高中数学：点到平面的距离的求法
高中数学两点之间距离公式
高中数学：两点之间距离公式引言在数学中，我们经常会遇到计算两点之间的距离的情况。
无论是平面上的两点还是空间中的两点，我们都希望能够准确计算出它们之间的距离。
为了解决这个问题，数学家们发展出了一些距离公式，其中最经典的就是两点之间的距离公式。
本文将重点介绍高中数学中常用的两点之间的距离公式。
平面上两点距离公式我们首先来考虑平面上任意两点之间的距离。
设平面上有两点A和B，其坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
根据勾股定理，我们可以得到平面上两点之间的距离公式如下：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式的原理是利用直角三角形的斜边长度公式。
我们将两点之间的水平距离表示为(x₂ - x₁)，将垂直距离表示为(y₂ - y₁)，然后利用平方和开方的方式，计算出两点之间的距离。
空间中两点距离公式在空间中，我们需要考虑三维坐标系中两点之间的距离。
设空间中有两点A和B，其坐标分别为(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)。
根据勾股定理，我们可以得到空间中两点之间的距离公式如下：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)这个公式的原理和平面上两点距离公式相同，只是多了一个维度。
应用举例：高中几何问题两点之间的距离公式在解决高中数学几何问题中经常被应用。
例题1已知平面上有三个点A(-2, 1)、B(3, -4)和C(5, 2)，求三角形ABC的周长。
根据平面上两点之间的距离公式，我们可以计算出三边的长度：AB = √((-2 - 3)² + (1 - (-4))²) = √(25 + 25) = √50 BC = √((3 - 5)² + (-4 - 2)²) =√((-2)² + (-6)²) = √40 CA = √((-2 - 5)² + (1 - 2)²) = √(49 + 1) = √50所以，三角形ABC的周长为√50 + √40 + √50。
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
高中数学线面距离方法汇总
高中数学线面距离方法汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线面距离是一个重要的概念，涉及到线和平面之间的最短距离。
在解决数学问题时，线面距离方法可以帮助我们快速准确地求解各种题目。
今天我们就来总结一下高中数学中常见的线面距离方法。
一、直线和平面的距离1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)在平面上，则点P到平面的距离为：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)其中(a,b,c)为直线上的一点。
3. 平行线面距离如果直线l平行于平面Π，直线和平面之间的距离为两者所含向量的点积模的比值，也就是直线上的一点到平面的距离就是这一点到平面上任意一点的距离。
二、两平面之间的距离如果两个平面Π1和Π2的法向量分别为n1和n2，平面到平面的距离为：d = |d|sinθd是两平面之间的距离，θ是n1和n2的夹角。
如果两个平行的平面Π1: Ax+By+Cz+D1=0和Π2:Ax+By+Cz+D2=0，它们的距离为：三、点到线的距离设线段两端点为A和B，点P到线段的距离为点P到直线AB的距离，如果点P在直线AB的延长线上，则点P到线段的距离等于点P到端点A或B的距离。
设两条线段AB和CD，线段到线段的最短距离取决于它们的垂直距离，并且有可能在端点处取得最小值。
我们可以通过求解两线段组成的四边形的四边长度来求解线段到线段的最短距离。
通过以上总结，我们可以看到，在高中数学中，线面距离方法应用广泛，涉及到点、线、面之间的距离。
在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，通过计算距离来求解各种问题。
希望本文对大家在学习数学时有所帮助。
【字数：583字】第二篇示例：高中数学中，线面距离方法是指计算线段与平面之间的距离的一种数学方法。
在几何学中，线段与平面之间的距离是一种重要的概念，它在实际问题中经常被用到，比如在建筑设计中确定物体之间的距离，或者在物理学中计算物体移动的距离等。
高中数学第三章空间向量与立体几何点到平面的距离若干求解方法素材1
点到平面的距离若干求法1定义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法.定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：（1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
（2）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
（3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线.（4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D''''-棱长为a,求点A'到平面AB D''的距离。
(注：本文所有解法均使用本例）图4解法一（定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ,垂足为H ,下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D ''''∴B D ''⊥AA ' 又在正方形A B C D ''''中,对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E '， A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义,A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
2021届高考数学立体几何专题：点到平面的距离(学生版)
立体几何专题点到平面的距离定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。
作用：（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成的角；（3）求二面角；方法一：直接法，根据题意得到平面α外一点P 在平面α内的射影O ，建立三角形，解出PO 的长度。
