单自由度体系的自由振动
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12 EI h3
6 EI h2
k
12 EI h3
k 24 EI = ω= m mh3
6 EI h2
6 EI h2
mh T = 2π 24 EI
3
3. 结构的自振周期与频率 例5：计算结构水平振动和竖直振动时的自振频率，忽略自重。
m
EI = 常数
l
1 2
l 2
l
水平振动
l
M
4 ⎛1 l ⎞ ⎛ l 2 ⎞ l3 δ = ⎜ ×l × ⎟×⎜ × ⎟ = 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ 3EI EI ⎝ 2
l
l δ= EA
1 3EI = ω= mδ ml 3
ω=
1 = mδ
EA ml
3. 结构的自振周期与频率 例3: 求图示结构自振频率 。 （EI 为常数，杆件自身质量不计） [分析]图乘法求位移
1 1 2 2 1 2 h2 δ = ( h × h + hl × h ) = (h + l ) EI 2 3 2 3 3 EI
A B
m C l h
1
ω=
1 = mδ
3 EI mh 2 ( h + l )
h h
[讨论] 当AB刚度改变为无穷大，或BC改变为无穷大， 或均不改变，试比较 3 者频率大小。
3. 结构的自振周期与频率 例4：计算图示刚架的频率和周期。 m EI1=∞ I I h
24 EI k= 3 h
Δ =1
6 EI h2
2
这是一个齐次方程，其通解为
y 源自文库t ) = C1 cos ω t + C 2 sin ω t
2. 自由振动微分方程的解
2 y +ω y = 0
y (t ) = C1 cos ω t + C 2 sin ω t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y (0) = y0 C1 = y0
5l ⎞ ⎛ 5l 2 1 3l ⎞ ⎤ 7l 3 ⎛1 + ⎜ × l × ⎟ × ⎜ × − × ⎟⎥ = 16 ⎠ ⎝ 16 3 3 16 ⎠ ⎦ 96 EI ⎝2
1 96 EI 4 6 EI ω= = = 3 mδ 7 ml l 7 ml
3. 结构的自振周期与频率 竖向振动 刚度法 k
y = δFI
对单自由度体系 1 δ= k
) y = δ (−m y
+ m y 1 y=0
（ m ） y
δ
2. 自由振动微分方程的解
自由振动微分方程：
+ ky = 0 m y
k + y = 0 y m
自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律
令
k ω = m
2
+ω y = 0 y
T 自振周期
T=
2π
ω
Δ st m Wδ = 2π mδ = 2π = 2π T = 2π k g g
外界干扰（初始速度、初始位移）对周期、 频率等有影响吗？
思考
3. 结构的自振周期与频率 例10-1 [分析] 求图示体系的频率及自振周期。 m
ω=
k 1 = m mδ
l/2
l 1
T=
2π
ω
l/2
48 EI 7l 3
48 EI 7l 3
k
18 EI 7l 2 6 EI l2
48 EI 43 μ =7 l7 6 EI 30 l 2EI 7l 2 1
96 EI k= 3 7l
k 96 EI 4 6 EI ω= = = 3 m 7 ml l 7 ml
(0) = v0 y
C2 =
v0
v0
ω
y (t ) = y0 cos ωt +
ω
sin ωt
2. 自由振动微分方程的解
y y
ο
y (t ) = y0 cos ωt +
T t
v0
ω
sin ωt
0 -yο y T
yD cos ω t
vD ω
− vD ω
y A
α ω• •
0
t
ω
vD
sin ω t
T t
l3 解： 柔度系数：δ = 48 EI
δ
l
1 48 EI = ω= ml 3 mδ
ml 3 T= = 2π 48 EI ω
2π
3. 结构的自振周期与频率 例10-2 求图示悬臂杆的自振频率。（杆件截面积 A，惯性
矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重量为W）
解：
W
1
W
1
l3 l δ = 3EI
1. 自由振动微分方程 理论力学知识的回顾
脱离体受力分析： 弹性力—ky, 与位移 y 的方向相反
m y
