集合的基本运算——并集、交集

；qp＝＝2－3
.
点评：在解答集合的交、并运算时，常会遇 到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题．解答时应充 分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件， 有时也借助数轴分析处理．另外还要注意“空集” 这一隐含条件．
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a ＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
课堂总结
1．求两个集合的交集或并集时，要先看清两个 集合中的元素是什么；
2．善于借助Venn图、数轴解决集合问题，特 别是一些含字母的范围问题；
3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，这两个 性质非常重要，另外，在解决有条件A⊆B的集合问 题时，不要忽视A＝∅的情况．
②若2a－1＝－3，则a＝－1， 此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝ {－3}， 综上可知a＝－1. 点评：本题考查交集的定义，并考查集合中元 素的性质，注意分类讨论思想的运用，在确定集合 中的元素时，要注意元素的互异性这一属性以及是 否满足题意．
2．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或 x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
3．含参数的交、并集问题 (1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数 集、点集还是图形； (2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直 观地表示出来； (3)求出有关集合中方程、不等式的解，不能具 体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形 式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿 忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问 题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
解：∵A∪B＝A，∴B⊆A. 若B＝∅时，2a>a＋3，即a>3， 若 B≠∅时，2aa＋≥3－ ≤25 ，
2a≤a＋3 解得：－1≤a≤2， 综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a>3}．
误区解密 因没有明确描述法表示集合时的
代表元素而出错
【例4】 设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B
等于
()
A．{x|－5≤x<1}
B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x<1}
D．{x|x≤2}
答案：A
3．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y ＝3x－1}，则A∩B＝________.
解析：由yy＝ ＝x3＋ x－31 得xy＝＝52 ，
∴A∩B＝x，y|yy＝ ＝x3＋ x－31
2．交集 自然语言描述：对于两个给定集合A、B，由 _属__于__集__合__A_且__属__于__集__合__B_的元素组成的集合．
符号语言表示：A∩B＝{_x_|x_∈___A_，__且__x_∈__B_}． Venn图表示：
3．运算性质 (1)并集运算性质； A∪B＝B∪A；A∪A＝_A_；A∪∅＝_A_； A⊆B⇔A∪B＝B. (2)交集运算性质； A∩B＝B∩A；A∩A＝ _A_ ；A∩∅＝ _∅_ ； A⊆B⇔A∩B＝A.
③若A＝{2}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根2， 显然p＝－4，q＝4， 即p＝－4，q＝4时，A⊆B. ④若A＝{1,2}，则x2＋px＋q＝0的两根为1,2， 由根与系数的关系易求出p＝－3，q＝2， 即p＝－3，q＝2时，A⊆B. 综上可知，p，q满足条件为p2<4q；
p＝－2 q＝1
；qp＝＝4－4
点评：求两个集合的交集依据它们的定义，借 用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情 况，有利于准确写出交集．
1．(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则
A∪B等于
()
A．{x|x>－2}
B．{x|x>－1}
C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}
(2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B.
＝x，y|yx＝＝52
＝{(2,5)}．
答案：{(2,5)}
4．已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}， 则Q∪Z＝________.
解析：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝ {x|x是有理数}＝Q.
答案：Q
要点阐释
1．正确理解“且”、“或”的内涵 (1)“且”即“并且”、“而且”，“x∈A且x∈B”，即 x是A与B的公共元素； (2)并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义 是不同的，生活用语中的“或”是“或此”、“或彼”， 只居其一，并不兼有；并集概念中的“或”是“或 此”、“或彼”、“或此彼”，可以兼有．“x∈A或 x∈B”包含三种情形：①x∈A且x∈B；②x∈A但 x∉B；③x∈B但x∉A.这三部分元素构成了A∪B.
自主探究
1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就 没有交集？
答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的 交集仍存在，此时A∩B＝∅.
2．怎样理解并集概念中的“或”字？对于 A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所 组成的集合？
答：其中“或”字的意义，用它连接的并列成分 之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”这一条 件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B，x∈B，但 x∉A；x∈A，且x∈B.
＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于
()
A．{(0,2)，(1,2)} B．{0,1}
C．{1,2}
D．{y∈R|y≥1}
错解 1：解方程yy＝＝xx2＋＋11 得xy＝＝10 或
x＝1 y＝2
，故选 B.
错解2：在解方程组的基础上，注意到M、N中 代表元素是y，故选C.
错因分析：没有理解集合的描述法的含义，元 素的表达式符号是“y”，而不是“(x，y)”，有的同学 盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标，其实质 是误将元素表达式“y”理解成“(x，y)”．
解析：(1)画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．
答案：A
解：(2)如图所示，
当a<－2时，A∪B＝A； 当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}； 当a≥2时，A∪B＝{x|－2<x<2或x>a}．
题型二 已知集合的交集、并集求参数 【例2】 设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3, 2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a. 解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B. ∵a2＋1≠－3， ∴①若a－3＝－3，则a＝0， 此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}， 但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾， ∴a≠0.
(3)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一 个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．
2．交集与并集的性质 (1)A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A； A∩B⊆A；A∩B⊆B. (2)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝B⇔A⊆B. (3)A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A； A⊆A∪B；B⊆A∪B；A∩B⊆A∪B.
对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的 所有元素所组成的集合，违反了集合中元素的互异 性．因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一 个．
预习测评
1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B等于( )
A．{1,2,2,3}
B．{2}

C．{1,2,3}
D．∅
答案：C
2．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B
集合的基本运算
并集、交集
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两 个简单集合的并集与交集.
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体 会直观图示对理解抽象概念的作用．
自学导引
1．并集 自然语言描述：“对于两个给定集合A、B由 _属__于__集__合__A_或__属__于__集__合__B__的元素组成的集合”． 符号语言表示：A∪B＝{_x_|x_∈__A__，__或__x_∈__B_}． Venn图表示：
典例剖析
题型一 交集、并集的运算 【例1】 求下列两个集合的并集和交集． (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}； (2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}． 解：(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}， A∩B＝{1,2,3}．
(2)结合数轴(如图所示)得： A∪B＝R，A∩B＝{x|－5<x<－2}．
正解：A＝{y∈R|y≥1}，B＝{y∈R|y∈R}， ∴A∩B＝{y∈R|y≥1}， 故选D. 答案：D
纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示 的，要首先明确代表元素是什么，再看元素的属 性，从而确定该集合表示的意义，是数集，还是点 集，是x的取值范围还是y的取值范围，解决这一类 问题时，一定要抓住集合及其元素的实质．
解：由a<a＋8，又B＝{x|x<－1或x>5}， 在数轴上标出集合A、B的解集，如图．
要解使得－A∪3≤B＝a<R－，1则. aa＋ <－8≥1 5 ， 综上可知：a的取值范围为－3≤a<－1.
题型三 交集、并集性质的运用 【例3】 若A＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}，B＝ {x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，A∪B＝B，求p，q满足的 条件． 解：B＝{1,2}，而A∪B＝B，则A⊆B， 故A＝∅或A＝{1}，{2}，{1,2}． ①若A＝∅，则x2＋px＋q＝0无解， 即Δ＝p2－4q<0，∴p2<4q时，A⊆B. ②若A＝{1}， 则x2＋px＋q＝0有两相等实根1， 显然p＝－2，q＝1， 即p＝－2，q＝1时，A⊆B.