北师大版数学高二-必修5素材 1.2谈判定等差数列四法

谈判定等差数列四法

我们知道解决问题最重要的环节是将未知转化成已知．因此，如何判断一个数列是不是我们已经认识的等差数列，就显得尤为重要．下面给出判断等差数列的四种基本方法．

一、定义法

1n n a a d +-=（常数）{}()n n a *∈⇔N 是等差数列．

已知数列{}n a 的首项13a =，通项n a 与前n 项和n S 之间满足关系12(2)n n n a S S n -=≥，求证数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等差数列．

证明：当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以112()n n n n S S S S ---=．

又0n S ≠，所以11112n n S S --=，即1111(2)2

n n n S S --=-≥． 故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等差数列．

二、等差中项法

{}122()n n n n a a a n a *++=+∈⇔N 是等差数列．

例2 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于所有的自然数n ，都有1()2

n n n a a S +=

，证明{}n a 是等差数列． 证明：当2n ≥时，1()2n n n a a S +=，111(1)()2

n n n a a S ---+=， 所以1111()(1)()22

n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-， ① 1111(1)()()22n n n n a a n a a a +++++=-， ② ②－①并整理，得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥，即112n n n a a a -+=+．

所以数列{}n a 是等差数列．

三、通项法

n a pn q =+（p q ，为常数）{}n a ⇔是等差数列．

例3 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于所有的正整数n ，都有2n S an bn =+（a b ，为常数），求证数列{}n a 是等差数列．

证明：当2n ≥时，1n n n a S S -=-，

即22(1)(1)n a an bn a n b n ⎡⎤=+--+-⎣⎦2an a b =-+；

若把1n =代入上式，得1a a b =+．

又11a S a b ==+，所以2()n a an a b n *=-+∈N ．

由于2a a b -+，均为常数，

因此数列{}n a 是等差数列．

四、分析法

所谓分析法，就是要不断探求使结论成立的原因，而“因”必须是与题设、定理、公理、公式挂钩，即执果索因． 已知111a b c ，，成等差数列，求证b c a a c b a b c a b c

+-+-+-，，也成等差数列． 证明：要证

b c a a c b a b c a b c +-+-+-，，成等差数列， 只需证

222b c a a c b a b c a b c +-+-+-+++，，成等差数列， 即证a b c a b c a b c a b c

++++++，，成等差数列． 因为111a b c ，，成等差数列，所以a b c a b c a b c a b c

++++++，，成等差数列． 故b c a a c b a b c a b c

+-+-+-，，成等差数列．