点到平面的距离课件
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3．8
点到平面的距离
学习目标
课前自主学案 3.8 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.掌握点到平面的距离的概念，并会求点到平面 的距离． 2 ．能利用直线的方向向量和平面的法向量求空 间中的各种距离． 3．体会向量方法在研究立体几何中的作用．
课前wenku.baidu.com主学案
温故夯基
1．若点 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， 则 dAB＝ x2－ x12＋ y2－ y12＋ z2－ z1 2. 2．点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 的距 离为 d＝ |Ax0＋ By0＋ C| A ＋B
【思路点拨】 解． 建系后按求点线距离的步骤求
例1 在长方体ABCD-A B C D 中，AA ＝AB＝2 1 1 1 1 1
【解】 以 D 为坐标原点， DA、 DC、 DD1 所在直线 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)， → → F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有 G F ＝ (1，－ 1，－ 1)，GD1＝ (0， － 2,1)， → → GF· GD1 2－1 1 → 所以 ＝ ＝ ， |GD1|＝ 5， → 3 3 | GF| 所以点 D1 到直线 GF 的距离 → → GF 2 → 2 1 42 d＝ |GD1| －GD1· 5－ ＝ . → ＝ 3 3 | GF|
→
→ →
2 2 2 → (2)∵OP＝ (0， ，－ 2)，OD＝ (－ ， ， 2 2 2 － 2)， ∴设平面 OCD 的法向量 n＝ (x， y， z)，则
2 2
知新益能
1．点到平面的距离 垂线 PD 交平面 α 从空间中一点 P 到平面 α 作 ______ 长度d 称为点 P 到平面 α 的距 于 D，则线段 PD 的______ 离．
2．点到平面距离的向量求法 已知平面 α 的法向量 n 以及平面上任一点 A. → 从 A 出发作AN ＝ n，从点 P 作 AN 的垂线与 AN 相 → → | AP | 交于 P1，则 _______ 就是 AP在法向量 AN 上的投影 1 长，且点 P 到平面 α 的距离 → AP · n d＝ |AP1|＝ ||AP|cos∠ PAN|＝ | |. |n|
(1)在直线 l 上取一点 A， 同时确定直线 l 的方向 n 向量 n，并求 n0＝ . |n| → (2)计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量 |AP|. → → (3)计算AP在 n0 上的投影AP· n0. →2 → 2 (4)由公式 d＝ |AP| － |AP· n0| 求距离．
，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点 D1到直线GF的距离．
例2 如图， 在四棱锥 O－ABCD 中， 底面 ABCD 是
π 边长为 1 的菱形，∠ ABC＝ .OA⊥底面 ABCD， 4 OA＝ 2，M 为 OA 的中点．求： (1)异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小； (2)点 B 到平面 OCD 的距离．
【思路点拨】 标运算求解． 【解】
建立空间直角坐标系，利用坐
作AP⊥CD于点P.如图，分别
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间 2 2 直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， ，0)，D(－ ， 2 2 2 ， 0)， O(0,0,2)， M(0,0,1)． 2 (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ， ∵ A B ＝ (1,0,0)， → 2 2 M D ＝ (－ ， ，－ 1)， 2 2 1 π ∴ cos θ＝ ＝ ，∴ θ＝ . → → 2 3 | AB|· |MD| π ∴异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小为 . 3 |AB· MD |
因此要求一个点到平面的距离，可分以下几步完成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向 量． (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以 n 法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于 ＝ n0 可以 | n| 视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平 面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝 → 对值，即 d＝ |AB· n0|.
