【工程力学 课后习题及答案全解】第10章应力状态分析习题解

vε
=
1 2E
[σ
2 x
+
σ
2 y
+
σ
2 z
− 2ν (σ xσ y
+ σ yσ z
+ σ zσ x )] +
1 2G
(τ
2 xy
+
τ
2 yz
+
τ
2 zx
)
分别计算图 a 和 b 两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：
G= E 2(1+ν )
解： σ 1 =| τ 0 | ， σ3 = − |τ0 | ， σ 2 = 0
⎟⎟⎠⎞
（1）－（2）得， 2σ y
=
E⎜⎜⎝⎛
2vε x 1− v2
+ 2ε y 1− v2
⎟⎟⎠⎞
σx
= E ε x + vε y 1− v2
，σ y
= E ε y + vε x 1− v2
εz
=
−
ν E
(σ
x
+σ
y)
=
−
ν E
⋅E 1−ν
(ε x
+εy)
=
−ν 1−ν
(ε x
+εy)
10－8 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa，ν = 0.30。 试求当内压 p = 10MPa 时，液压缸内径的改变量。
成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
x x'
20D σ x σ x'
x'
x
20 σ x
τ x'y'
τ x' y'
σy σy
习题 10-15 图
σx
(a)
(b)
1．只承受轴向载荷 FP = 250 kN；
2．只承受内压 p = 5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷 FP = 250kN 和内压 p = 5.0MPa（两端封闭）
140
90
150
300
(a)
(b)
(a-1)
习题 10-4 图
解：图（a）：
⎧σ ⎪⎨σ
1 3
=
300
+ 140 2
±
1 2
⎪⎩σ 2 = 90MPa
τ max
=
390 − 2
50
= 170 MPa
(300 −140) 2
+ 4× (−150)2
=
⎧390MPa ⎩⎨50MPa
图（b）：
⎧σ ⎪⎨σ
=
pD 4δ
=
5× (300 − 8) 4×8
= 45.63 MPa
σ
y
=
pD 2δ
=
5× (300 − 8) 2×8
= 91.25 MPa
σ x′
=
45.63 + 91.25 2
+
45.63 − 91.25 2
cos(2× 20°)
= 50.97
MPa
τ
x′y′
=
45.63 − 91.25 2
sin(2 ×
— 49 —
10－11 微元受力如图所示，图中应力单位为 MPa。试根据不为零主应力的数目，它 是：
（A）二向应力状态； （B）单向应力状态； （C）三向应力状态； （D）纯切应力状态。 正确答案是 B 。
解：
σ
1
=
50
+ 2
50
+
( 50 − 50 )2 + 502 = 100 MPa
2
σ
2
=
50
20°)
=
−14.66
MPa
（3）图 a、图 b 叠加： σ x = 45.63 − 34.07 = 11.56 MPa
σ y = 91.25 MPa
σ x′
=
11.56 + 91.25 2
+ 11.56 − 91.25 2
cos(2× 20°)
=
20.88 MPa
τ
x′y′
=
11.56
− 91.25 2
解：（1）图
a： σ x
=
FP πDδ
=
250 ×10 3 π× (300 − 8)
×
8
= 34.07 MPa（压）
— 47 —
σ x′
=
−34.07 2
+
−34.07 2
cos(2× 20°)
=
−30.09
MPa
τ
x′y′
=
−34.07 2
sin(2
×
20°)
=
−10.95
MPa
（2）图
b： σ x
sin 2θ 2
σ0
⎪⎪σ ′y ⎩
=σ0
−σ ′x
= 1− cos 2θ 2
σ0
叠加
⎪⎧σ x ⎪
= σ ′x
+σ 0
=
3 + cos 2θ 2
σ0
⎪⎨τ xy ⎪
= τ x′y′
+0 = −
sin 2θ 2
σ0
⎪⎪⎩σ y
= σ ′y
+ 0 = 1− cos 2θ 2
σ0
σ σ
1 2
⎫ ⎬ ⎭
=
+εy −εy
=
200 200
− +
100 100
⋅
2.42 2.42
×10 ×10
−3 −3
+ −
0.49 0.49
×10−3 ×10−3
= 0.5
解得 υ = 1
3
E
= (1−ν ) (σ x (ε x
+σ y) +εy)
=
(1
−
1 3
)
2.42
200 ×10−3
+ +
100 0.49
