气体动力学理论1

伽尔顿板实验 少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
每掷一次出现点数是偶然的 掷骰子 掷少数次，点数分布有明显偶然性 掷大量次数，每点出现次数约1/6，呈现规律
共同特点： 1.群体规律：只能通过大量偶然事件总体显示出来， 对少数事件不适用。 2.量变—质变：整体特征占主导地位 注意： 统计规律 近似规律



dW 1
2）乘法定理 相容统计独立事件： 彼此独立，可以同时发生的事件 例： 同时掷两枚骰子 其一出现 2：
1 W2 6 6
同时发生
W2 3 1 1 1 6 6 36
另一出现 3： W 3 1
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独 发生时的概率之积
W A B W A W B
F Ii p S tS
• 个别分子服从经典力学定律 • 大量分子整体服从统计规律
推导思路：
考虑速度 v i v i dv i 的分子
(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器壁 （yz平面dS）的一次碰撞而产生的冲量
v i vi
z
dS
o
v i dt
x
vi
dS
x
v ix dt
( 3) 对所有 v x 0 分子求和
1 2 I i 2mv ni dt dS 2mv ix ni dt dS 2 i v ix 0
2 ix
（4）得理想气体压强公式
Ii 2 i p mvix ni dSdt n i 1 2 1 2 2 2 2 n m v x nm v n( m v ) n t 3 3 2 3 1 2 式中 t m v 为分子平均平动能 2
某时刻，教室里的空气分子集 中于左边，右边成为真空
不违反能量守恒定律的事件不是都能发生。
需要用概率理论描述和比较事物出现可能性的大小。
3.性质 1）加法定理 例：掷骰子 出现 2 :
3: W2 1 W3 1 6 6
W2 3
1 3
出现1—6： W=1 不可能同时出现的事件——互斥事件 出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出 现的概率之和： W A B W A WB 出现所有可能的互斥事件的总概率为1 归一化条件：
N , 涨落 ， N很大时，涨落可忽略;
N , 涨落 ， N太小时，统计规律失去意义。
N 4 99次 , 100次 , 102次 , 98次 ,
定量描述：误差理论（物理实验课）
应用：噪声、灵敏度、耗散结构…
4. 微观量和宏观量 对多粒子体系的两种描述： 宏观量： 以系统整体为研究对象，表征整体特征的 物理量 如： p、T、V、 mi、c 微观量 以系统内各子系为研究对象， 表征个别子系特征的物理量
分子数密度
N n V
处处相等
（2)分子沿各方向运动的概率相同 • 任一时刻向各方向运动的分子数相同
N x N y Nz ,
Nx Nx
• 分子速度在各个方向分量的各种平均值相同
v x v y vz ,
v v v
2 x 2 y
2 z
vx
vix
1
N
N
,
2 vx
2 v ix 1
V 1 t mv 2 2 n
2 p n t 3
与宏观量相联系的是微观量的统计平均值 五 理想气体温度公式 理想气体状态方程
M N pV RT RT NA
N R p T n kT V NA
R 玻尔兹曼常数 k 1.38 10 23 J/K NA
p nkT 2 p n t 3
v i 2v ix
x
v i v ix i v iy j v iz k
弹性碰撞：
v i
vi
v iy , v iz不变， v ix 方向相反
2mvix
设分子质量为 m，分子受器壁的冲量
一个分子一次碰撞对dS 的冲量的大小： I i 2mv ix
(2) 该速度区间所有分子在dt时间内给予器壁的总冲量
统计规律 个体规律简单叠加
3. 与宏观条件相关 如： 伽尔顿板中钉的分布， 4. 伴有涨落
二.
统计规律的数学形式——概率理论
1. 定义：
总观测次数
N
出现结果 A 次数
NA
NA W A lin N N
A 出现的概率
2.意义：描述事物出现可能性的大小 例如： 违反能量守恒定律的事件不可能发生 不违反能量守恒定律的事件是否都能发生呢？
如： pi、v i、mi、E i
关系 宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微 观量的统计平均值
5. 平衡态 不受外界影响时，宏观量不随时间变化的状态。 （不传热、不做功，内部无热核反应、化学反应） 注意：热动平衡(微观量变化,但其统计平均值不变)
四、理想气体的压强公式
从公式推导中领会经典气体运动理论的典型思想方法： 1)提出模型 2)统计平均 3)建立宏观量与微观量的联系 4)阐明宏观量的微观实质
同学们好!
通知：本周五交第九次作业！
第六篇
气体动力学理论
研究对象： 大量粒子组成的体系 子系 近独立：粒子相互作用能<<粒子自身能量: E E i
i
粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡 重点： M—B统计在理想气体中的应用 两个基本概念： p, T 麦克斯韦分子速率分布 玻尔兹曼粒子按势能分布 能均分定律
三、几个基本概念 1. 分布函数 例： 伽尔顿板实验
槽: 1, 2, 3, …...
粒子数: N1, N2, N3 …... N N i
i
1,2,3,4,...
x
粒子出现在第 i 槽内的概率为： N i Wi N 小球总数（大量）
Ni Wi 随槽的位置 x 变化，与槽宽 x 成正比 N Ni 小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率 N x
2） 刚体
y
决定质心位置 ( x , y , z )


