平面向量的概念及表示教学内容
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4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b；
(2>零向量与零向量相等；
(3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
A．0个B．1个 C．2个D．3个
5、在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则 < ）Eຫໍສະໝຸດ BaiduxvxOtOco
A. 与 共线 B. 与 共线 C. 与 相等 D. 与 相等
6、两个向量共线是两个向量相等的 < ）SixE2yXPq5
A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、 既不充分也不必要条件
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.jLBHrnAILg
说明：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度.
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模>可以比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
4.向量a与实数a.
5.零向量0与实数0
二、填空题
1、与非零向量 平行的单位向量的个数是_______。
2、 是 的_____条件。
3、已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_____个互不相等的非零向量。6ewMyirQFL
4、已知平面上不共线的四点满足 ，则以下四个命题：
<1）ABCD是平行四边形；<2）ACBD是平行四边形；<3）ADBC是平行四边形；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 ＝ ；p1EanqFDPw
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上.DXDiTa9E3d
6.注意下列写法是错误的：
①a－a＝0。 ② ＋ ＋ ＝0。xHAQX74J0X
③a＋0＝a。 ④｜a｜－｜a｜＝0.
7.平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.LDAYtRyKfE
平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：
(1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP
是AB、BC、CD、DA中点，求证： 。
参考答案
一、选择题
ABDB、BB
二、填空题
1、2． 2、必要不充分。 3、6． 4、<2）、<3）。
5、菱形。 6、 或 、 方向相同。
三、解答题
1、略。
2、提示：EF、HG都与 平行且相等。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
<4）ACDB是平行四边形。则所有正确命题的序号是______。
5、在四边形ABCD中， ，且 ，那么ABCD是。
6、若 ，那么当时， 。
三、解答题
1、在直角坐标系xOy中，用有向线段表示下列向量：
<1） ， ， ；
<2） ， ， ；
<3） ， ， 。
2、在平面上有一个四边形ABCD，E、F、G、H分别
向量的概念及表示
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量>
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母： .
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
向量的概念同步练习
一、选择题
1、下列物理量中， 不能称为向量的是 < ）Zzz6ZB2Ltk
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是 < ）dvzfvkwMI1
A．两个单位向量一定相等 B．若 与 不共线，则 与 都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图， 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同. RTCrpUDGiT
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
3、下列说法错误的是 < ）rqyn14ZNXI
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
4、对于以下命题：<1）平行向量一定相等； <2）不相等的向量一定不平行；
<3）共线向量一定相等；<4）相等向量一定共线。其中真命题的个数是 < ）
【例2】：下列命题正确的是<）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.5PCzVD7HxA
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b；
(2>零向量与零向量相等；
(3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
A．0个B．1个 C．2个D．3个
5、在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则 < ）Eຫໍສະໝຸດ BaiduxvxOtOco
A. 与 共线 B. 与 共线 C. 与 相等 D. 与 相等
6、两个向量共线是两个向量相等的 < ）SixE2yXPq5
A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、 既不充分也不必要条件
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.jLBHrnAILg
说明：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度.
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模>可以比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
4.向量a与实数a.
5.零向量0与实数0
二、填空题
1、与非零向量 平行的单位向量的个数是_______。
2、 是 的_____条件。
3、已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_____个互不相等的非零向量。6ewMyirQFL
4、已知平面上不共线的四点满足 ，则以下四个命题：
<1）ABCD是平行四边形；<2）ACBD是平行四边形；<3）ADBC是平行四边形；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 ＝ ；p1EanqFDPw
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上.DXDiTa9E3d
6.注意下列写法是错误的：
①a－a＝0。 ② ＋ ＋ ＝0。xHAQX74J0X
③a＋0＝a。 ④｜a｜－｜a｜＝0.
7.平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.LDAYtRyKfE
平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：
(1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP
是AB、BC、CD、DA中点，求证： 。
参考答案
一、选择题
ABDB、BB
二、填空题
1、2． 2、必要不充分。 3、6． 4、<2）、<3）。
5、菱形。 6、 或 、 方向相同。
三、解答题
1、略。
2、提示：EF、HG都与 平行且相等。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
<4）ACDB是平行四边形。则所有正确命题的序号是______。
5、在四边形ABCD中， ，且 ，那么ABCD是。
6、若 ，那么当时， 。
三、解答题
1、在直角坐标系xOy中，用有向线段表示下列向量：
<1） ， ， ；
<2） ， ， ；
<3） ， ， 。
2、在平面上有一个四边形ABCD，E、F、G、H分别
向量的概念及表示
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量>
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母： .
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
向量的概念同步练习
一、选择题
1、下列物理量中， 不能称为向量的是 < ）Zzz6ZB2Ltk
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是 < ）dvzfvkwMI1
A．两个单位向量一定相等 B．若 与 不共线，则 与 都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图， 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同. RTCrpUDGiT
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
3、下列说法错误的是 < ）rqyn14ZNXI
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
4、对于以下命题：<1）平行向量一定相等； <2）不相等的向量一定不平行；
<3）共线向量一定相等；<4）相等向量一定共线。其中真命题的个数是 < ）
【例2】：下列命题正确的是<）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.5PCzVD7HxA