基于构造函数的放缩法证数列型不等式问题的教学设计.doc

基于构造函数的放缩法证数列型不等式问题的教学设计

教学内容分析

证明数列型不等式， 因其思维跨度大、 构造性强， 需要有较高的放缩技巧而充满思考性

和挑战性， 能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力， 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。 这类问题的求解策略往往是： 通过多角度观察所给数列通项的 结构，深入剖析其特征，抓住其内在的函数规律进行恰当地放缩 .

一、

学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度， 学生学习兴趣较高， 已经掌握了基本的数列求解问题的技巧，对于构造函数这方法，知道大致思路，但是不明确如何有效合理的构造能帮助解题， 计算能力不是太过硬 .

二、

设计思想

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、

生活中的实际问题出发， 发现问题， 思考如何解决问题， 进而联系所学的旧知识， 首先明确问题的实质， 然后总结出新知识的有关概念和规律， 形成知识点， 把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、

主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。 基于以上理论， 本节课遵循引导发现， 循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

具体流程如下：

创设情景（课前准备、引入实例）→授新设疑→质疑问难、论争辩难（进一步加深理解→突破难点）→沟通发展（反馈练习→归纳小结）→布置作业

四、教学目标

理解构造函数的功能，通过模仿、操作、探索，学习构造函数达到放缩的目的，以此来

解决问题， 发展有条理的思考与表达的能力，

提高逻辑思维能力； 能运用构造函数的放缩法

解决数列型不等式问题，增强学生的创新能力和应用数学的意识 .

五、教学重点与难点

重点：理解构造函数的目的， 厘清构造函数与问题所需放缩的方向， 最终完成合理构造难点：如何构造出符合题情的函数，如何放缩

六、教学过程设计

第一部分——问题引入 求证：

ln 2

ln 3 ln 4 ln 3n n

5n 6 N * )

. 2

3

4

3n

3

( n

6

【师生互动】 ：师生一起观察本例， 试图确定本题所考查的知识点 ( 数列、不等式、 函数等 ) ，

所考查的数学思想方法（化归与转化的思想、函数的思想、特殊与一般的思想等）

，所考查

的具体解题方法（放缩法等） ；还有引导学生能不能把问题简化，或者换一种方式方法来表

达，我以为理解题目不应只局限于“未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？” ，而

应体现在学生是否能用自己的语言复述题目， 或者能用一幅图、 一条线段图、 一些符号来表示对题意的理解。

【设计意图】 ：高三学生已经具有相当的数列和函数知识，因此选择这个中档问题为例，以

期能唤起学生解答题目的欲望，

应该有助于学生对本节知识的发生发展的理解， 以期揭示此

类问题的解法本质 .

第二部分——回顾放缩法

【师生互动】 ：根据此前师生一起探讨出来的此题可能要用到的放缩法，教师让学生按分组

自行探讨回忆， 竟可能的梳理出平时有涉及到的放缩的一些结论，

或者方法技巧， 或者相关

的典型例题等，经过师生努力后得到如下常用结论或者是已证过的例子：

（1）

1

4

4 2

1 1 1 1 ；

n 2

4n 2

4n 2

1 2n 2n

（ 2） 2( n 1

n )

1

2( n

n 1) ；

n

1

n

n 1( n

2) ；

（ 3）

1)

n(n

（ 4） 2n 1

2 2n

(3 1) 2n 3

3(2n

1) 2n

2n 1 2n

1

1 2n ；

32n

3

（ 5） (1 1

)n

1 1

1 3 1 L

1

1) 5

等 .

n

2 1 2

n(n 2

n

2

的值 ;

（ 2）求证 :

n

1 5 . 例（ 1）求

k 1

4k 2

1

k 1 k

2

3

附：解 : （1）因为

2

2

1 1

,

4n 2 1 (2 n

1)(2n 1)

2n 1 2n

1

n

2

1 2n

所以

1

1

4k 2

2n 1 2n 1

k 1

（2）因为

1

1

4 2

1

1 ,

n 2

n 2

1 4n

2 1 2n 1 2n 1

4

所以 n

1

12

11

L 1

1 1

2 5

k 1 k

2

3 5

2n 1 2n 1 3 3

【设计意图】 ：通过对放缩法的回顾与整理，让学生尽量找到解题的“题感” ，数学题的“数