关于圆的切线方程的推导完整

关于圆的切线方程的推导

已知⊙O 的方程为()()22

2r b y a x =-+-以及一点()00,y x P ，求过点P 的⊙O 的切线方程.

①当点P 在⊙O 上时，连接OP ，如图所示

设直线OP 的方程为111m x k y +=，由()b a O ,和()00,y x P 得 a x b y k y m k x b m ak --=⇒⎩⎨⎧=+=+0010

11011，从而有过点P 的圆的切线方程的斜率为b

y a x k ---='001 因为点P 在圆上，所以有()0000x x b y a x y y ----

=-，展开得000002020=----+++yy xx by ax by ax y x

将上式整理得 ()()()()20000r b y y y a x x x =--+--

②当点P 在⊙O 外时，存在两条关于⊙O 的切线方程，如图所示

设⊙O 的切线方程为222m x k y +=，由于切线过点()00,y x P 得00222y x k x k y +-=，化为一般式000222=+--y x k y x k

由方程()()22

2r b y a x =-+-得点O 的坐标为()b a , 因为直线与圆相切，所以点O 到切线的距离等于圆的半径r 故有()

()20022222220

02211y x k b ak k r r k y x k b ak +--=+⇒=++-- 022222222220202002020220222022222=---++-++--+r r k by y b y x k x bk y ak abk x ak x k k a

()()()022220202000022020222=--+++-----+r by y b y x bx ay ab k r ax x a k ()[]()()[]

022200000222022=--++-----r y b y x bx ay ab k r x a k ()()()()2

202

202000002r x a r b y a x r y x bx ay ab k ----+-±+--=

由上述方程00222y x k x k y +-=得 ()()()()()()(()22002000002

202

202000002r x a b y a x r y x bx ay ab x r x a r b y a x r y x bx ay ab y ---+-±+-------+-±+--=