FIR带通滤波器的设计成熟版

方案设计与论证 ...................................................... 8 程序流程图 .......................................................... 9
4 5
模块功能分析或源程序代码 ................................................. 9 调试过程及结论 .......................................................... 12 5.1 实验结果 ............................................................ 12 5.2 结果分析 ............................................................ 15
6 7 8
思考题 .................................................................. 15 心得体会 ................................................................ 16 参考文献 ................................................................ 17
N −1 n=0
−1
的 （N-1）
H (z) =
可得 FIR 滤波器的系统差分方程为：
Y (z) = X (z)
∑ h(n) z
−n
y (n) = b(0) x( n) + b(1) x(n − 1) + ⋯ + b( N − 1) x( n − N + 1) = ∑ b ( m ) x ( n − m) = b ( n ) ⊗ x ( n )
建立模型描述 ............................................................. 4 3.1 MATLAB 常用函数 ..................................................... 4 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.2 3.3 矩形窗函数 ..................................................... 4 三角窗函数 ..................................................... 5 广义余弦窗 ..................................................... 5 汉宁窗（升余弦窗） ............................................. 6 fir1 函数 ...................................................... 7 freqz 函数 ..................................................... 7 其他函数与命令 ................................................. 8
d
(e
jw
)。
H d (e jw ) 是 w 的周期函数，周期为 2π ，可以展开成傅氏级数：
H d (e jw ) =
使用上述的传递函数去逼近 H 反变换：
d
n = −∞
∑ h ( n )e
d
∞
− jwn
（公式 1-1）
jw
(e
jw
) ，一个理想的频率响应 H d ( e
) 的傅立叶
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建立模型描述
3.1 MATLAB 常用函数
3.1.1 矩形窗函数
矩形窗(Rectangular Window)函数的时域形式可以表示为：
1, w(n) = RN (n) = 0,
4
0 ≤ n ≤ N −1
（公式 2-1）
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它的频域特性为
目 录
1 2 技术要求 ................................................................. 1 基本原理 ................................................................. 1 2.1 2.2 3 FIR 滤波器简介 ...................................................... 1 窗函数法原理 ........................................................ 2
N −1 − j ω 2
W R e jω = e
( )
ωN sin 2 ω sin 2
（公式 2-2）
Boxcar 函数：生成矩形窗 调用方式 w = boxcar (n)：输入参数 n 是窗函数的长度；输出参数 w 是由窗函数的值 组成的 n 阶向量。从功能上讲，该函数又等价于 w = ones(n,1)。
xn (n) = x(n) w(n)
在频域上则有
（公式 1-3）
X N e jω =
( )
1 2π
∫
π −π
X e jθ ⋅ W e j(ω −θ ) d θ
( ) (
)
（公式 1-4）
由此可见，窗函数 w(n) 不仅仅会影响原信号 x(n) 在时域上的波形，而且也会影响到 频域内的形状。 MATLAB 信号工具箱主要提供了以下几种窗函数，如表 1 表1 MATLAB 窗函数
（公式 1-5）
这样两个肩峰点的相对衰耗分别是 0.74dB 和-21dB。其中（-0.0895）对应的点的值 定义为阻带最小衰耗。 以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键 在于改进窗函数。窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值 衰耗定义为： 旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值) 为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足： (1)主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带。 (2)尽量减少最大旁瓣的相对幅度，也就是能量集中于主瓣，以减小带内、带外波动 的最大幅度，增大阻带衰减。 一般来说，以上两点很难同时满足。当选取主瓣宽度很窄时，旁瓣的分量势必增加， 从而带内、带外的波动也增加了；当选取最小的旁瓣幅度时，降低了带内、带外的波动， 但是过渡带的陡度减小了。所以实际采用的窗函数其特性往往是它们的折中，在保证主瓣 宽度达到一定要求的前提下，适当牺牲主瓣宽度来换取旁瓣波动的减小 （公式 1-6）