y k m y ky
惯性力— m, y 与加速度的方向相反
m y
+ ky = 0 m y
1. 自由振动微分方程
悬臂柱－质量体系的自由振动 k y m ky ky m
y
m y
10-2 单自由度体系的自由振动
Free-vibration of single degree of freedom system
教学目标：
掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理。 正确理解单自由度体系自由振动的动力特性。 熟练掌握这些动力特性的计算。
教学内容：
自由振动微分方程 自由振动微分方程的解 结构的自振周期与频率
1 2
μ = 0.25
5l 16
μ = 0.75
δ=
2 EI
⎡⎛ 1 3l ⎞ ⎛ 3l 2 ⎞ ⎛ 1 3l ⎞ ⎛ 3l 2 1 5l ⎞ × × × × + × × l l ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟×⎜ × − × ⎟ ⎢⎜ 2 16 ⎠ ⎝ 16 3 ⎠ ⎝ 2 16 ⎠ ⎝ 16 3 3 16 ⎠ ⎣⎝
ky
m y
y
+ ky = 0 m y
刚度系数 k 由结构力学方法求解
1. 自由振动微分方程
悬臂柱－质量体系的自由振动 y ky
建立振动微分方程的 2 种思路 刚度法 k 对质点进行受力分析，利用平衡条件 柔度法 δ
m
m y
+ ky = 0 m y
y m
FI
对体系进行受力分析，质点位移
⎛ α⎞ A sin ω ⎜ t + ⎟ ⎝ ω⎠
0
-A
A=
y0 + (
2
v0
ω
) , α = tan
2
−1
y0ω v0
3. 结构的自振周期与频率
y T t
y (t ) = A sin(ωt + α )
A
a
ω
0
−A
ω 圆频率或角频率，或简称频率
k 1 g g ω= = = = m Wδ Δ st mδ
1 3EI ω= = mδ ml 3
柔度法 δ
3. 结构的自振周期与频率 刚度法 k
1 1
3EI 2l 3
3EI 2l 3
3EI 22 3EI 2 ll 2l 3
3EI k= 3 l
μ = 0.5
k 3EI ω= = m ml 3
3. 结构的自振周期与频率 竖向振动 柔度法 δ
3l l 16 4
6 EI h2
k
12 EI h3
k 24 EI = ω= m mh3
6 EI h2
6 EI h2
mh T = 2π 24 EI
3
3. 结构的自振周期与频率 例5：计算结构水平振动和竖直振动时的自振频率，忽略自重。
m
EI = 常数
l
1 2
l 2
l
水平振动
l
M
4 ⎛1 l ⎞ ⎛ l 2 ⎞ l3 δ = ⎜ ×l × ⎟×⎜ × ⎟ = 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ 3EI EI ⎝ 2
l
l δ= EA
1 3EI = ω= mδ ml 3
ω=
1 = mδ
EA ml
3. 结构的自振周期与频率 例3: 求图示结构自振频率 。 （EI 为常数，杆件自身质量不计） [分析]图乘法求位移
1 1 2 2 1 2 h2 δ = ( h × h + hl × h ) = (h + l ) EI 2 3 2 3 3 EI
A B
m C l h
1
ω=
1 = mδ
3 EI mh 2 ( h + l )
h h
[讨论] 当AB刚度改变为无穷大，或BC改变为无穷大， 或均不改变，试比较 3 者频率大小。
3. 结构的自振周期与频率 例4：计算图示刚架的频率和周期。 m EI1=∞ I I h
24 EI k= 3 h
Δ =1
6 EI h2
2
这是一个齐次方程，其通解为
y 源自文库t ) = C1 cos ω t + C 2 sin ω t
2. 自由振动微分方程的解
2 y +ω y = 0
y (t ) = C1 cos ω t + C 2 sin ω t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y (0) = y0 C1 = y0
5l ⎞ ⎛ 5l 2 1 3l ⎞ ⎤ 7l 3 ⎛1 + ⎜ × l × ⎟ × ⎜ × − × ⎟⎥ = 16 ⎠ ⎝ 16 3 3 16 ⎠ ⎦ 96 EI ⎝2
1 96 EI 4 6 EI ω= = = 3 mδ 7 ml l 7 ml
3. 结构的自振周期与频率 竖向振动 刚度法 k
