数学建模讲座 排队论模型

(2)
μ—— 排队系统的输出率
C自动扶梯——自动扶梯的 通过能力
d自动扶梯——自动扶梯的 净宽度
C楼梯——楼梯的通过能力
d楼梯——楼梯的净宽度
输出时间 t1表达式为：
t1

w
n
(3)
通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动 扶梯所组成的服务系统是一个定长输入、定 长输出的单通道排队系统，由n组楼梯和自动 扶梯布置在站台形成的乘客排队系统则是一 个定长输入、定长输出、多通道的排队系统 即：d/d/n排队系统。
load);L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; End
例2： Model: S=3;R=15;T=10/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; END
q w n
l
输入的时间 t0 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：
2wv
(1)
l
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处， 若楼梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使 用楼梯和自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占 用，不能为乘客提供服务时，乘客就会在此 等候楼梯和自动扶梯的服务，而且服务次序 为先到先服务。
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
等待制排队模型
等待制排队模型中最常见的模型是：
M/M/S/∞,
即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且 服从参数为λ 的负指数分布（即输入过程为过 程），服务台的服务时间也独立同分布，且服 从参数为μ 的负指数分布，而且系统空间无限， 允许永远排队
图2 两组自动扶梯布置位置示意图
此时站台上两组自动扶梯和下车乘客是一个d/d/2系统，对于每一个排队系统，其输入
率和输出率为： 2 w v = 2 441 0.64 =5人/s
μ=c自动扶梯×d自动扶梯+l c楼梯×d1楼14梯=2×1=2人/s
输入时间t0为：
l
114
t0 2 n v = 2 2 0.64 =44.53s
2.S=3 (M/M/S/∞)
例2：设打印室有3名打字员，平均每个文件的打印时间为 10min,而文件到达率为每小时15件，试求该打印室的主要数 量指标。
等待制排队模型实例
例1： Model: S=1;R=4;T=6/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-
3.顾客的平均逗留时间、队长和等待队长（little公式）
Ws= Wq+1/ μ =Wq+T Ls= λ · Ws=RWs Lq= λ·Wq=R Wq
等待制排队模型实例
1.S=1 (M/M/1/∞)
例1：某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务， 新来维修的 顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要 排队等待，假设来维修的顾客到达过程为Poisson流，平均每 小时4人，维修时间服从负指数分布，平均需要6min,试求该 系统的主要数量指标。
讨论：改变参数（1）下车人数比例为60%； （2）平面通道的通行时间分析
学生实验城市轨道交通进站检票机分析
教学目的：要求学生学会应用排队论的思想 分析实际问题
调查方案设计 统计特征分析 *排队系统参数分析 *排队系统仿真 背景介绍
排队系统的描述
服务系统
顾客总体 输入
队伍
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
与排队论模型有关的LINGO函数
1.@peb(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且允 许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率
2.@pel(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且不 允许排队时系统损失的概率，也就是顾客得不到服务离开的概 率
排输队出中时最间大t1为延：误时间t为1 ：n w
=
441 22
=110.25s
ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s 最大排队乘客数：
Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整)
排队乘客总的延误时间：
D=Q ts

1 2
(

) t0 (t1
等待制排队模型的基本参数
1.顾客等待的概率:Pwait=@peb(load,S), 其中S是服务台或服务员的个数，load= λ / μ =RT, 其中R= λ ,T= 1/μ ，R是顾客的平均到达率，T是平 均服务时间
2.顾客的平均等待时间：Wq= Pwait·T/(S-load), 其中T/(S-load)可以看成一个合理的长度间隔，
描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数 等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数
2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间 与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和 3.系统的忙期与闲期
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
t0——排队系统中输入结束时间 t1——排队系统中输出结束时间 λ——自动扶梯和楼梯口的输入率 μ——自动扶梯和楼梯口的输出率 Q0——输入时间结束时自动扶梯和楼 梯的输出量
Q1——自动扶梯口的全部输入量
在这个排队系统中采用近似的计算得出一些重要 的指标表达式为：
最大排队乘客数：
Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0
车站楼梯和自动扶梯处客流延时实例
以发车间隔2 min，6节编组的B型车为例，列车长 度114m，车厢定员245人，到站后30％ 的乘客下 车出站，乘客在站台上的走行速度取0.64 m/s。每 1m宽的自动扶梯
通过能力7 200人/h。 站台上布置两组自动扶梯供乘客出站，自动扶梯在
站台上的布置位置满足上面假设的原则，则自动扶 梯在站台上的布置位置如示意图2所示：
(4)
排队中最大延误时间：
ts=t1-t0 (若ts≤0，则表示没有排队产生) (5)
平均排队乘客数：
Q

1 2
(Q1

Q2 )