×10
−3
由（a）图
vε
=
1 2G
(|τ 0
|) 2
由（b）图
vε
=
1 2E
[(|
τ
0
|)2
+ 02
+ (− | τ0
|)2
− 2ν
|τ0
| ⋅0
+0 ⋅ (− | τ0 |)+ | τ0 | (− | τ0 |)]
=
1+ν E
(| τ0
|)2
两式相等
1 2G
(| τ 0
|) 2
=
1+ν E
(| τ 0
|) 2
|=| τ max
|= σ 1 − σ 3 2
= 100 − 0 2
= 50 MPa
10－3 从构件中取出的微元受力如图所示，其中 AC 为自由表面（无外力作用）。试求
σ x 和 τ xy 。
解： −100 = σ x −100 + 0 − (σ x −100) ⋅ cos(2× 60°)
2
2
0.75σ x = −25
态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。
σy
=
σx
τ xy
习题 10-2 图
σy
=
σx
x
τ xy来自百度文库
σy
=
σx x
τ xy
— 45 —
解：(a)
⎪⎧σ ′x ⎪
=
σ0 2
+σ0 2
cos(−2θ ) − 0 = 1+ cos 2θ 2
σ0
左微元 ⎪⎨τ ′xy
⎪
=
σ0 2
sin(−2θ )
=
−
cos(2× (−15°)) + 0
=
−3.84
MPa
（b）切应力
τ x′y′ = −1.25 cos(2× (−15°)) = −1.08 MPa 正应力
σ x′ = −(−1.25) sin(2× (−15°)) = −0.625 MPa
10－2 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状
15 D
x
1.25MPa -15D σ τ x' y' x'
x'
(b-1)
解：（a）平行于木纹方向切应力
τ x′y′
=
−4 − (−1.6) 2
sin(2× (−15°)) + 0 ⋅ cos(2× (−15°))
=
0.6
MPa
垂直于木纹方向正应力
σ x′
=
−4 + (−1.6) 2
+
−4 − (−1.6) 2
2．在上述所示的 E、v 值条件下，当切应力 τ xy = 80 MPa， σ x = 200 MPa， σ y = 100 MPa
时，求 γ xy 。
解：（1）
ε
x
+ε
y=
1− v E
(σ
x
+σ
y
)
两式相除
ε
x
−ε
y=
1+ v E
(σ
x
−σ
y
)
1−ν 1+ν
= σx σx
−σ y +σ y
⋅εx εx
该点最大切应力： τ max
= σ1
−σ3 2
= 1 + cosθ 2
σ0
(b)
左微元 σ ′x = −(τ 0 ) sin(2× (−30°)) =
3 2
τ0
， σ ′y
= 0 −σ ′x
=−
3 2
τ0
， τ ′xy
=τ0
cos(2× (−30°))
=
τ0 2
右微元 σ ′x′ = −(τ 0 ) sin(2× 30°) =
∴ σ x = −33.3 MPa
τ
yx
=
0 −[−33.3 −100] 2
sin(2× 60°)
= 57.7
MPa
τ xy = −τ yx = −57.7 MPa
— 46 —
σ x − 100 A
60°
10－4
σx
τ xy B
60°
C
习题 10-3 图
τ xx 100MPa
(a)
试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为 MPa。
cos(2× (−45°))⎥⎦⎤
=
90MPa
⎪ ⎪⎪⎩σ xy
=
70
+
⎡ ⎢⎣
50
−
(−30) 2
sin(2× (−45°))⎥⎦⎤
=
30MPa
主应力
σ1 σ3
⎫ ⎬ ⎭
=
90
+ 10 2
±
1 2
[90 − (100)]2 + 4× 302
=
⎧100MPa ⎩⎨0MPa
σ2 =0
面内及该点： | τ m′ ax
10－13 关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系， 有如下论述，试选择哪一种是正确的。
3 + cos 2θ 2
+ 1− cos 2θ 2
2
σ0
±
1 2
( 3 + cos 2θ 2
− 1− cos 2θ 2
)
2
σ
2 0
+ 4(−
sin 2θ 2
σ 0 )2
=
⎧(1 ⎩⎨(1
+ −
cosθ cosθ
)σ )σ
0 0
σ3 =0
面内最大切应力： τ m′ ax
= σ1
−σ2 2
=σ0
cosθ
工程力学（1）习题全解
第 10 章 应力状态分析