【题型一】根据已知条件直接找出点P 在平面α内的射影。
如：①正棱锥的顶点在底面内的射影是底面正多边形的中心；②侧棱长相等的棱锥的顶点在底面内的射影是底面多边形的外心；③三棱锥P ﹣ABC 的三侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的垂心；【典例】在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=AC ，AB ⊥BC ，求PB 与底面ABC 所成角的大小.【题型二】利用平面与平面垂直的性质定理，找出点P 在平面α内的射影。
【典例1】（2011重庆文）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC=AD=2，BC=CD=1.（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角的正切值。
【典例2】（2012年天津文）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=32，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；（II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
ABCPABCPD ABCD【题型三】根据已知条件，证明PO ⊥α.【典例1】（2016全国Ⅱ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=45，OD′=22，求五棱锥D′﹣ABCFE 的体积【典例2】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，AE =A 1E ，AB =3，BE ⊥EC 1．（1）求BC 1与平面EB 1C 1所成角的正弦值；（2）求四棱锥11E BB C C -的体积．方法二：平行线转移法若直线l ∥α，则直线l 上任意一点到平面α的距离相等。
高三数学点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题；是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨；结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题；概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形；Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点；ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面；且ＧＣ＝２；求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离；求其长．解法1．如图1；为了作出点B到平面EFG的距离；延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ；连结ＧＭ；作ＢＮ⊥ＢＣ；交ＧＭ于Ｎ；则有ＢＮ∥ＣＧ；ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ；交ＥＭ于Ｐ；易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ；垂足为Ｑ；则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３；ＢＰ＝；ＰＮ＝；由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ；得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离；间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题；Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点；它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2；二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α；Ａ∈Ｍ；ＡＢ⊥ＣＤ；ＡＢ＝ａ；点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ；则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小；而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3；过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ；交ＦＥ的延长线于Ｐ；易知ＢＰ＝；这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ；连结ＧＨ；易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２；Ａ求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题；是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨；结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题；概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形；Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点；ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面；且ＧＣ＝２；求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离；求其长．解法1．