因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位

因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位

因式分解知识在课改前，系统、全面，占用了教材的大量篇幅，中、高考中涉及因式分解的知识或者技巧题占的比重较大，相当一部分学生在学习和应用因式分解知识花去大量时间，可是学习效果并不好。

为什么因式分解知识如此重要呢？这还得从数学运算说起。小学数学主要以数的计算为主，涉及简单的数的恒等变形，主要代表：分解质因数、乘法对加法的分配率逆运用（简便运算）。进入中学后不但增加了负数（从而增加了符号运算），还引入了字母表示数或事件，式的恒等变形就成为中学教材中的一个重要而且难学的内容之一了，式的变形已经贯穿于整个后续数学的全体，掌握好式的各种变形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后续学习数学的重要基础之一。因式分解作为多项式乘法的逆向变形，其作用远远超过了逆向变形这个看似作用不大的变形，它在后续学习中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的运算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、判别一个多项式的正负符号（比较两式的大小、探求函数的单调区间等）等。

课程改革以后，在初中教材中，因式分解的知识只介绍了最基本的内容：提取公因式法和公式法，所用课时在4节

课左右，在附录里介绍了x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)及其简单的运用。删除了十字相乘法和分组分解法，学生学习这部分知识轻松了，其连锁反应：分式的化简和异分母加减法变得非常简单，口算能力强的学生可以直接写出化简或者异分母加减运算的结果；由于去掉了十字相乘法，解一元二次方程时，去掉了因式分解法的方法，主要运用开平方法和公式法，使得原本可以用因式分解法来解的一元二次方程用开平方法或者公式法，所用解题时间增加一倍以上，本人认为删除因式分解法解一元二次方程是不应该的，因为这种方法还运用到“降次”的数学思想（属于转化思想之一：化繁为简），事实上绝大多数初中（或高中）数学教师都给学生补充讲解了十字相乘法和分组分解法。由于因式分解的地位十分重要，删减因式分解知识后，中考和高考的命题中很多涉及到因式分解知识的题都不能出现，或出现时很简单，命题时稍不留神本来就很简单的题也会让学生做不出来。以下举几个2010年的中考和高考题的例子来说明涉及因式分解知识的题目，出现了哪些问题。

一、2010中考题举例

例1：（重庆2010中考21题10分）

先化简，再求值：（■－4）÷■，其中x＝－1此题要求学生先进行式的运算，再求值，因式分解的知识全用上了：

取公因式法和公式法，化简后得x－2

代入x=－1，得结果：－3。可是如果直接将x=－1代入口算也可得出（－9）÷3=－3。为什么直接代入求值反而比先化简再求值还简单呢？原因就是因为所给的分式运算太

简单，因为因式分解知识的“缩水”所致。

还有（安徽2010中考15题（8分））先化简，再求值：（１－■）＋■其中a=－1，与重庆2010中考21题有类似的问题。

例2：（重庆2010中考18题6分）解方程：■＋■＝１（吉林2010中考19题8分）解方程：■＝■

这两道分式方程去分母后，都化为一元一次方程，非常简单，也与因式分解知识的“缩水”有关。

二、2010高考题举例

例3（2010年全国统一考试新课标理科数学（8）题5分）

设偶函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ）＝ｘ３－８（ｘ≥０），则｛ｘ｜ｆ（ｘ－２）＞０｝＝

(a)｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ＞４｝(b)｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ＞４｝

(c)｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ＞６｝(d)｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ＞２｝

解这道题如果先求f(ｘ)>0，涉及到立方差公式因式分解，降三次为一次和二次不等式，再平移，相对简单一些，如果先把（x-2）代入用二项式定理展开得一元三次不等式，要用到分组分解法才能因式分解从而降次，求出结果。两种方法所用的因式分解知识都远超现行初中教材所学，需要高中教师对因式分解知识进行补充。

例4（2010年广东高考文科数学（7）题5分）

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）

a. ■

b. ■

c. ■

d. ■

标准答案中，将b2=a2－c2代入化简后得：3a2－2ac－5c2=0

因式分解（a+c）（3a－5c）=0，降次：a+c=0（舍去），3a－5c=0．∴e=3/5，所用方法不但要用到十字相乘法，而且还是二次齐次式的十字相乘法，初中所学因式分解知识需扩充(当然可以先在二次齐次方程两边同除以a2后得到关于e的一元二次方程，仍用十字相乘法比求根公式法快)。同类型的题：2010全国高考i理科数学16题）．

例5（2010年浙江高考理科数学（8）题5分）

设f1，f2分别为双曲线■－■＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点p，满足ｐｆ２＝

ｆ１ｆ２，且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐（下转第８５页）（上接第８３页）近线方程为：

（a）3x±4y=0（b）3x±5y=0（c）4x±3y=0（d）5x±4y=0此题如果不用几何意义解答，用一般方法来解答，将出现双二次齐次方程（限于篇幅不写解法），用因式分解知识降次显得十分重要，特别是十字相乘法。