第八章图与网络分析

v1 (0)
v2 (4) 5
4 4
v4(9)
7
9 v6 (13)
1 5
64
v3(6)
7 v5 (8) 6
5
1
v7(14)
v8 (14)
7）接着往下考察，有四条路可走：(v4 , v7 ), (v5, v7 ),
可选择的最短路为
(v6 , v7 ), (v6 , v8 ).
min{ k47 , k57 , k67 , k68} min{16,14,18,14} 14
长度为15。
第二讲：最短路问题的两个应用
最短路问题在图论应用中处于很重要的地位，下面举两个实 际应用的例子。 例12/P264 设备更新问题 某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使 用，购买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买 一套新的，要负购买费。试确定一个5年计划，使总支出最小
④ ⑤⑥
6）接着往下考察，有四条路可走：(v4 , v6 ), (v4 , v7 ),
可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k46 , k47 , k56 , k57} min{18,16,13,14} 13
① 给(v5 , v6 ) 划成粗线。 ② 给 v6 标号（13）。 ③ 划第6个弧。
vs , vt 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 vs 到
vt 的所有路中总权最小的路。即：
最小。
L() lij (vi ,v j )
最短路算法中1959年由 Dijkstra （狄克斯特洛）提出的 算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 Dijkstra算
法。下面通过例子来说明此法的基本思想。
条件：所有的权数 lij 0
思路：逐步探寻。
v2 5
v4
9
v6
4
4
1 75
v1
6
4
5
v8
1
v3
7
v5
6
v7
v2 5
v4
9
v6
4
4
v1 (0)
1
75
5
v8
①
64
1
v3
7
v5
6
v7
下求 v1 到 v8 的最短路： 1）从 v1 出发，向 v8 走。首先，从 v1 到 v1 的距离为0，给 v1
标号（0）。画第一个弧。（表明已 v1标号，或已走出v1 ） 2）从 v1 出发，只有两条路可走 (v1, v2 ), (v1, v3) ，其距离为
v2 (4) 5 v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v3(6)
7 v5 (8) 6
1
v7
③
④
4）接着往下考察，有四条路可走：(v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
(v3, v4 ), (v3, v5 ).
min{ k24 , k25, k34 , k35} min{9,8,10,13} 8
① 给(v2 , v5 ) 划成粗线。 ② 给 v5 标号（8）。 ③ 划第4个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v3(6)
7 v5 (8) 6
1
v7
③
④⑤
5）接着往下考察，有四条路可走：(v2, v4 ), (v3, v4 ),
可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
l12 4, l13 6.
v2 (4)
5 v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v3
7
v5
6
1
v7
可能最短路为
min{ k12 , k13} min{l12 , l13} min{ 4,6} 4
① 给 (v1, v2 ) 划成粗线。 ② 给 v2 标号（4）。 ③ 划第二个弧。
v3(6)
7 v5 6
1
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
① 给 (v1, v3) 划成粗线。 ② 给 v3 标号（6）。 ③ 划第3个弧。
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
ห้องสมุดไป่ตู้75
5
v8
① ②
64
v3(6)
7 v5 (8) 6
1
v7
③
v4 15
15
v5
v6
29
22
41
59
40
28
30
19
21
v1
12 v2 13 20 v3 14
v4 15
15
v5
v6
29
22
41
解：把这个问题化为最短路问题。
用点 vi表示第i年初购进一台新设备，虚设一个点 v6 ，表示第 5年底。 边 (vi , v j ) 表示第i年购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1 年底）。
第八章 图与网络分析
• 最短路问题 • 最短路的应用
第一讲： 最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。
最短路问题的一般提法是：设 G (V , E) 为连通图，图中
各边 (vi , v j ) 有权 lij ( lij 表示 vi ，v j 之间没有边）,
① 同时给 (v5, v7 ), (v6 , v8 )划成粗线。 ② 分别给 v7 , v8 标号（14）。
v1 (0)
v2 (4) 5
4 4
v4(9)
7
9 v6 (13)
1 5
64
v3(6)
7 v5 (8) 6
5
1
v7(14)
v8 (14)
最后，从 v8 逆寻粗线到 v1 ，得最短路： v1 v2 v5 v6 v8
v2 (4)
5 v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v3
7
v5
6
1
v7
表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1, v2 ) ，最优距离 是4 。
现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1, v2 的标号。
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与 维修费，如表8-2所示.
项目 购买费 机器役龄 维修费 残值
第1年 11 0-1 5 4
表8-2 第2年 第3年
12 13
1-2 2-3
6
8
3
2
第4年 14 3-4 11 1
第5年 14 4-5 18 0
59
40
28
30
19
21
v1
12 v2 13 20 v3 14