如图1；为了作出点B到平面EFG的距离；延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ；连结ＧＭ；作ＢＮ⊥ＢＣ；交ＧＭ于Ｎ；则有ＢＮ∥ＣＧ；ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ；交ＥＭ于Ｐ；易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ；垂足为Ｑ；则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３；ＢＰ＝；ＰＮ＝；由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ；得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离；间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题；Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点；它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2；二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α；Ａ∈Ｍ；ＡＢ⊥ＣＤ；ＡＢ＝ａ；点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ；则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小；而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3；过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ；交ＦＥ的延长线于Ｐ；易知ＢＰ＝；这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ；连结ＧＨ；易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ＧＣ＝２；ＡＣ＝４；ＡＨ＝；∴ＣＨ＝３；ＧＨ＝；ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/；于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4；ＯＰ为平面α的一条斜线；Ａ∈ＯＰ；ＯＡ＝ｌ；ＯＰ与α所成的角为θ；Ａ到平面α的距离为ｄ；则由斜线和平面所成的角的定义可知；有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交；交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ；这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ；连结ＯＢ得θ．解法3．如图5；设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点；作ＢＲ⊥ＧＭ；Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ；易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ；ＥＲ为它们的交线；所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ；可得ＢＲ＝；在Ｒｔ△ＲＥＢ中；∠Ｂ＝９０°；ＢＲ＝；ＥＢ＝２；所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝；于是由②得所求之距离ｄ＝．图5图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6；设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ；则三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ；可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２；Ｓ△ＥＦＧ＝；所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２；得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7；易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ；所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知；取ＢＤ中点Ｏ；求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ；交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ；作ＯＫ⊥ＨＧ；Ｋ为垂足；ＯＫ＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8；把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面；可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ；ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ；作ＢＰ∥ＭＧ；交ＣＧ于Ｐ；连结ＤＰ；则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置；哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关；所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ；另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ；可求得ＢＮ＝２/３；ＣＰ＝４/３；ＰＢ＝ＰＤ＝；ＢＤ＝；Ｓ△ＰＤＢ＝；Ｓ△ＣＤＢ＝８；所以·ｄ＝８·２３；得ｄ＝为所求之距离．。
高考数学中的点到平面距离及相关题型分析
高考数学中的点到平面距离及相关题型分析高考数学中，经常会涉及到点距离问题。
其中，点到平面的距离是考生经常会遇到的难点之一。
本文将通过对点到平面距离问题的分析，探讨其相关的解题方法和技巧。
一、点到平面距离的定义点到平面距离是指从一个点到平面的垂线段的长度，也可以说是平面上距离这个点最近的点与这个点之间的距离。
在数学中，我们可以通过向量的知识来求解点到平面距离，具体来说，就是利用点和平面的法向量进行计算。