1 hd ( n ) = 2π
2π
∫H
0
d
( e jw ) d
jω n
dω
（公式 1-2）
其中 hd ( n ) 是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计 FIR DF 用的 h(n)，因为 hd ( n ) 一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。为了设计出频响类 似于理想频响的滤波器，可以考虑用 h ( n ) 来近似 hd ( n ) 。 窗函数的基本思想： 先选取一个理想滤波器 （它的单位抽样响应是非因果、 无限长的） ， 再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果 FIR 滤波器。这种方法的重点是选 择一个合适的窗函数和理想滤波器。 设 x(n) 是一个长序列， w(n) 是长度为 N 的窗函数，用 w(n) 截断 x(n) ，得到 N 点 序列 x n (n) ，即
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FIR 带通滤波器的设计
1 技术要求
用窗函数法设计 FIR 带通滤波器。要求低端阻带截止频率ωls=0.2π，低端通带截止频 率ωlp=0.35π，高端通带截止频率ωhp=0.65π，高端阻带截止频率ωhs=0.8π。绘出 h(n)及 其幅频响应特性Biblioteka Baidu线。
jω FIR 滤波器的设计任务是选择有限长度的 h(n)， 使传输函数 H (e ) 满足技术要求。 FIR
滤波器的设计方法有多种，如窗函数法、频率采样法及其它各种优化设计方法，本次设计 使用窗函数法设计 FIR 带通滤波器。
2.2 窗函数法原理
数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化 为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波 器有多种分类，根据数字滤波器冲激响应的时域特征，可将数字滤波器分为两种，即无限 长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。IIR 数字滤波器具有无限宽 的冲激响应，与模拟滤波器相匹配。所以 IIR 滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的 基础上进一步变换的方法。FIR 数字滤波器的单位脉冲响应是有限长序列。它的设计问题 实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，设计方法主要有窗函数 法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。FIR 滤波器具有严格的相位特性，这对于语音信 号处理和数据传输是和重要的。目前 FIR 滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率 取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。常用的是窗函数法和切比雪夫等波纹逼 近的最优化设计方法。 因此设计 FIR 滤波器的方法之一可以从时域出发， 截取有限长的一段冲击响应作为 H(z) 的系数，冲击响应长度 N 就是系统函数 H(z)的阶数。只要 N 足够长，截取的方法合理，总 能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。 要设计一个线性相位的 FIR 数字滤波器，首先要求理想频率响应 H
/ N 。N 越大，过渡带越窄、越陡；
过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面 积之比。矩形窗情况下是 8.95％，与 N 无关。工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对 衰耗定义为：
A( w) = 20 lg[ H (e jw ) / H (e j 0 ) ] = 20 lg[ H ( w) / H (0) ]
m=0 N −1
因此，FIR 滤波器又称为卷积滤波器。FIR 滤波器的频率响应表达式为：
H (e
jω
)=
∑ h (n )e
n=0
N −1
− jω n
信号通过 FIR 滤波器不失真条件是在通带内具有恒定的幅频特性和线性相位特性。理论上 可以证明：当 FIR 滤波器的系数满足下列中心对称条件：
h(n) = h( N − 1 − n)
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基本原理
2.1 FIR 滤波器简介
数字滤波器包括 FIR（有限单位脉冲响应）滤波器与 IIR（无限单位脉冲响应）滤波器 两种。在现代信号处理技术中，例如数据传输、雷达接收以及一些要求较高的电子系统， 都越来越多地要求信道具有线性的相位特性。在这方面，FIR 滤波器具有独到的优点，它 可以在幅度特性随意设计的同时，保证精确、严格的线性相位特性。 FIR 滤波器的单位脉冲响应 h （ n） 是有限长的 （0≤n≤N-1） ， 其 z 变换为 z 阶多项式：
窗
矩形窗 三角窗 海明窗 汉宁窗 布莱克曼 切比雪夫窗 凯塞窗 加矩形窗后的频谱和理想频谱可得到以下结论：
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窗 函 数
Boxcar Triang Hamming Hanning Blackman Chebyshev Kaiser
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加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况下的过渡带宽 是 4π
或者
h ( n) = − h( N − 1 − n )
时， 滤波器设计在逼近平直幅频特性的同时， 还能获得严格的线性相位特性。 线性相位 FIR
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滤波器的相位滞后和群延迟在整个频带上是相等且不变的。 对于一个 N 阶的线性相位 FIR 滤波器，群延迟为常数，即滤波后的信号简单地延迟常数个时间步长。这一特性使通带频 率内信号通过滤波器后仍保持原有波形形状而无相位失真。