==； （3）当点M 与点1B 重合时，点M 到平面1A BD 的距离为255， 取11A C 中点1D ，连接111,B D DD ,则1B B ∥1DD ，所以11,,B B D D ,四点共面，又1DD ⊥平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，所以1DD ⊥11A C ，又11B D ⊥11A C ，1111B D DD D =,所以11A C ⊥平面11BDD B ，设点1B 到平面1A BD 的距离为h ，又1111B A BD A B BD V V --=,即11111133A BD B BD h S A D S ⋅=⋅,即111111()1()3232h A D BD BD BB ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅, 3523h =解得25h =故在线段1B B 存在点M （端点1B 处），使点M 到平面1A BD 25.22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，动点M 满足212MF MF -=．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若动点M 在双曲线C 上，设双曲线C 的左支上有两个不同的点P ，Q ，点()4,0N ，且ONP ONQ ∠=∠，直线NQ 与双曲线C 交于另一点B ．证明：动直线PB 经过定点．【答案】(1)()22119y x x -=≤- (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义求得,a b 的值得双曲线方程；（2）确定PQ 垂直于x 轴，设直线BP 的方程为x my n =+，设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,Q x y -，直线方程代入双曲线方程，由相交求得m 范围，由韦达定理1212,y y y y +，利用N 、B 、Q 三点共线，且NQ 斜率存在，由斜率相等得出12,y y 的关系，代入韦达定理的结论可求得n 的值，从而得直线BP 所过定点．【详解】（1）因为21122MF MF F F -=<=所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的左支，则22a =，可得1a =，3b ==，所以，点M 的轨迹方程为()22119y x x -=≤-； （2）证明：∵ONP ONQ ∠=∠，∴直线PQ 垂直于x 轴，易知，直线BP 的斜率存在且不为0，设直线BP 的方程为x my n =+，设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,Q x y -，联立22990x my n x y =+⎧⎨--=⎩，化简得：()2229118990m y mny n -++-=， 直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足13m >或13m <-，∴1221891mn y y m -+=-，21229991n y y m -=-， 又()()22222221836911910m n m n m n =---=+->△，又N 、B 、Q 三点共线，且NQ 斜率存在， ∴NQ NB k k =，即121244y y x x -=--，∴()()122144y my n y my n -+-=+-，∴()()1212240my y n y y +-+=，∴()22299182409191n mn m n m m --⋅+-⋅=--， 化简得：()()()21814180m n n mn -+--=，∴()2140n n n ---=， ∴410n -=，即14n =，满足判别式大于0，即直线BP 方程为14x my =+，所以直线BP 过定点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
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2018-2019学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设命题p ：x R ∀∈，210x +>，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∀∈，2010x +> B ．0x R ∃∈，2010x +≤ C ．0x R ∃∈，2010x +<D ．0x R ∀∈，2010x +≤【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题,所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤,故选B.【考点】命题否定 全称命题 特称命题2．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高二抽取的人数 是（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】 抽取人数为：6805017600680720⨯=++.故选：B . 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.3．双曲线22134y x -=的渐近线方程是（ ）A ．y x =B ．y x =C ．34y x =?D ．43y x =±【答案】A【解析】直接根据渐近线公式得到答案. 【详解】曲线22134y x -=的渐近线方程是：2y x =±.故选：A . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，属于简单题. 4．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题 【答案】C【解析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确； 若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误； 若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.5．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-v v，且ka b +v v 与2a b -v v 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15C ．35D ．75【答案】D【解析】由ka b +r r 与2a b -r r互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-r r r r ,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r求解即可.【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-r rr r ,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒=. 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 6．已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和B ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和C ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和D ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和 【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次 由S 中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和， 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较大的锐角3πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．31 B ．32C ．434D ．34【答案】A【解析】计算阴影图形边长为232-，面积为1683-. 【详解】易知阴影部分图形为正方形，其边长为：4sin4cos23233ππ-=，故阴影部分面积为()22321683=-168331162p -==-. 故选：A . 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力.8．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB 5aC ．aD 3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++±，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=o，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=o ．【考点】异面直线上两点间距离,空间想象能力．9．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是( )A ．