y = δFI
对单自由度体系 1 δ= k
) y = δ (−m y
+ m y 1 y=0
（ m ） y
δ
2. 自由振动微分方程的解
自由振动微分方程：
+ ky = 0 m y
k + y = 0 y m
自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律
令
k ω = m
2
+ω y = 0 y
T 自振周期
T=
2π
ω
Δ st m Wδ = 2π mδ = 2π = 2π T = 2π k g g
外界干扰（初始速度、初始位移）对周期、 频率等有影响吗？
思考
3. 结构的自振周期与频率 例10-1 [分析] 求图示体系的频率及自振周期。 m
ω=
k 1 = m mδ
l/2
l 1
T=
2π
ω
l/2
48 EI 7l 3
48 EI 7l 3
k
18 EI 7l 2 6 EI l2
48 EI 43 μ =7 l7 6 EI 30 l 2EI 7l 2 1
96 EI k= 3 7l
k 96 EI 4 6 EI ω= = = 3 m 7 ml l 7 ml
(0) = v0 y
C2 =
v0
v0
ω
y (t ) = y0 cos ωt +
ω
sin ωt
2. 自由振动微分方程的解
y y
ο
y (t ) = y0 cos ωt +
T t
v0
ω
sin ωt
0 -yο y T
yD cos ω t
vD ω
− vD ω
y A
α ω• •
0
t
ω
vD
sin ω t
T t
l3 解： 柔度系数：δ = 48 EI
δ
l
1 48 EI = ω= ml 3 mδ
ml 3 T= = 2π 48 EI ω
2π
3. 结构的自振周期与频率 例10-2 求图示悬臂杆的自振频率。（杆件截面积 A，惯性
矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重量为W）
解：
W
1
W
1
l3 l δ = 3EI
1. 自由振动微分方程 理论力学知识的回顾
脱离体受力分析： 弹性力—ky, 与位移 y 的方向相反
m y
y k m y ky
惯性力— m, y 与加速度的方向相反
m y
+ ky = 0 m y
1. 自由振动微分方程
悬臂柱－质量体系的自由振动 k y m ky ky m
y
m y
10-2 单自由度体系的自由振动
Free-vibration of single degree of freedom system
教学目标：
掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理。 正确理解单自由度体系自由振动的动力特性。 熟练掌握这些动力特性的计算。
教学内容：
自由振动微分方程 自由振动微分方程的解 结构的自振周期与频率
1 2
μ = 0.25
5l 16
μ = 0.75
δ=
2 EI
⎡⎛ 1 3l ⎞ ⎛ 3l 2 ⎞ ⎛ 1 3l ⎞ ⎛ 3l 2 1 5l ⎞ × × × × + × × l l ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟×⎜ × − × ⎟ ⎢⎜ 2 16 ⎠ ⎝ 16 3 ⎠ ⎝ 2 16 ⎠ ⎝ 16 3 3 16 ⎠ ⎣⎝
ky
m y
y
+ ky = 0 m y
刚度系数 k 由结构力学方法求解
1. 自由振动微分方程
悬臂柱－质量体系的自由振动 y ky
建立振动微分方程的 2 种思路 刚度法 k 对质点进行受力分析，利用平衡条件 柔度法 δ
m
m y
+ ky = 0 m y
y m
FI
对体系进行受力分析，质点位移
⎛ α⎞ A sin ω ⎜ t + ⎟ ⎝ ω⎠
0
-A
A=
y0 + (
2
v0
ω
) , α = tan
2
−1
y0ω v0
3. 结构的自振周期与频率
y T t
y (t ) = A sin(ωt + α )
A
a
ω
0
−A
ω 圆频率或角频率，或简称频率
k 1 g g ω= = = = m Wδ Δ st mδ
1 3EI ω= = mδ ml 3
柔度法 δ
3. 结构的自振周期与频率 刚度法 k
1 1
3EI 2l 3
3EI 2l 3
3EI 22 3EI 2 ll 2l 3
3EI k= 3 l
μ = 0.5
k 3EI ω= = m ml 3
3. 结构的自振周期与频率 竖向振动 柔度法 δ
3l l 16 4