概率论与数理统计概率问题

概 率 问 题

一、真题解评

例1 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而 (1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件等于（ ）

（A ）}{(1)0T t ≥ （B ）}{(2)0T t ≥

（C ）}{(3)0T t ≥ （D ）}{(4)0T t ≥

解 事件}{(4)0T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界度0t ， }{(3)0T t ≥表示至少有两个温控器的温度不低于0t ，因此}{(3)0E T t =≥，故应选C 。

例 2 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：}{

1A =掷第1次出现正面，}{2A =掷第2次出现正面，}{3A =正反面各出现一次，}{4A =正面出现两次，则事件（ ）

（A ）123,,A A A 相互独立 （B ）123,,A A A 相互独立

（C ）123,,A A A 两两独立 （D ）123,,A A A 两两独立

解 据题意，得

1234124132312311211(),(),(),(),2242411()(),()(),()0.44

P A P A P A P A P A A P A P A A P A A P A A A ========== 于是，得

121213132323()()(),()()(),()()().P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A ===

但123123()()()().P A A A P A P A P A ≠因此,事件123,,A A A 两两独立但不相互独立.故应选C. 例3 对于事件A 和B,满足()1P B A =的充分条件是( )

（A ）A 是必然事件 （B ）()0P B A =.

（C ）A B ⊃ （D ）A B ⊂

解 ()1P B A =的充分必要条件是()1()

P AB P A =,即()()P AB P A =.显然,当然A B ⊂时, AB B =,

从而()()P AB P A =.故应选D.

例4 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后缺抽出两份.

(1)求先抽取的一份是女生表的概率p .

(2)已知后抽到一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .

解 设j B =“第j 次抽到的报名表是女生表” (1,2),t j A ==“报名表是第i 个地区的” (1,2,3),i =则123,,A A A 构成一个完备事件组,且

1112131

()(1,2,3),

33

7

5

(),(),().

101525i P A i P B A P B A P B A =====

(1)由全概率公式,得

3

111137529

()(),()(

)310152590i i i p P B P A P B A ====++=∑.

(2)因为

12122()

(),()

P

B B q P B B P B ==

而

3

12121

()()()i i i P B B P A P B B A ==∑

1377852029

(),31091514252490=⨯+⨯+⨯=

3

12121

()()()i i i P B B P A P B B A ==∑

1

7

6

87201941

(),31091514252490=⨯+⨯+⨯=

所以

2121261

()()(),90P B P B B P B B =+=

所以

122()

209020

.()90

6161P B B q P B ==⨯=

二、过关测试

1、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）

（A ）A B 与互不相容. （B ）A B 与相容.

（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()().P A B P A -=

2、从0,1…,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：

{13A =个数字中不含}{05,23A =和个数字中不含}05.和

3、考虑一元二次方程20x Bx C ++=，其中,B C 分别是将一枚骰子连接掷两次先后出现的点数。求该方程有实根p 和有重根概率q.

4、设,A B 为两个事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）

（A ）()().P A B P A += （B ）()()P AB P A =

（C ） ()().P B A P B = （D ）()()().P A B P B P A -=-

5、从1,2,3,4中任选一个数，记为X ，再从1,…,X 中任取一个数，记为Y ，则(2)P Y ==

6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为

8081，则该射手的命中率为

7、设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=，则（ ）

（A ）事件A 和B 互不相容. （B ）事件A 和B 互相对立.

（C ）事件A 和B 互不独立. （D ）事件A 和B 相互独立.

参考答案

⒈ D. ⒉ 12714(),().1515P A P A =

= ⒊191,.3618

p q == ⒋ A. ⒌ 13.48 ⒍ 2.3 ⒎ D.