10－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹 角。试求：
1．面内平行于木纹方向的切应力； 2．垂直于木纹方向的正应力。
1.6MPa
习题 10-1 图
15D 4MPa -15D x τ σ x' y' x' x'
(a-1)
试证明：
σ
x
=
E
ε x +νε y 1−ν 2
σ
y
=
E
ε y +νε x 1−ν 2
εz
=
−ν 1−ν
(ε x
+ε y )
解： σ x
+σ y
=
E 1−ν
(ε x
+εy)
（1）
— 48 —
σx
−σ
y
=
E 1+ν
(ε x
−ε y )
（2）
（1）＋（2）得， 2σ x
=
E⎜⎜⎝⎛
2ε x 1− v
2
+ 2vε y 1− v2
σ 1 = 3τ 0 ， σ 2 = 0 ， σ 3 = − 3τ 0
面内 | τ m′ ax
|=
σ1 −σ3 2
=
3τ0 ，
该点 | τ max
|= σ 1 − σ 3 2
=
3τ 0
(c)
叠加
⎧ ⎪σ ⎪⎪⎨σ
x y
= =
80
+
⎡ ⎢⎣
50
+
(−30) 2
+
50
−
(−30) 2
0 + [(50 − 30) −10] = 10MPa
= 68.7
ＧPa
2） G = E = 68.7 = 25.77 ＧPa
2(1 + ν ) 2(1 + 1 ) 3
γ xy
= τ xy G
= 80 25.77 ×103
= 3.1×10−3
习题 10-6 图
10－7 对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数 E、ν ，且由实验测得 ε x 和 ε y 。
，
G= E 2(1+ν )
习题 10-9 图
10－10 关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）微元形状可以是任意的； （B）微元形状不是任意的，只能是六面体微元； （C）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行； （D）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。 正确答案是 D 。
+ 2
50
−
( 50 − 50 )2 + 502 = 0 MPa
2
σ 3 = 0 ，为单向应力状态。
习题 10-11 图
10－12 对于图示的应力状态（ σ 1 ＞ σ 2 ＞0），最大切应力作用面有以下四种，试选择 哪一种是正确的。
（A）平行于 σ 2 的面，其法线与 σ 1 夹 45°角； （B）平行于 σ 1 的面，其法线与 σ 2 夹 45°角； （C）垂直于 σ 1 和 σ 2 作用线组成平面的面，其法线与 σ 1 夹 45°角； （D）垂直于 σ 1 和 σ 2 作用线组成平面的面，其法线与 σ 2 夹 30°角。 正确答案是 A 。
1 2
=
200 + 2
40
±
1 2
⎪⎩σ 3 = −90MPa
(200 − 40)2
+ 4 × (−150)2
=
⎧290MPa ⎩⎨− 50MPa
τ max
= σ1
−σ3 2
=
290 − (−90) 2
= 190 MPa
10－5 图示外径为 300mm 的钢管由厚度为 8mm 的钢带沿 20°角的螺旋线卷曲焊接而
3 2
τ 0 ， σ ′y′
=
0 −σ ′x′
=
−
3 2
τ 0 ， τ ′x′y
= (−τ 0 ) cos(2× (30°)) =
−τ0 2
叠加 σ x = σ ′x + σ ′y = 3τ 0 ， σ y = σ ′y + σ ′y′ = − 3τ 0 ， τ xy = τ ′xy +τ ′x′y = 0
sin(2 ×
20°)
=
−25.6
MPa
也可用（1）与（2）结果叠加得到。
10－6 结构中某一点处的应力状态如图所示。试：
1．当 τ xy = 0 ， σ x = 200 MPa， σ y = 100 MPa 时，测得由 σ x 、 σ y 引起的 x、y 方向的正应
变分别为 ε x = 2.42×10−3 ， ε y = 0.49×10−3 。求结构材料的弹性模量 E 和泊松比ν 的数值。
解：缸体上
σ轴 = 0
σ环
=
10 × (50 − 2×2
4)
= 115
MPa
σ 径 = −10 MPa
∆d内
=
1 205 ×103
[115 − 0.3(0
−10)](50
−
2× 2)
=
2.65 ×10 −2
mm
习题 10-8 图
10－9 试求图 a 中所示的纯切应力状态旋转 45°后各面上的应力分量，并将其标于图 b 中。然后，应用一般应力状态应变能密度的表达式：