天津大学2008年高等代数(研究生考试题)

一、填空（每小题4分，共40分）

1、 设α、β均为n 维非零列向量，T A αβ=，则A 的秩是：

2、 方程2123

22212223()033324535

4435743

x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------==-------的根的个数为： 3、 N 元二次型11231...n n x x x x x x -+++（n 为奇数）的正、负惯性指数为：

4、 N 阶行列式1

23 (1)

20...0103...0...............

100...n n D n

=的第一行各元素的代数余子式之和

11121...n A A A +++=？

5、1234,,,αααα为4维列向量，1234(,,,)A αααα=，其中234,,ααα线性无关，

1232ααα=-，如果1234βαααα=+++，则线性方程组AX β=的通解为：

6、n 阶行列式1

11 (111)

11...11 (11)

1 (1111)

1 (1111)

1...11n D -------=---展开式中正项总数为： 7、设n 维行向量1

1(,0,...0,)22α=，矩阵T A E αα=-，2T B E αα=+，其中E 为n 阶

单位矩阵，则AB=

8、设4阶方阵2233442,34A B αβγγγγγγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，其中234,,,,αβγγγ均为4维行向量，且已知A =8， B =1，则A B -=

9、设A 为n 阶方阵A E ≠，且(3)()r A E r A E n ++-=，求A 的一个特征值为：

10、矩阵111111b A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

与000010004B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则a=（ ），b=（ ）；

二、（20分）设A 、B 为n 阶方阵且满足AB=A+B ，证明：AB=BA 。

三、（20分）设有两个线性方程组：11112211211222221122............n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1） 111212112122221122

1122...0...0......0 (1)

m x m n n n mn n m m a x a x a x a x a x a x a x a x a x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩ （2）

求证：方程组（1）有解的充要条件是方程组（2）无解。

四、（20分）设2R 中线性变换σ在基12(1,2),(2,1)αα==下的矩阵为1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，线性变换 τ在基12(1,1),(1,2)ββ==下的矩阵为3324⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

（1） 求στ+在基12,ββ下的矩阵；

（2） 求στ在基12,αα下的矩阵；

（3） 设(3,3)ξ=，求()σξ在基1,αα下的坐标；

（4） 求()τξ在基12,ββ下的坐标。

五、（20分）给定欧式空间V 的变换000()2(),,V V φααααααα=--∀∈∈是取定的单位元素。证明（1）φ是线性变换；（2）φ即使正交变换，又是对称变换；（3）0α是φ的一个特征向量，并求其对应的特征值。

六、（15分）设A ，B 是可换的n 阶实对称矩阵，且A ，B ，A+B 都可逆，证明： 111()A B A B ---+≠+

七、（15分）设,{}n n n n A P

W B P AB BA ⨯⨯∈=∈=。 （1）求证：W 是n n P ⨯的子空间；

（2）若A 的全体次数非零的不变因子为2,(1)λλλ-，求dim W 。