曲线积分及其与路径无关问题
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例1计算 ，其中
(1) 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。
(2) 为从 到点 的直线段.
解法1(1)由 知 不是 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用Байду номын сангаас式（3），这里 ， 从 变到 ，于是
= = = 。
解法2当把曲线 分成 与 两部分时，在每一部分上 都是 的单值函数。在 上 ， 由 变到 ；在 上， ， 由 变到 。于是
这里 , ,
有 = ,且 与 在全平面上有一阶连续偏导数.
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段 作为积分路径.于是
=
=
例4计算 ,其中 为:
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;
（2）以原点为圆心的任一圆周.
解这里 , ,
,且 与 在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.
若曲线 的方程为 对应于 的起点， 应于 的终点，则
= ；
若曲线 的方程为 对应于 的起点， 应于 的终点，则
= 。
同样，以上并不要求 ， 。
公式可推广到空间曲线 上对坐标的曲线积分的情形，
若空间曲线 的参数方程为 ，则
= 这里下限 为曲线 的起点所对应的参数值，上限 为曲线 的终点所对应的参数值。
（1） 这个曲线积分与路径无关,所以
.
（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周
的参数方程为 , ,
则 .
例5设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分 的值恒为同一常数.
（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 ；
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧 ： ,其线密度为 求弧 的质量 。
,
(2)若 ，则 = ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设 在曲线弧 上有定义且连续, 的参数方程为 ， ,其中 、 在 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且
=
特别,当 时, 表示曲线弧 的弧长。
当曲线弧 的方程为 ， 在 上有连续的导数，则 = ；
把线弧 的方程为 化作参数方程 ， ， =
2.第二型曲线积分
(1)第二型曲线积分的模型:设有一平面力场 ，其中 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 沿光滑曲线 运动到点 ，求力场的力所作的功 。
，
(2)设 为有向曲线弧， 为与 方向相反的有向曲线弧，则
。
用一元函数极值的方法得 时达到最小值 。
4.平面曲线积分与路径无关的条件
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：（曲线积分与路径无关问题）设 是 平面上的一个开区域， 以及 在 内具有一阶阶连续偏导数.如果对 内任意两点 与 ，以及 内从点 到点 的任意两条曲线 、 ，恒有 = ，则称曲线积分 在 内与路径无关。
（II） 设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 .
①
②
比较①、②两式的右端，得
由③得 ，将 代入④得
所以 ，从而
【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
5.二元函数的全微分求法
定义：若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数。
上式左端为闭区域 的面积 的两倍，因此计算有界闭区域的 面积的公式为:
。
例2计算星形线 所围图形的面积.
解由公式(2)得
=
= = .
例3在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲线从Ｏ到Ａ的线积分 的值最小。
解本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令 ，即AO直线段。
（II）求函数 的表达式.
【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求 的表达式，显然应用积分与路径无关即可.
【详解】 （I）
l2C
o X
l3
如图，将C分解为： ，另作一条曲线 围绕原点且与C相接，则
.
定理：以下条件等价
(1)在区域 内曲线积分与路径无关的充分；
(2) 内沿任一闭曲线的积分为零；
(3)设开区域 是一个单连通域，函数 以及 在 内具有一阶连续偏导数且 在 内恒成立；
(4) 为全微分．
例3计算 ,其中 是从点 经圆周
上半部到点 的弧段。
解直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.
判别法：设开区域 是一个单连通域，函数 以及 在 内具有一阶连续偏导数,则在 内 存在原函数的充分必要条件是等式 在 内恒成立。
求法：
一般取 .
例5验证在整个 在平面内 是存在原函数,并求出一个原函数。
解这里 , ,
且 在整个 在平面内恒成立,因此在整个 在平面内 存在原函数.
= = .
对于常微分方程 ,由上面可知这个微分方程的通解
即第二型曲线积分方向无关
(3)设 平面上的有向曲线 的参数方程为 ，当参数 单调地由 变到 时,曲线的点由起点 运动到终点 , 、 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ，函数 、 在 上连续，则曲线积分 存在，且
=
这里的 是曲线 的起点 所对应的参数值， 是曲线 的终点 所对应的参数值，并不要求 。
为 ( 为任意常数).
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
= +
= +
= =
(2) 直线 的方程为 , , 从 到 ,于是
= =
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3.格林公式及其应用
格林公式:设平面闭区域D由分段光滑的曲线 围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则
其中 是 的正向边界曲线。
在公式(1)中取 ，可得 ，
(1) 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。
(2) 为从 到点 的直线段.
