陈明线性代数与空间解析几何第5章PPT课件

即
x1
x2
d1c11xr1 d2c21xr1
c1nrxn c2nrxn
xr dr cr1xr1 crnrxn
2. 前r 个变量为基本未知量, 其余的n-r个
变量为自由未知量.
xr1 1 0 0
令
xr2
0，1，，0(为
nr个)
xn
0 0
1
3.代入同解的方程组CX=d中得
x1 d1c11 d1c12 d1c1nr x2d2 c21， d2 c22，， d2 c2nr
5.2.3 齐次方程组解的性质及结构
问 若有非零解, 这些解具有哪些性质? 题 解集合的整体结构如何?
性质1 由 ξ 1 , ξ 2 是AX=0的解, 即Aξ10,Aξ20
A (ξ 1 ξ 2 ) A ξ 1 A ξ 2 0 ξ1 ξ2 也是 AX = 0 的解. 性质2 由 ξ 是AX = 0的解, 即 A ξ 0
第五章 线性方程组
本章主要内容
线性方程组解的存在性 齐次方程组 非齐次方程组 线性方程组的几何应用
5.1 线性方程组解的存在性
5.1.1 基本概念
a11x1a12x2 a1nxnb1 (1)一般形式： a21x1a22x2 a2nxnb2 （5.1）
am1x1am2x2 amnxnbm
(2 )矩 阵形 式 ： A Xb（5.2）
出一解。
i1
5.2 齐次线性方程组
5.2.1 齐次线性方程组的表示形式
a11x1a12x2 a1nxn 0 (1)一般形式： a21x1a22x2 a2nxn 0
am1x1am2x2 amnxn 0
(2)矩 阵 形 式 ： A X0 其 中 A (aij)m n,X(x1,x2, ,xn)T
( 3 ) 向 量 形 式 ： x 1 1 x 2 2 x n n 0
xr dr cr1 dr cr2
dr
crnr
从而得到AX = 0的n-r个解为
d1 c11
d2
c21
d1 c12
d2
c22
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1
dr
cr1 1
, 2
dr
cr2 0
,
0 1
0 0
d1 c1nr
d2
c2nr
,nr
dr
crnr
0
0
1
例5.1 解方程组
42xx11
只要找到N(A)的一个基(基础解系), 就能表示所有解.
注 AX = 0与 PAX = 0 是同解方程组， 其中P为可逆矩阵.
定义 r(A)= r <n ,若AX = 0的一组解为
ξ1,ξ2, ,ξnr ,且满足： (1) ξ1,ξ2, ,ξnr线性无关; (2) AX = 0 的任一解都可由这组解线性表示.
下面讨论的解的求法
1 不妨设 A 的前r 个列向量线性无关
1 0 0 1 (Ab) 行 C 0 0 0 0 0 0
C为行最简形矩阵.
0 c11 0 c21
1 cr1 00
00
c1nr d1
c2nr
d2
cr nr 0
dr dr1
0 0
得到同解方程组
CX d
（5.3）
由定理5.1，（5.3）有解的充要条件是dr+1=0
其 中 A (a ij)m n,X(x1,x2, ,xn)T
称A为系数矩阵，b为常数项，解，解集合，同解方程组， 相容的，不相容的，非齐次线性方程组，齐次线性方程 组。
( 3 ) 向 量 形 式 ： x 1 1 x 2 2 x n n b
x1
即
( 1 , 2 ,
,
n
)
x2
则称 ξ1,ξ2, ,ξnr为AX = 0的基础解系. 称 X k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 k n r ξ n r 为AX = 0 的通解（其中k1,k2,…, kn-r为任意常数).
齐次线性方程组的关键问题就是求通解，
而求通解的关键问题是求基础解系.
定理5.3 设 Amn, r(A)r
(1)若 r n则 AX = 0没有基础解系;
(2)若 r n则 AX = 0有基础解系,且
任一基础解系中均含有n – r 解向
k, A (kξ)k(A ξ)0
k ξ 也是 AX=0 的解.
若AX = 0 有非零解, 则这些解的任意 线性组合仍是解, 所以必有无穷多个解.由 性质1,2可知解集合对线性运算是封闭的. 所以得到如下结果:
定义 AX = 0 的解集合构成向量空间, 记 为N(A), 称其为AX = 0的解空间.
x1
即
( 1 , 2 ,
,
n
)
x2
0
a1j
j
a
2
j
,
x
n
a
m
j
齐次方程组的内容
只有零解的充要条件； 无穷多解的充要条件； 解的性质及解集合的结构； 求解方法.
5.2.2 齐次线性方程组有解的条件
定理5.1 设 A m n阶矩阵, 则齐次性方程组
AX= 0 有非零解 r(A)<n; AX= 0 只有零解 r(A)=n.
r(A)=r(A b) 得出定理 定理5.1 方程组 AX = b有解r(A)=r(A b) 注 当r(A)<r(A b )方程组 AX = b无解.
5.1.3 Gauss消去法
定理5.2 线性方程组（5.2）与线性方程组 PAX=Pb
是同解方程组，其中P是m阶可逆矩阵。
所以矩阵的三种初等变换不改变方程组的解
x2 3x3 1 2x2 5x3 4
2x1 x2 4x3 0
解：对增广矩阵做初等行变换，知方程组无解
例5.2 证明方程组
x1 x2 a1
x x
2 3
x3 x4
a2 a3
,
x4 x5 a4 x 1 x 5 a 5
5
有解的充要条件是 a i 0 ，在有解的情形下求
证 AX = 0 有非零解
x11+x22+…+ xnn =0有非零解 A的列向量组1,2 ,…,n线性相关 r(A)= r(1,2 ,…,n)<n.
AX = 0只有零解
x11+x22+…+ xnn =0只有零解 A的列向量组1,2 ,…,n线性无关 r(A)= r(1,2 ,…,n)=n.
b
a1j
j
a
2
j
,
x
n
a
m
j
增广矩阵：
A
5.1.2 非齐次线性方程组有解的条件
AX = b 有解
x11+x22+…+ xnn = b 有解 b可由A的列向量1,2 ,…,n线性表示 1,2 ,…,n与1,2 ,…,n, b等价 r(1,2 ,…,n) = r(1,2 ,…,n,b )