130B ．140C ．133D ．137【答案】C【解析】由题意可知：90﹣100分的频率为0.005×10=0.05，频数为5人 则100﹣110分的频率为0.018×10=0.18，频数为18人 110﹣120分的频率为0.03×10=0.3，频数为30人 120﹣130分的频率为0.022×10=0.22，频数为22人 130﹣140分的频率为0.015×10=0.15，频数为15人 140﹣150分的频率为0.010×10=0.05，频数为10人而优秀的人数为20人，140﹣150分有10人，130﹣140分有15人，取后10人 ∴分数不低于133即为优秀， 故选C ．点睛：由频率分布直方图分析可得每一个分数段上的频率，再由频率与频数的关系，以及获得优秀的频数可得a 的值．本题要看清纵坐标表示频率比上组距，组距为10，计算频率时需要让纵坐标乘以10,不然很容易做错，属于基础题．10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点1F 、2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，14PF =，1C 的离心率是67，则2C 的离心率是（ ） A ．67B ．76C ．65D ．3【答案】C【解析】根据题意得到12224242PF a a c =-=+=，得到12a c =+，22a c =-，167c a =计算得到答案. 【详解】不妨设椭圆1C ：2222111x y a b +=，双曲线2C ：2222221x y a b -=，则14PF =，故12224242PFa a c =-=+=，故12a c =+，22a c =-.1C 的离心率是67，即167c a =，故1212,14,10c a a ===，故22126105c e a ===. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.11．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112x m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-.故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过原点O 作直线与双曲线交于A 、B 两点，点M 为双曲线上异于A 、B 的动点，且直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，若双曲12k k ⋅=（ ） AB ．3C．D ．2【答案】D【解析】化简得到222212x y a a-=，设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，得到()22222y n x m -=-，计算斜率化简得到答案.【详解】双曲线的离心率为3，即3c a =，故2b a =，即222212x y a a-=. 设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，故222212x y a a -=，222212m n a a -=，两式相减得到：()22222y n x m -=-，故2212222y n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅==-+-. 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．将一个质量均匀的骰子先后投掷2次，观察向上的点数，则两数之和是5的概率是______. 【答案】19【解析】共有36种情况，满足条件的有四种情况，得到概率. 【详解】一共有6636⨯=种情况，满足条件的有()()()()1,4,2,3,3,2,4,1四种情况，故41369p ==. 故答案为：19.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x =______.【答案】3【解析】根据中位数相等得到5y =，再根据平均值相等得到答案.【详解】甲组的中位数为65，乙组的中位数也是65，故5y =. 乙组的平均值为：5961656778665++++=，故5662657074665x +++++=，故3x =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了中位数和平均数，意在考查学生的计算能力.15．已知动圆M 与直线2y =相切，且与定圆()22:31C x y ++=外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______. 【答案】212x y =-【解析】M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，得到答案. 【详解】设动圆半径为r ，则M 到直线2y =的距离为r ，1MC r =+，故M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，即212x y =-.故答案为：212x y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，意在考查学生对于抛物线定义的理解.16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是线段1CC 、BD 上的点，R 是直线AD 上的点，且12CP C P =，//PQ 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的长为______.【答案】143【解析】如图所示，过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC ，证明2DQ QB =，RQ QC ⊥，再利用勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC .1//PM BC ，1BC ⊂平面11ABC D ，故//PM 平面11ABC D ，//PQ 平面11ABC D ， PM PQ P =I ，故平面//PQM 平面11ABC D ，故//QM AB ，故2DQ QB =.1CC ⊥平面ABCD ，RQ ⊂平面ABCD ，故1CC RQ ⊥，PQ RQ ⊥，PQ RQ Q =I .故RQ ⊥平面PQC ，QC ⊂平面PQC ，故RQ QC ⊥.故22551099CR RQ QC =+=+=，2210414993PR RC CP =+=+=. 故答案为：143.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．已知抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4.（1）求该抛物线的标准方程.（2）过点()1,1M 的直线交该抛物线于,A B 两点，如果点M 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.【答案】（1）28y x =；（2）43y x =-.【解析】（1）根据抛物线定义得到4p =，得到答案.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，故4k =，得到答案. 【详解】（1）抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4，故4p =，故28y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，故2118y x =，2228y x =，两式相减得到：()()()1212128y y y y x x +-=-，即1284k y y ==+，故直线方程为：()41143y x x =-+=-. 【点睛】本题考查了抛物线方程，点差法求直线，意在考查学生的综合应用能力.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且SD AD =，E 是SA 的中点.（1）求证：//SC 平面BED ；（2）求直线SA 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，证明//OE AC 得到答案. （2）以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，计算平面BED 的法向量为()1,1,1n =-r，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，易知O 为AC 中点，E 是SA 的中点，故//OE AC ，OE ⊂平面BED ， 故//SC 平面BED .（2）如图所示，以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 设1AD =，故()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,0,1S ，()1,1,0B ，11,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面BED 的法向量为(),,n a b c =r ，故00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即011022a b a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. 