沪科版八上数学第5课时 用HL判定直角三角形全等
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状元成才路
状元成才路
例7 已知：如图∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB，求 证：AB=DC. 证明 ∵∠BAC=∠CDB=90°（已知） ∴△BAC,△CDB都是直角三角形 又∵AC=DB（已知） BC=CB（公共边） ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL） 状元成才∴路 AB=DC（全等三角形的对应边相等）
D
（2）BM=DN成立吗？为什么？
CN
状元成才路
A EM
B
状元成才路
2.求证：两个全等三角形对应边上的中线相等. 3. 求证：两个全ห้องสมุดไป่ตู้三角形对应角的平分线相等.
状元成才路
状元成才路
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
状元成才路
状元成才路
第5课时 用HL判定直角三 角形全等
沪科版·八年级上册
状元成才路
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角. A
求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，
A'C'=AC，A'B'=AB.
C
B
状元成才路
状元成才路
作法：
（1）作∠MC'N=∠C=90°；
（2）在C'M上截取C'A'=CA;
M
（3）以A'为圆心、AB长为半径画弧， A'
状元成才路
1. 已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC， AB=CD.求证：AB//DC.
D
A
O
C
B
状元成才路
状元成才路
证明：∵ AC⊥BD于点O，
∴∠AOB=∠DOC=90°
△AOB和△COD都是直角三角形
D
∵ OA=OC，AB=CD. ∴△AOB≌△COD
A
O
C
∴∠A=∠C
状元成才路 ∴AB//DC.
状元成才路
状元成才路
在△ABD和△A′B′D′中 ∠B=∠B′(已证) ∠ADB=∠A′D′B′（已证） AB=A′B′（已证） ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS) ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）
状元成才路
状元成才路
1. 已知：如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC.
（1）求证：△ABC≌△ADE；
交C'N于点B'；
（4）连接A'B'.
则Rt△A'B'C'就是所求作的直角三角形.
C'
状元成才路
B' N
状元成才路
A
M A'
状元成才路
C
B
C'
B' N
将画好的Rt△A‘B’C‘与Rt△ABC叠一叠，看看 它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
状元成才路
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角 形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.
状元成才路
例9 证明：全等三角形的对应边上的高相等. 已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是 △ABC和△A′B′C′的高. 求证：AD=A′D′.
状元成才路
状元成才路
证明 ∵△ABC≌△A′B′C′（已知） ∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边、对应角相等） ∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）
状元成才路
状元成才路
证明 在△ABC和△CDA中 AB=CD(已知)
∵ BC=DA（已知） CA=AC（公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)
状元成才路
状元成才路
在△BCF和△DAE中 BC=DA(已知)
∵ ∠1=∠2（已证） CF=AE（已知）
∴△BCF≌△DAE(SAS) ∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)
B
状元成才路
2. 已知：如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE，猜想 ∠AOP与∠BOP有什么关系？试说明理由.
A
∠AOP= ∠BOP
D P
状元成才路
O
E
B
状元成才路
状元成才路
例8 已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是 AC上的两点，且AE=CF. 求证：BF=DE. 分析 本题需要两次证明三角形全等， 首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出 ∠1=∠2，再由“边角边”定理证明 △DAE≌△BCF，最后证出BF=DE.
状元成才路
例7 已知：如图∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB，求 证：AB=DC. 证明 ∵∠BAC=∠CDB=90°（已知） ∴△BAC,△CDB都是直角三角形 又∵AC=DB（已知） BC=CB（公共边） ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL） 状元成才∴路 AB=DC（全等三角形的对应边相等）
D
（2）BM=DN成立吗？为什么？
CN
状元成才路
A EM
B
状元成才路
2.求证：两个全等三角形对应边上的中线相等. 3. 求证：两个全ห้องสมุดไป่ตู้三角形对应角的平分线相等.
状元成才路
状元成才路
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
状元成才路
状元成才路
第5课时 用HL判定直角三 角形全等
沪科版·八年级上册
状元成才路
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角. A
求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，
A'C'=AC，A'B'=AB.
C
B
状元成才路
状元成才路
作法：
（1）作∠MC'N=∠C=90°；
（2）在C'M上截取C'A'=CA;
M
（3）以A'为圆心、AB长为半径画弧， A'
状元成才路
1. 已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC， AB=CD.求证：AB//DC.
D
A
O
C
B
状元成才路
状元成才路
证明：∵ AC⊥BD于点O，
∴∠AOB=∠DOC=90°
△AOB和△COD都是直角三角形
D
∵ OA=OC，AB=CD. ∴△AOB≌△COD
A
O
C
∴∠A=∠C
状元成才路 ∴AB//DC.
状元成才路
状元成才路
在△ABD和△A′B′D′中 ∠B=∠B′(已证) ∠ADB=∠A′D′B′（已证） AB=A′B′（已证） ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS) ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）
状元成才路
状元成才路
1. 已知：如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC.
（1）求证：△ABC≌△ADE；
交C'N于点B'；
（4）连接A'B'.
则Rt△A'B'C'就是所求作的直角三角形.
C'
状元成才路
B' N
状元成才路
A
M A'
状元成才路
C
B
C'
B' N
将画好的Rt△A‘B’C‘与Rt△ABC叠一叠，看看 它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
状元成才路
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角 形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.
状元成才路
例9 证明：全等三角形的对应边上的高相等. 已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是 △ABC和△A′B′C′的高. 求证：AD=A′D′.
状元成才路
状元成才路
证明 ∵△ABC≌△A′B′C′（已知） ∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边、对应角相等） ∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）
状元成才路
状元成才路
证明 在△ABC和△CDA中 AB=CD(已知)
∵ BC=DA（已知） CA=AC（公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)
状元成才路
状元成才路
在△BCF和△DAE中 BC=DA(已知)
∵ ∠1=∠2（已证） CF=AE（已知）
∴△BCF≌△DAE(SAS) ∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)
B
状元成才路
2. 已知：如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE，猜想 ∠AOP与∠BOP有什么关系？试说明理由.
A
∠AOP= ∠BOP
D P
状元成才路
O
E
B
状元成才路
状元成才路
例8 已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是 AC上的两点，且AE=CF. 求证：BF=DE. 分析 本题需要两次证明三角形全等， 首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出 ∠1=∠2，再由“边角边”定理证明 △DAE≌△BCF，最后证出BF=DE.