1 2
(

)
t0
(6)
排队平均延误时间：
排队乘客总的延误时间：
t

1 2
(t1

t0)
D=Q tsຫໍສະໝຸດ 1 2() t0 (t1

t0)
(7) (8)
服务台
输出
排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。
1.顾客源总体:有限还是无限
2.到达类型：单个到达还是成批到达
3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在 一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人 数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
乘客从站外经检票进入车站付费区，通过楼梯和自动扶梯到 站台，这是一个随机的过程。由于检票口与楼梯和自动扶梯 的通过能力相当，乘客进入站台，先受检票口通过能力约束， 使得超过检票口通过能力的客流被暂时堵在检票口外排队等 候检票，因此通过检票口的乘客不会因为楼梯和自动扶梯的 通过能力的约束而需要排队。
上述这个d/d/n排队系统可以近似的用图l来描述， 横轴表示时间，纵轴表示累 计输入或输出乘客数； 排队系统输入量曲线和输出量曲线分别如图所示， 它们对应的纵轴坐标就分别是累计输入乘客数和 累计输出乘客数，阴影部分的面积表示排队乘客 总的延误时间。
图1 d／d／n排队系统图形表示
图中参数的含义为：
但乘客在出站时，特别是在客流高峰，大量的乘客从列车上 下来，并且在较短的时间内通过楼梯和自动扶梯到达站厅出 站，必然存在一部分乘客在楼梯和自动扶梯处排队等候。
若乘客排队等候时间超过了列车发车间隔，则等候的乘客越 来越多，造成楼梯和自动扶梯处越来越堵。
1 乘客排队系统推导
在一列车到站后的发车间隔内，把从列车下到站台 的乘客看作服务对象，出站的楼梯和自动扶梯看作 服务通道，并对站台上的楼梯和自动扶梯以及乘客 作一些基本的假设：
梯处总有乘客在排队等候，而且人数越来越多，这 样就需要重新设计楼梯和自动扶梯的宽度。
通过对站台上客流状态进行假设，建立了楼 梯和自动扶梯处客流延时的d／d／n排队系统 模型，并推导出客流延时的指标公式。通过 预测的客流以及乘客在站台上行走的实际速 度，可估算出车站内最大乘客延误数量及延 误时间，有利于比较清楚地把握车站内乘客 延时状况。
数学建模讲座
排 队 论 应用
地铁车站楼梯和自动扶梯处客流延时分析
教学目的：利用排队论建立轨道交通车站楼梯和自 动扶梯处客流延时模型，得出客流延时的指标公式， 可为更清楚地了解车站楼梯和自动扶梯处的乘客延 时状况提供一定的理论依据。
楼梯和自动扶梯是轨道交通车站中主要的升降设施， 在客流高峰时，由于楼梯和自动扶梯的通过能力有 限，大量的乘客将会在楼梯和自动扶梯口处排队等 候，造成乘客进出站时间延长，弄清乘客在楼梯和 自动扶梯处的延时状况，有利于车站运营效益的充 分发挥。
排队服务系统的基本概念
服务机构：
1.服务台的数目 2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为
A/B/C/n， 其中 A表示输入过程，

t0)

1 2
134 65.72

73.38
min
对一个排队系统来说，最大的排队乘客数为134人， 排队乘客的总的延误时间为73、38 min，而对整个 站台来说，有两个这样的排队系统，因此在一列车 到来后的出站乘客
将会有268人需要排队等候，排队中最大的延误时 间为65.72s，所有乘客总的排队时间为146.76 min。 若排队系统中最大延误时间大于列车发车间隔，则 在楼梯和自动扶
输出过程： 由于楼梯和自动扶梯的通过能力 是一定的，以μ 表示楼梯和自动扶梯的输出 率μ (单位：人／s)。则排队系统的输出率 与 楼梯和自动扶梯的宽度相关，当楼梯和自动 扶梯的宽度确定后，每一组楼梯和自动扶梯 的输出过程是一个定长输出过程，其输出率μ 的具体表达式为：
c自动扶梯 d自动扶梯 c楼梯 d楼梯
(1)楼梯和自动扶梯沿着站台纵向均匀布置，且这种 均匀布置使乘客在站台上行走的距离最短。
(2)下车乘客平均分布于每节车厢中。 (3)所有下车乘客在站台上走行的速度是相等的，并
保持一定的速度。
把每组楼梯和自动扶梯及其吸引的客流看作为站台上的一 个排队系统，则在这个排队系统中：
输入过程：乘客以一定的速度从站台行走到距离自己最近 的楼梯和自动扶梯处寻求服务，以λ 表示乘客单位时间到 达楼梯和自动扶梯的人数，即排队系统的输入率λ (单位： 人/s)。每组楼梯和自动扶梯服务的乘客数为
排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
排队模型的表示：
X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。
M—负指数分布、D—确定 型、Ek —k阶爱尔朗分布。