这个距离的计算公式可以用以下方式表示：$$d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}$$其中，$d$表示点到平面的距离，$\vec{AP}$表示从点$A$到平面$P$的向量，$\vec{n}$表示平面$P$的法向量。
二、点到平面距离的求解方法在具体的题目中，我们通常需要对点到平面距离进行求解。
以下是几种常见的求解方法：1. 利用向量求解点到平面距离在利用向量求解点到平面距离时，我们需要将点的坐标表示为向量形式，同时将平面表示为一个点和法向量的形式。
具体的求解方式可以按照以下几个步骤进行：(1)计算法向量对于平面的法向量，我们可以采取以下两种方式进行计算：(a)已知平面上的三个点$A(x_1,y_1,z_1)$、$B(x_2,y_2,z_2)$和$C(x_3,y_3,z_3)$，则平面的法向量可以通过以下方式计算：$$\vec{n}=(\vec{AB}\times\vec{AC})/||\vec{AB}\times\vec{AC}|| $$其中，$\times$表示向量的叉乘，$||\vec{AB}\times\vec{AC}||$表示向量$\vec{AB}\times\vec{AC}$的模。
(b)若平面的解析式为$ax+by+cz+d=0$，则平面的法向量可以用以下方式表示：$$\vec{n}=(a,b,c)$$(2)计算点到平面的距离通过上述方式可以得到平面的法向量和点的向量，接下来，我们根据上文提出的公式，即可将点到平面的距离计算出来。
高一数学点到平面距离的求法
高一数学点到平面距离的求法一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。
1、用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC中，是等腰三角形，，,且面ABC，SA=3a。
求点A到平面SBC的距离。
解：作交BC于D,连结SD、平面ABC,根据三垂线定理有又,平面SAD。
又平面SBC，平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADS=SD 过点A作于H，则AH平面SBC。
在中，SA=3a,，故点A到平面SBC的距离为。
【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。
常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。
2、转移构造法（1）利用平行线转换点例2、在直三棱柱中，,（b>a）（1）求证：(2)求点到平面的距离、解：(1)连结,则，又，故。
知，得,知。
（2）由（1）得、过作于G, , 从而、故即为所求的距离。
易求。
【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，是我们常用的方法。
（2）对称转移或利用定比分点例3、如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA^平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点、求P到平面BQD的距离、解：过A作垂足为E，连结QE。
∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD 的距离等于A到平面BQD的距离、在△AQE中，作AH^QE于H、∵BD^AE，BD^QE，∴BD^平面AQE、∴BD^AH，AH^平面BQE，即AH 为A到平面BQD的距离、在Rt△AQE中，∵AQ=c，AE=，∴AH=、例4、已知正方体的棱长为1，为上底面的中心。
求点到平面的距离。
析：点到平面的距离为线段的长，易求得、又为的中点，故点到平面的距离为。
【点评】转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现着转化的思想。
二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时1、等体积法（利用三棱锥的体积公式）例5、已知在棱长为1的正方体中，E、F分别是、CD的中点，求点B到平面的距离。
数学必修二点到面的距离
【模块标题】点到面的距离<模块综述>求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．下面介绍两种常见的求解空间“点到面的距离问题”的方法：直接法，等体积法.知识回顾：1． 点面距离的概念 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如图，$AA'\bot \alpha $，$A'$为垂足，则$AA'$的长度为$A$到$\alpha $的距离．2．等体积法求点面距离如果点到平面的垂线段容易作出，我们可以直接求出点面距离．当垂线段不易作出，我们可以通过等体积法来求出点面距离．设四面体A BCD -中点A 到面BCD 的距离为d ，点B 到面ACD 的距离为1d ，则此时若BCD S ，ACD S ，1d 容易求出，则可根据上式求得点A 到面BCD 的距离为d ．【教材内容1】会用直接法求空间点到面的距离（3星)例1. 如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 互相垂直，且,=2AC BC AC BC ⊥=，则点A 与平面BCE 距离的大小为<承接>点到面的距离是过点做平面的垂线，点到垂足的距离就是点到平面的距离，所以可以根据定义找到垂线段，进而求得点到面的距离.也就是用“直接法”求点到面的距离.<板书演示>过点A 作OA EC ⊥，O 为垂足，因为平面ACDE ABC ⊥平面，AC BC ⊥，所以BC AO ⊥，所以AO EBC ⊥平面，则AO 就是点A 到面EBC 的距离．练1. 已知棱长为a 的空间四面体ABCD ，则点A 到底面BCD 的距离为_________．本题是正四面体，所以顶点在底面的投影为底面的几何中心，即正三角形的中心点．运用勾股定理即可求解．<承接>将点等效转移例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）AB CDEA ．12 B． C． D．本题直接找点O 在平面11ABC D 的投影，不易找，可以把点O 等效的转移，再求解点面的距离．<板书演示>第一步：取11C B 的中点为M ，连接OM ，因为OM 平行于平面11ABC D ，所以O 到平面11ABC D 的距离等于M 到平面11ABC D 的距离;第二步：找M 点在面11ABC D 的投影，结合练习1的方法可知，即过M 点作1C B 的垂线，交于点N ，则N练2. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，G 为棱11A B 上一点，且()101A G λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为____．因为,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，所以11EF A B ∥．所以11A B ∥平面1D EF ， 1D A所以点G 到平面1D EF 的距离等于点1A 到平面1D EF 的距离，过点1A 作11A M D E ⊥于点M ，则1A M ⊥平面1D EF ，所以1A M 即为所求，<承接> 上面我们用直接法可以求解点到平面的距离，此种方法可直接解决好找垂线段的题目，但对于不太好直接找出点到面的距离的题目用此种方法相对比较复杂和困难一些.所以，接下来我们介绍另一种方法.【教材内容2】会用等体积法求空间点到面的距离(3星)例3. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，则点B 到平面AMN 的距离为________．分析可知：B AMN N ABM V V --=，后者点面距很容易求，故考虑等体积法.<板书演示>练3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,2ABC AC AA AB ∠==== ，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为_____．答案：1练4.如图，在直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方体，AEB 是等腰直角三角形，且90AEB ∠= ，则点D 到平面ACE 的距离为______．<承接>将点等效转移，再用等体积法例4. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点；（1）求证：BD AE ⊥；（2）求证：//AC平面1B DE ；（3）求A 到平面1BDE 的距离.<板书演示>（1）连接AC ，又1CC BD ⊥，所以BD ACE ⊥平面，所以BDAE ⊥.（2）连接1AC 交1B D 于点G ，连接EG ，可证明EG AC ∥，进而可得1AC B DE 平面∥.（3）在四面体中，进行顶点转移，观察何点为顶点时，其高易求；分析可知：1,,,A B D E 四个点，无论那个点作顶点时，高都不易求出，因此，在运用顶点转移求体积时，需要进行一定的处理，结合（2）可知，AC ∥平面1B DE ，点A 到平面1B DE 的距离等于点C 到平面1B DE 的距离，再用等体积法，即11C B DE D B EC V V --=；练 5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，若2,4AB AP BC ===，求点P 到平面BQD 的距离．<板书演示>因为Q 为线段PA 的中点，所以P 点到平面QBD 的距离等于A 点到平面QBD 的距离．如图，在平面ABCD 内过A 作BD 的垂线AE ，交BD 于E ，连接QE ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又PA AE A ⋂=，所以BD ⊥平面QAE ．在平面QAE 内过A 作AH QE ⊥于H ．所以BD AH ⊥．又QE BD E ⋂=，所以AH ⊥平面BQD ．所以A 点到平面BQD 的距离为AH 的长．练6.如图，四棱锥P ABCD -中，90,2ABC BAD BC AD ∠=∠== ，PAB 与PAD 都是边长为2的等边三角形．1．证明：PB CD ⊥；2．求点A 到平面PCD 的距离．<板书演示>1.取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ABED 为正方形．过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连接,,,OA OB OD OE ．由PAB 和PAD 都是等边三角形，知PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥．因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥．因此PB CD ⊥．2.取PD 的中点F ，连接OF ，则OFPB ∥． 由（1）知，PB CD ⊥，故OF CD ⊥．又 故POD 为等腰三角形，因此OF PD ⊥．又PD CD D ⋂=，所以OF ⊥平面PCD ．因为,AE CD CD ⊂∥平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，而所以点A到平面PCD的距离为1．【模块小结】本节课学习了两种求空间点到平面距离的方法：定义法，等体积法，其中等体积法用的更多，需要同学们重点掌握.。
求点到平面的距离的方法
求点到平面的距离的方法
在学习几何学时，有些对于求点到平面的距离的问题会困惑很多学生。
其实，从数学的角度来看，求点到平面的距离是一个广泛而普遍的问题，而且其解决方案也有很多。
下面，我将介绍求点到平面的距离的几种方法。
第一种方法是直线和平面交点法。
首先，我们需要找到平面上与某一点最近的直线。
然后求出该直线和平面的交点，直线和点所组成的三角形的高即是点到平面的距离。
第二种方法是利用向量来求解。
根据几何学习的知识，我们知道，点到平面的距离是点到平面的垂线的长度。
从而可以通过向量的计算求出垂线的长度，从而求出点到平面的距离。
第三种方法称为“分段法”。
首先，我们需要将平面上的点进行分隔，每个分隔的点都可以用一条直线来描述，从而可以计算出每个点到每条直线的距离。
之后，该点到整个平面的距离就可以得到，因为点到平面的距离就等于点到每条直线的最短距离。
最后，我再介绍一种求点到平面的距离的方法，称为“三维空间中的点分层法”。
首先，将该点投影到三维空间中，然后求出点到每个层的距离，最后加总求出该点到整个空间的距离。
以上就是求点到平面的几种方法。
这些方法在现实生活中都有着广泛的应用，比如在测量物体时会使用。
同时，在解决一些几何学问题时，也会需要用到这些算法。
总之，求点到平面的距离的方法不仅有助于我们更好地理解它，也很实用，有助于我们更好地应用。
[精品]点到平面的距离 高中数学 高考 立体几何
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[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。