解法1(1)由 知 不是 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用Байду номын сангаас式（3），这里 ， 从 变到 ，于是
= = = 。
解法2当把曲线 分成 与 两部分时，在每一部分上 都是 的单值函数。在 上 ， 由 变到 ；在 上， ， 由 变到 。于是
这里 , ,
有 = ,且 与 在全平面上有一阶连续偏导数.
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段 作为积分路径.于是
=
=
例4计算 ,其中 为:
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;
（2）以原点为圆心的任一圆周.
解这里 , ,
,且 与 在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.
若曲线 的方程为 对应于 的起点， 应于 的终点，则
= ；
若曲线 的方程为 对应于 的起点， 应于 的终点，则
= 。
同样，以上并不要求 ， 。
公式可推广到空间曲线 上对坐标的曲线积分的情形，
若空间曲线 的参数方程为 ，则
= 这里下限 为曲线 的起点所对应的参数值，上限 为曲线 的终点所对应的参数值。
（1） 这个曲线积分与路径无关,所以
.
（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周
的参数方程为 , ,
则 .
例5设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分 的值恒为同一常数.
（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 ；
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧 ： ,其线密度为 求弧 的质量 。
,
(2)若 ，则 = ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设 在曲线弧 上有定义且连续, 的参数方程为 ， ,其中 、 在 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且
=
特别,当 时, 表示曲线弧 的弧长。
当曲线弧 的方程为 ， 在 上有连续的导数，则 = ；
把线弧 的方程为 化作参数方程 ， ， =
2.第二型曲线积分
(1)第二型曲线积分的模型:设有一平面力场 ，其中 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 沿光滑曲线 运动到点 ，求力场的力所作的功 。
，
(2)设 为有向曲线弧， 为与 方向相反的有向曲线弧，则
。
用一元函数极值的方法得 时达到最小值 。
4.平面曲线积分与路径无关的条件
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：（曲线积分与路径无关问题）设 是 平面上的一个开区域， 以及 在 内具有一阶阶连续偏导数.如果对 内任意两点 与 ，以及 内从点 到点 的任意两条曲线 、 ，恒有 = ，则称曲线积分 在 内与路径无关。
（II） 设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 .
①
②
比较①、②两式的右端，得
由③得 ，将 代入④得
所以 ，从而
【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
5.二元函数的全微分求法
定义：若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数。
上式左端为闭区域 的面积 的两倍，因此计算有界闭区域的 面积的公式为:
。
例2计算星形线 所围图形的面积.
解由公式(2)得
=
= = .
例3在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲线从Ｏ到Ａ的线积分 的值最小。
解本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令 ，即AO直线段。
（II）求函数 的表达式.
【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求 的表达式，显然应用积分与路径无关即可.
【详解】 （I）
l2C
o X
l3
如图，将C分解为： ，另作一条曲线 围绕原点且与C相接，则
.
定理：以下条件等价
(1)在区域 内曲线积分与路径无关的充分；
(2) 内沿任一闭曲线的积分为零；
(3)设开区域 是一个单连通域，函数 以及 在 内具有一阶连续偏导数且 在 内恒成立；
(4) 为全微分．
例3计算 ,其中 是从点 经圆周
上半部到点 的弧段。
解直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.
判别法：设开区域 是一个单连通域，函数 以及 在 内具有一阶连续偏导数,则在 内 存在原函数的充分必要条件是等式 在 内恒成立。
求法：
一般取 .
例5验证在整个 在平面内 是存在原函数,并求出一个原函数。
解这里 , ,
且 在整个 在平面内恒成立,因此在整个 在平面内 存在原函数.
= = .
对于常微分方程 ,由上面可知这个微分方程的通解
即第二型曲线积分方向无关
(3)设 平面上的有向曲线 的参数方程为 ，当参数 单调地由 变到 时,曲线的点由起点 运动到终点 , 、 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ，函数 、 在 上连续，则曲线积分 存在，且
=
这里的 是曲线 的起点 所对应的参数值， 是曲线 的终点 所对应的参数值，并不要求 。
为 ( 为任意常数).
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
= +
= +
= =
(2) 直线 的方程为 , , 从 到 ,于是
= =
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3.格林公式及其应用
格林公式:设平面闭区域D由分段光滑的曲线 围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则
其中 是 的正向边界曲线。
在公式(1)中取 ，可得 ，