考点突破
点到直线的距离
点到直线距离的求法： 如图，PB⊥ l，垂足为 B，则 PB 的长度即为 P 到 l 的距 离， 在空间不好确定垂足 B 的情况下， 可在 l 上另取一点 A， → → → → → AB 则 AB 为AP在AB上的投影， 故|AB|＝|PA· |， 在 Rt△ PAB → | AB| → →2 →2 中 有 | PB | ＝ |PA| －|AB| ， 即 P 到 l 的 距 离 d ＝ → → AB 2 → 2 PA· |PA | －| | .因此求点 P 到直线 l 的距离可分以下几 → | AB| 步完成：
【名师点评】 (1)在直线上选取点时，可视情况 灵活选择，原则是便于计算． s (2)s 是直线的方向向量，则 s0＝ 是直线的单 |s| 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
点到平面的距离
点到平面的距离的求法：
如图， BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距 离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△ BOA 中， → → |AB|| BO|cos∠ ABO → → |BO|＝ |AB|· cos∠ABO＝ . → |BO| 如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向， 可 → n| → |AB· 以得到 B 点到平面 α 的距离为|BO|＝ . | n|
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？ 提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平行 时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一个 平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造线 面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到平 面的距离．
课堂互动讲练
点到平面的距离
学习目标
课前自主学案 3.8 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.掌握点到平面的距离的概念，并会求点到平面 的距离． 2 ．能利用直线的方向向量和平面的法向量求空 间中的各种距离． 3．体会向量方法在研究立体几何中的作用．
课前wenku.baidu.com主学案
温故夯基
1．若点 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， 则 dAB＝ x2－ x12＋ y2－ y12＋ z2－ z1 2. 2．点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 的距 离为 d＝ |Ax0＋ By0＋ C| A ＋B
【思路点拨】 解． 建系后按求点线距离的步骤求
例1 在长方体ABCD-A B C D 中，AA ＝AB＝2 1 1 1 1 1
【解】 以 D 为坐标原点， DA、 DC、 DD1 所在直线 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)， → → F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有 G F ＝ (1，－ 1，－ 1)，GD1＝ (0， － 2,1)， → → GF· GD1 2－1 1 → 所以 ＝ ＝ ， |GD1|＝ 5， → 3 3 | GF| 所以点 D1 到直线 GF 的距离 → → GF 2 → 2 1 42 d＝ |GD1| －GD1· 5－ ＝ . → ＝ 3 3 | GF|
→
→ →
2 2 2 → (2)∵OP＝ (0， ，－ 2)，OD＝ (－ ， ， 2 2 2 － 2)， ∴设平面 OCD 的法向量 n＝ (x， y， z)，则
2 2
知新益能
1．点到平面的距离 垂线 PD 交平面 α 从空间中一点 P 到平面 α 作 ______ 长度d 称为点 P 到平面 α 的距 于 D，则线段 PD 的______ 离．
2．点到平面距离的向量求法 已知平面 α 的法向量 n 以及平面上任一点 A. → 从 A 出发作AN ＝ n，从点 P 作 AN 的垂线与 AN 相 → → | AP | 交于 P1，则 _______ 就是 AP在法向量 AN 上的投影 1 长，且点 P 到平面 α 的距离 → AP · n d＝ |AP1|＝ ||AP|cos∠ PAN|＝ | |. |n|
(1)在直线 l 上取一点 A， 同时确定直线 l 的方向 n 向量 n，并求 n0＝ . |n| → (2)计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量 |AP|. → → (3)计算AP在 n0 上的投影AP· n0. →2 → 2 (4)由公式 d＝ |AP| － |AP· n0| 求距离．
，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点 D1到直线GF的距离．
例2 如图， 在四棱锥 O－ABCD 中， 底面 ABCD 是
π 边长为 1 的菱形，∠ ABC＝ .OA⊥底面 ABCD， 4 OA＝ 2，M 为 OA 的中点．求： (1)异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小； (2)点 B 到平面 OCD 的距离．
【思路点拨】 标运算求解． 【解】
建立空间直角坐标系，利用坐
作AP⊥CD于点P.如图，分别
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间 2 2 直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， ，0)，D(－ ， 2 2 2 ， 0)， O(0,0,2)， M(0,0,1)． 2 (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ， ∵ A B ＝ (1,0,0)， → 2 2 M D ＝ (－ ， ，－ 1)， 2 2 1 π ∴ cos θ＝ ＝ ，∴ θ＝ . → → 2 3 | AB|· |MD| π ∴异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小为 . 3 |AB· MD |
因此要求一个点到平面的距离，可分以下几步完成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向 量． (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以 n 法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于 ＝ n0 可以 | n| 视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平 面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝 → 对值，即 d＝ |AB· n0|.
考点突破
点到直线的距离
点到直线距离的求法： 如图，PB⊥ l，垂足为 B，则 PB 的长度即为 P 到 l 的距 离， 在空间不好确定垂足 B 的情况下， 可在 l 上另取一点 A， → → → → → AB 则 AB 为AP在AB上的投影， 故|AB|＝|PA· |， 在 Rt△ PAB → | AB| → →2 →2 中 有 | PB | ＝ |PA| －|AB| ， 即 P 到 l 的 距 离 d ＝ → → AB 2 → 2 PA· |PA | －| | .因此求点 P 到直线 l 的距离可分以下几 → | AB| 步完成：
【名师点评】 (1)在直线上选取点时，可视情况 灵活选择，原则是便于计算． s (2)s 是直线的方向向量，则 s0＝ 是直线的单 |s| 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
点到平面的距离
点到平面的距离的求法：
如图， BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距 离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△ BOA 中， → → |AB|| BO|cos∠ ABO → → |BO|＝ |AB|· cos∠ABO＝ . → |BO| 如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向， 可 → n| → |AB· 以得到 B 点到平面 α 的距离为|BO|＝ . | n|
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？ 提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平行 时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一个 平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造线 面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到平 面的距离．
课堂互动讲练