是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。
2、点与平面的离差是什么。
3、点到平面的离差怎么算。
4、点到平面的离差的计算公式。
1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。
2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。
3.|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
4.在数学中，绝对值或模数|x|的非负值，而不考虑其符号，即|x|=x表示正x，|x|=-x表示负x(在这种情况下-x为正)，|0|=0。
5.例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。
6.数字的绝对值可以被认为是和零的距离。
立体几何必考知识汇总一空间几何体结构1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
高中数学必修二2.3.1-3点到平面的距离
设H为点C1在平面B1CD1内的 射影,延长B1H,交CD1于E.
∵ C1B1=C1D1=C1C ∴ HB1=HD1=HC
即H是⊿B1CD1 的外心,B1E是
CD1上的垂直平分线.
在Rt⊿CHE中,
1
B1
CE= 2 CD1=2 2 ,
CH=B1H=
CE COS 30
=
46 3
,
C1H=
C B 2 HB 2 = 4 3 ,
D1 C1
H
D C
A1 B1
A B点到平面的距离求法（一）、直接法：由定义
A
作出垂线段并计算.用线面
和面面垂直的判定及性质
来作。
α
B
（二）、等体积法：
用同一个三棱锥
选不同底计算体积。
（三）、向量法：
二：向量法求距离
1、已知A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2)
A B
|AB|= AB • AB x2 x1 2 y2 y12 z2 z12
11
1
3
即点C1到平面B1CD1距离是
4 3
3
C1
D1
E
H
C
解法二:
B1
C1
S CD
CC1B1
11
CH= S
CB1D1
D1 H
C
解法三:
如图，建立空 间直角坐标系 C-XYZ
Z C1
C
B1 A1
D1
H
Y
B
A
D
X
例2、已知OA,OB,OC两两垂直，且OA=1，OB=2，
OC=3
C
求点O到平面ABC的距离。
例1:
SXB037高考数学必修_点到平面距离的求法
点到平面距离的求法求点到平面的距离是立体几何中的一类重要问题，是研究线面、面面距离的基础，且在线面角、二面角及体积计算等问题中应用广泛.一、几何法求点面距离过点向平面作垂线，确定垂足, 则该垂线段的长即为所求的点到面的距离. 其求解步骤为“一作，二证，三 求”,解题关键在于确定垂足.1.根据线面垂直的定义及有关条件,直接确定垂足.例1.如图,正三角形ABC 的边长为6cm ，点D 到△ABC 各顶点的距离都是4cm ，求点D 到这个三角形所在平面的距离．简解: 如图1,过点D 作DH ABC ⊥平面,垂足为H,连结HA ，HB ，HC.则易证Rt DHA Rt DHB Rt DHC ∆≅∆≅∆62322.HA HB HCH AH AE Rt DHA D ABC cm ∴==∴∴=∴==∆=∴为正三角形ABC 的中心延长AH 交BC 于点E,则E 为BC 的中点在中点到平面的距离为2.找垂面,利用面面垂直的性质定理来确定垂足: 找过已知点与己知平面垂直的平面,并确定交线,再过已知点向交线作垂线,垂足确定,则已知点到垂足的距离即为点到平面的距离. 解题关键在于找或作出过已知点的垂面，常从已知平面中的特殊线出发,找或作出线的垂面,则所得的垂面与已知平面垂直.例2.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）求点D 到平面D 1BC 的距离；(2）若M 、N 分别为AB 、BC 的中点，求点D 到平面A 1C 1NM 的距离；(3）AM=3 MB ，BN=NC ，求点D 到平面D 1MN 的距离。
OD 1C 1B 1A 1图2DCBANOD 1C 1B 1A 1图3EDCBAM FQ ND 1C 1B 1A 1图4EDCBAM简解:（1）如图2, 连结DC 1交D 1C 于O ，则DC 1⊥D 1C ∵BC ⊥平面D 1C ，∴平面BCD 1⊥平面D 1C ∴DO 上平面BCD∴DO 的长度为点D 到平面D 1MN 的距离图1EH DCBA又DO=2212 2.D D BC ∴点到平面的距离为（2）如图3, 连结BD, B 1D 1，分别交MN ，A 1C 1于点E 、F ，易证MN ⊥平面DBB 1D 1∴平面DBB 1D 1⊥平面A 1C 1NM ，EF ⋂=111且面A C NM 面BD作DO ⊥EF 于O,则11,DO AC NM O ⊥平面垂足为 故DO 的长就是点D 到平面A 1C 1NM 的距离如右图, 在矩形11BDD B 中, 取BD 的中点G ，连结FG, 则FG DB ⊥易证Rt FGE Rt DOE ∆∆与相似故DO DEFG EF=,又32,4,32EF FG DE === 4DO ∴=,即点D 到平面A 1C 1NM 的距离为4.（3）如图4,取AB 中点Q, 连结QC, 则MN //QC 在正方形ABCD 中, 易证QC DN ⊥ 又1DD QC ⊥ 1QC D DN ∴⊥平面MN ∴⊥1D DN 平面11D MN D DN ∴⊥平面平面,且交线为1D N过D 作DE ⊥ND 1，则DE ⊥1D MN 平面,垂足为E 在111,4,25,6Rt D DN DD DN D N ∆===中1142545.D D DN DE D N ⋅⨯∴===即点D 到平面D 1MN 的距离为45.二、向量法求点面距离如下图，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则由cos ,AB n AB n AB n⋅<>=⋅和cos ,AC AB AB n =⋅<>AB n ABAB n⋅=⋅=AB n n⋅可知，点A 到平面α的距离为AC =AB n n⋅.例3. 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求点A 1到平面DBEF 的距离. 