同济大学第三版上册高数微积分预备知识

偶函数, 不是单调函数, 周期函数(无最小正周期)
o
x
五、复合函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x 2 ,
定义:
y 1 x2
设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数
u ( x ) 的值域为Z , 若 D f Z , 则称
函数 y f [( x )]为x 的复合函数.
预备知识
一、集合 二、函数
一、集合
1.集合(set)
具有某种特定性质的事物的全体叫做集合,
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 事物 a 是集合 A 的元素，记作 aA ; 事物 a 不是集合 A 的元素，记作 aA .
集合具有特性：1.确定性；
2.互异性；
3.无序性；
2. 集合的表示法： 1) 列举法：集合 A 由元素 a1 , a2 , ... , an 构成， 记 A={ a1 , a 2 , ... , an } 2)描述法：集合 A 由具有性质 P 的元素 x 构成， 记 A={ x | x 具有性质 P }.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
四、反函数
1.反函数： (inverse function) 设 y f ( x ) 的定义域为 D , 值域为 W , 对 y W
总有确定的 x D 使得 f ( x ) y , 把 y 看作自变量 , 则 x 是 y 的函数 , 称之为 y f ( x ) 的反函数 , 记为 x ( y) .
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性:
设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 区间 I D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2 , 当 x1 x2 时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调增加的 ;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x0
x
D
D
y
反函数y ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称.
求反函数的方法： Step1 从方程 y = f(x) 中解出 x 得 x = (y)， Step2 再把 x，y 记号对换得 y = (x)，
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
[a,) { x a x且x R} (, b) { x x b且x R} (,) { x x R}
以上三个区间称为无限区间 注意： , 是记号，不是数.
7.邻域: (neighborhood)
设 a 与 是两个实数 , 且 0 ,
x
8.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量 , 用字母 x, y, t 等表示变量 .
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
解
例1
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
综上所述
1 x 0;
x 2;
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 x 2 1, x 2
由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A 与B的交集，记为 A B . 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称 为A与B的差集，记为 A \ B .
6.区间: (interval) 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且区间, 记作 (a, b)
Step3 反函数的定义域就是直接函数的值域 .
反函数的存在性：
设 y= f(x) 在区间 I 内单调，则其反函数 y= (x)
在对应区间内存在且单调。
1 x Q , 例2 设 D( x ) 0 x Q 7 求D( ), D(1 2 ).并讨论D( D( x ))的性质. 5 7 解 D( ) 1, D(1 2) 0, D( D( x )) 1, 5 y 单值函数, 有界函数, 1
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义:点集 C {( x , y ) y f ( x ), x D} 称为
函数 y f ( x ) 的图形(或图像) ( graph) .
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
故 D f : [3,1]
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若 X D , M 0 , x X , 有 f ( x ) M 成立 ,
则称函数 f ( x ) 在 X 上有界 . 否则称无界 .
y
M y=f(x) o -M M
y
x
有界 X
x0
o -M X 无界
x
2．函数的单调性:
x u cot v , v . 2
e x , 例1 设 f ( x ) x, 求 f [( x )].
x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1,
x0 , x0
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a , b)
o
a
b
x
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a , b]
o
a
b
x
以上四个区间称为有限区间. 区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
数集 { x x a } 称为点 a 的 邻域 , 记作 U (a, ).
点 a 叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U (a, ) { x a x a } (a , a ).

a

a
a 。 点 a 的去心的 邻域 , 记作 U (a , ). 。 U (a, ) { x 0 x a }. 。 即 U (a , ) (a , x0 ) ( x0 , a ).
{ x x R, x 2 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
5. 集合的交与并：
由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称 为A与B的并集，记为 A B .
9.绝对值:
( a 0)
a a ; b b
绝对值不等式:
a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
二、函数概念
定义：设 D为非空的点集,f 为D上的对应法则,使 对每个 x D , 都有唯一确定的实数 y 与之对应, 则 称 f 是 D 上的一个函数, y 称为函数 f 在点 x 的函 数值,记为 y = f (x) . 这里 x 叫做自变量, y 叫做因 变量.数集D叫做这个函数的定义域
当 x0 D 时 , 称 f ( x0 ) 为函数在点 x0 处的函数值 .
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的单值性:一个自变量的值只对应一个函数值.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
自变量
f ( x0 )
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
y
y f ( x)
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
(5) 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
f ( x)
-x o
f ( x )
x
x
奇函数
4．函数的周期性:
设 f (x)的定义域为 D ,若 l > 0 , 使对 xD 有 ( x l ) D 且有 f ( x+l )=f (x) 恒成立, 则称 f (x) 为周期函数 , l 称为 f (x) 的周期. (通常说周期函数的周期是指其最小正周期)
当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
x 1;
0 x 2;
20
当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
习惯上用 x 表示自变量 , y 表示因变量 , 因此 y f ( x ) 的反函数记为 y ( x ) , 而 y f ( x ) 称为直接函数 .
反函数的图形与直接函数的图形关于 y x 对称.
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 ) 例如 y arcsinu, 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
x 例如 y cot , y u , 2
3. 子集：
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集.
记作 A B.
若A B, 且B A, 则称A与B相等，记为A B.
例如
A {1,2},
C { x x 3 x 2 0},
2
则 A C.
4. 空集： 不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
(
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意 义的一切实数值.（若函数有实际意义，定义 域由实际问题确定.）
例如， y 1 x 2
D : [1,1] D : ( 1,1)
例如， y
1 1 x2
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．