t =3
z
o

c x , y, z
x
过质心转轴方位 ( , , 之二）
cos 2 cos 2 cos 2 1

刚体相对于轴的方位 ( )
r =2+1=3
最多6个自由度: i = t +r = 6 定轴转动刚体 : i=r=1
M M iWi
i
M MdW Mf x dx
物理量分布函数 变量间隔
例如：
v vdW vf v dv v v dW v f v dv
2 2 2
1 1 1 ( ) dW f v dv v v v
3. 涨落 实际出现的情况与统计平均值的偏差 例: 伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均 值附近起伏。 掷骰子：出现4，概率1/6，每掷 600次， 统计平均： N 4 100 次 实际
设速度vi vi dvi 的分子数密度
为 ni ( ni n )
i
z
y
该速度区间，在dt时间内，与 器壁相撞的分子数为：
vi
dS
ni v ix dt dS
该速度区间所有分子在 dt 时间 内给予器壁 dS 的总冲量为：
2mv ix ni v ix dt dS
1.基本概念： 统计规律， 分布函数， 统计平均值， 涨落， 宏观量， 微观量， 平衡态…
2. 理想气体 p、 T公式
p nkT ,
2 p n t 3
3 t kT 2
§6.2 能量均分定理与内能
三 .能均分定律 理想气体内能
理想气体分子的各种运动形式的平均能量按自由度均分
1. 模型的改进 推导压强公式： 理想气体分子——自由质点 讨论能量问题： 能否不考虑分子内部结构，仍采用 质点模型，为什么？
L L
dN
oo
x
x dx L
L
xx

L
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 统计平均值 例： 图示100人参加测试的成绩分布（满分50） 人数按分数的分布 Ng 总人数
N Ng
g
得分数 g 的概率
Ng N
分数平均值
1 g N
2
N
g
g
g
g
2
Ng N
g
分数值
分数平方平均值
g
g
Ng N
g
该分数出现 的概率
一般情况：
2 n m vix ni
4.阐述宏观量的微观实质
•压强是单位时间内所有气体分子施于单位面积容器 壁的平均冲量。 •压强公式是一个统计规律，离开“大量”、“平 均”，p失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的 压强。 观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS 足够大（宏观小，微观大）
分子数足够多
•压强公式反映了宏观量 p与微观量统计平均值n , t 的相互关系。 N
( )
3）气体分子 单原子分子—自由质点 i = t =3
双原子分子—轻弹簧联系的两个质点
质心位置 t=3 m1 , m2 连线方位 r 2 m1 , m2 相对于质心的位置 s 1
i trs6
刚性双原子分子
t=3 r=2
s=0
i =5
多原子分子（原子数 n ) 平动 t =3 最多可能自由度 i=3n 转动 振动 刚性多原子分子 t=3 r=3 r =3 s =3n-6
i=6
s=0
3 . 能均分定律
能量均分定理 1 分子每个自由度上都具有相同的平均动能，其值为 kT
分子的平均总动能:
i k kT 2
2
定性说明： 由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、 各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由 度均分。 1 1 3 2 2 2 2 由温度公式 t m v m( v x v y v z ) kT
概 率 密 度
该槽内小球数
Ni 概率密度 随 x 变化的函数关系——分布函数 N x
一般情况：
分布曲线 f(x)f(x)
dW f ( x) Ndx dx
曲线下窄条面积 dN S f ( x ) dx dW N 曲线下总面积
dW f ( x )dx dx dW 1 dx 0 0
N
N
v2
vi2
i
N

2 2 2 ( vix viy viz ) i
N


i
v2 x
N
2 x


i
v2 y
N
2 y

2 z

i
2 vz
N
v v v

2 x 2 y 2 z
1 2 v v v v 3
3.公式推导（建立宏观量与微观量的联系） 出发点: • 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果 • 压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的 平均冲量
总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度
i trs
1） 质点：只有平动，最多三个自由度 ( x , y, z )
it3
受限制时自由度减少
例： 飞机（视为质点 ）
t =3
轮船在海平面上行驶， 要描写轮船的位置至少需要 两维坐标，则自由度为
轮船
t =2
火车在轨道上行驶时， 自由度是多少呢？ 由于受到轨道限制， 自由度是 1. 火车 t =1
1.
模型的改进
平动
分子热运动
转动 分子内原子间振动
讨论能量问题：要包含转动和振动能量——质点组
各个分子无规运动，能量不断变化。 平衡态下，大量分子系统： 分子各种运动形式的能量分布及平均总能量均遵守
统计规律--各种运动形式的平均能量按自由度均分.
2 .自由度 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
1.建立模型－理想气体
宏观模型： 严格遵守三条实验定律
微观模型： 无规运动的弹性质点的集合
质点 理想气体 分 子 不计大小
自由质点 不计重量 分子 弹性质点 分子 分子 分子 器壁 分子 除相撞外无 相互作用 弹性碰撞
器壁
2.统计性假设（平衡态下） （1)分子处于容器内任一位置处的概率相同（均匀分布）
四个统计规律：
分子平均碰撞频率和平均自由程
基本观念： 宏观现象是微观过程统计平均的结果
§19.1
统计方法的一般概念
要点： 1. 复习统计方法的一些基本概念
2.
推导理想气体 p、T
公式
一、统计规律 ——大量偶然事件整体所遵从的规律
不能预测， 多次重复（大量出现）
例： 伽尔顿板实验
(演示实验室)
每个小球落入哪个槽是偶然的
3 t kT 2
•理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度， 是分子热运动剧烈程度的标志 •温度是大量分子热运动的集体表现，是统计性 概念，对个别分子无温度可言
t T , 与气体种类无关
T 0, t 0，意味着热运动停止
热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
小结