取1x =-，则()1,1,1n =-r ，()1,0,1AS =-u u u r.故6cos ,32n AS n AS n AS⋅===⋅⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，故直线SA 与平面BED 所成角的正弦值为6.【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这个x 个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+ (2)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位:百万元)与x ，y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:ˆˆy bxa =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-) 【答案】(1)0.850.6y x =+;(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大【解析】（1）由表中数据先求得,x y .再结合公式分别求得ˆˆ,ba ,即可得y 关于x 的线性回归方程.（2）将（1）中所得结果代入20.05 1.4z y x =--中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值. 【详解】（1）由表中数据和参考数据得:2345645x ++++==, 2.534 4.5645y ++++==,因而可得()52110ii x x =-=∑,()()518.5i i i x x y y =--=∑,再代入公式计算可知()()()1218.5ˆ0.8510niii nii x x yy bx x ==--===-∑∑, ∴ˆˆ440.850.6ay bx =-=-⨯=, ∴0.850.6y x =+.（2）由题意,可知总收入的预报值ˆz 与x 之间的关系为:2ˆ0.050.850.8z x x =-+-, 设该区每个分店的平均利润为t ,则zt x=, 故t 的预报值ˆt与x 之间的关系为0.880ˆ0.050.850.0150.85t x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭,当且仅当805x x=时取等号,即4x =或4x =-（舍） 则当4x =时,ˆt取到最大值, 故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点M 是棱AC 上不同于A 、C 的点，2AB BC ==，90ABC ∠=o ，1160BB C ∠=o .（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若二面角1A BC M --为30o ，求AM 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）42AM =【解析】（1）证明1AB B C ⊥，11B C BC ⊥得到答案.（2）以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，平面1ABC 的法向量为()10,3,1n =-u r ，平面1MBC 的法向量为2623,1222n m ⎛⎫ ⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭u u r ，计算夹角得到答案. 【详解】（1）90ABC ∠=o ，平面11BCC B ⊥平面ABC ，故AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故1AB B C ⊥.四边形11BCC B 为菱形，故11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，故1B C ⊥平面1ABC .（2）设D 为11B C 中点，易知DB BC ⊥，故DB ⊥平面ABC . 以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，故()2,0,0A ，()0,0,0B ，()10,1,3C ，222,,022M m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1ABC 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，故11100n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v ，即111030x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取11z =，故()10,3,1n =-u r.设平面1MBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，故22100n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v ， 即222222202230m x my y z ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，取11z =，故262,3,122m n m ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎭u u r . 故12243cos ,22n n n ==⨯u r u u ru u r ，故2433n =u u r ，解得425m =，即425AM =.【点睛】本题考查了线面垂直，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21．设椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的一个焦点为()2,0-，且椭圆E 过点(2M ，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的最大值，若不存在说明理由. 【答案】（1）22184x y +=；（2）存在2283x y +=，max AB =【解析】（1）根据2c =，且22421a b +=，解得答案. （2）设切线方程为y kx m =+，根据垂直得到223880m k --=，故222813m r k ==+，得到2283x y +=，AB =0k =和0k ≠和斜率不存在三种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）根据题意：2c =，且22421a b+=，解得228,4a b ==，故标准方程为：22184x y +=. （2）假设存在圆222x y r +=满足，当斜率存在时，设切线方程为y kx m =+.22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，故()222124280k x knx m +++-=. ()()()22222216412288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>.12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()()222222212121212222841212k m k m y y kx m kx m k x x kn x x m m k k -=++=+++=-+++222812m k k-=+. OA OB ⊥u u u r u u u r ，即12120x x y y +=，故2222228801212m m k k k--+=++，即223880m k --=. r =222813m r k ==+，故2283x y +=.当直线AB斜率不存在时，根据对称性不妨取A ⎝⎭，B ⎝⎭， 满足OA OB ⊥u u u r u u u r .综上所述：存在2283x y +=使题目条件成立.||AB =====当0k =时，AB =； 当0k ≠时，AB ==≤2214k k =，即2k =±时等号成立； 当斜率不存在时，易知3AB=； 综上所述：AB 的最大值为【点睛】本题考查了椭圆方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）圆C ：π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2 【解析】（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可；（2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长. 【详解】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=.（2）当3π4θ=时，3ππ||44OP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 则点P的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，||OQ ==Q的极坐标为3π24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故线段PQ的长为22=. 【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.。