解: 如图7，建立空间直角坐标系D-xyz ，则DB ＝（1，1，0） ，DF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面DBEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有0n DB n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即01 y+z=02x y +=⎧⎪⎨⎪⎩令x ＝1, 得 y=－1, z=21, 即取n ＝（1，－1，21）， 则点A 1到平面DBEF 的距离11.n DA h n⋅==评注: 1. 对本题而言，若采用几何方法，则点A 1在平面DBEF 内的射影难以确定，求解难度较大;2. 应用向量法求点面距离的关键是“求出平面的法向量”.三、求点面距离的其它方法1.体积法: 将点到面的距离转化为某三棱锥的高, 利用三棱锥的各侧面均可做底面，以各侧面为底面算出的 体积相等来求.2.转移法: 利用线面平行“等量转移”或利用面的斜线“按比例转移”点面距离.例4. 如图8, 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC=600，PC ⊥平面ABCD ，PC=a ，E 是PA 的中点, 求E 到平面PBC 的距离.EDCPBA图8HEDCPBA图9QF EDCP B A图10OEDCPBA图11分析: 由于点E 在平面PBC 内的射影不易作出, 故需考虑间接求解. 可利用平面的斜线“按比例转移”点面距离:点A 到平面PBC 的距离是点E 到平面PBC 距离的2倍; 或利用线面平行“等量转移”点面距离: 点E 到平面PBC 的距离等于AB 中点F 到平面PBC 的距离; 亦可应用体积法来求解.解一: 如图9, 由AP 是平面PBC 的斜线, P 为斜足, 且E 为AP 的中点,可知点A 到平面PBC 的距离是点E 到平面PBC 距离的2倍.PC ⊥平面ABCD ，又PC PBC ⊂平面PBC ABCD ∴⊥平面平面,交线为BC在菱形ABCD 中,作AH ⊥BC 于点H,则AH PBC ⊥平面,AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离.易求得AH =,即点A 到平面PBC ,故点E 到平面PBC .解二: 如图10, 取AB 中点F, 连结EF, 则EF//PB ，故EF//平面PBC.E F PBC ∴点与点到平面的距离相等PC ⊥平面ABCD ，又PC PBC ⊂平面PBC ABCD ∴⊥平面平面,交线为BC过F 作FQ BC ⊥,垂足为Q, 则FQ PBC ⊥平面,.a Rt BQF FQ ∆=在中∴点E 到平面PBC .解三: 如图11, 应用体积法来求点到平面的距离. 连结AC ，BD 交于点O. ,E B E PBC h h 设点到平面的距离为点B 到平面PCE 的距离为,则由E PBC B PEC V V --=，得1133PBC E PCE B S h S h ∆∆⨯⨯=⨯⨯(1)由题意, 可得21,2PBC S a ∆=21124PCE PCA S S a ∆∆==(2)在菱形ABCD 中,AC BD ⊥又PC ⊥平面ABCD PC BD ∴⊥,.BD PAC O ∴⊥平面垂足为2B h BO ∴==(3)将(2),(3)代入(1)中, 得.E h =∴点E 到平面PBC . 评注: 当点在平面内的射影不易作出, 或虽能作出但过程较复杂时, 常采用转移法或体积法来求点到平面的距离. 本题也可采用向量法求点面距离.。
数学技巧30点直线平面之间距离的计算方法
数学技巧30点直线平面之间距离的计算方法在计算数学中，我们经常会遇到直线与平面之间的距离问题。
下面将介绍几种常见的计算方法。
方法一：点到平面的距离公式设直线L的方程为Ax+By+C=0，平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0。
取直线上一点M(x0,y0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是点M到平面P的距离h。
根据点到平面的距离公式，可以得到：h=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)方法二：点法式求距离设直线L的方向向量为向量A，平面P的法向量为向量N。
取直线上一点M(x0,y0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是直线L方向向量A在平面P的法向量N上的投影长度。
根据点法式求距离，可以得到：d=，A·N，/，N方法三：直线法式求距离设直线L的方程为Ax+By+Cz+D1=0，平面P的方程为Ax+By+Cz+D2=0。
取直线上一点M(x0,y0,z0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是平面P方程中的常数项的差值。
根据直线法式求距离，可以得到：d=，D2-D1，/√(A^2+B^2+C^2)方法四：空间直线的参数方程性质求距离设直线L的参数方程为:x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0。
取参数t对应的点M(x,y,z)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P 的距离d就是点M到平面P的距离h。
根据参数方程性质求距离，可以得到：h=，Ax+By+Cz+D，/√(A^2+B^2+C^2)这些是常见的计算直线和平面之间距离的方法。
在实际问题中，可以根据具体情况选择适合的方法来计算距离。
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高中数学：点到平面的距离的求法
方法二：间接法（利用等体积法构造关于所求距离的方程）
小结：两种方法的优缺点：
直接法需要脑力思考较多，所以证明过程比较计算过程长，但整题计算量小；
间接法是通过构造含有所求距离的方程，最后通过解方程的思想计算出点到平面的距离，相对来说更侧重计算。
方法三：点到直线距离公式的向量推导方法
已知直线：和点，为点到直线的距
离。
现不妨设且，则直线的斜率为，其方向
向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：
由平面向量的有关知识，可得：
显然，当或时，上述公式仍成立。
上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。
我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题。
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