(完整版)不定积分解题方法及技巧总结,推荐文档

不定积分解题方法总结
⎰
摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。

然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。

本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。

本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。

（这就不多说了~）2.第一类换元法。

（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。

则
C
x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中可微。

)(x ϕ用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2：例1：⎰
+-+dx
x x x
x )
1(ln )1ln(【解】)
1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=
-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2
)ln )1(ln(2
1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰
+dx
x x x 2
)ln (ln 1【解】x
x x ln 1)'ln (+=C
x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1
)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：
设是单调、可导的函数，并且具有原函数，)(t x ϕ=)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠则有换元公式
⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：
acht
x t a x t a x a x asht
x t a x t a x a x t
a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：t
x c bx ax x t d
cx b
ax d cx b ax t
b ax b ax m n n
n
n 1
)6()5()4(2=++⋅=++++=++ （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

t C
x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)
cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
c x dt t dt
t
t dt t t t
dt t t
t t
x x x
dx +-
=--=--=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅
=
--⎰
⎰⎰⎰⎰66
12
12
5
12
6
212
12arcsin 6
1
11
6
1
111
11
1
11
1
代去根号。

t C
x x x C t t t tdt t t tdt t x t ++-=++-=--==⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)
cos cos (2sin 2 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
c x dt t dt
t t dt t t t
dt t t
t t
x x x
dx +-
=--=-
-=--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅
=
--⎰
⎰⎰⎰⎰66
12
12
5
12
6
212
12arcsin 6
1
11
6
1
111
11
1
11
1
4.分部积分法.
公式：⎰⎰-=ν
μμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取时，通常基于以下两点考虑：
νμ、（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dx
x
x x ⎰
-⋅2
31arccos 【解】观察被积函数，选取变换,则
x t arccos ==
-=-=-⎰⎰⎰
tdt t dt t t t
t dx x x x 332
3cos )sin (sin cos 1arccos C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(3
1
3291cos 91
cos 32sin sin 31cos )1sin 31
(sin sin 31)sin sin 31
(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332
例4：⎰xdx 2arcsin 【解】
⎰⎰--=dx
x
x
x x x xdx 2
2
211arcsin 2sin arcsin
C
x x x x x dx x
x x x x x x xd x x +--+=
----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22
222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在中，的选取有下面简单的规律：
⎰⎰-=νμμννμd d νμ、选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x
x e x P x x x ax ax e x P ax m ax m ======将以上规律化成一个图就是：
但是，当时，是无法求解的。

x x arcsin ln ==νμ，对于（3）情况，有两个通用公式：
C bx b bx a b
a e dx bx e I C
bx b bx a b a e dx bx e I ax ax
ax
ax
+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2
222
21（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）
5 不定积分中三角函数的处理
1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

被积函数上下同乘变形为⎰+dx x
x 2
2cos sin 1
x sin
()()
()
⎰
⎰+--=+x x x xd dx x x cos 1cos 1cos cos cos sin 12令，则为
x u cos =
()
()()
()()()c
x x c
x x
x du u u u u u udu +-=+-+-+-=--+-+=+--
⎰⎰2
sec 412tan ln 21cos 1cos 1ln 41cos 121)141
141121(11222
22.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意的1cos sin 22=+x x 使用。

()()c x x x x dx
x x dx x
x x x dx x x x x +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=+-+=+⎰⎰⎰82tan ln 221cos sin 21)4/sin(2cos sin 21cos sin 1
cos sin 21cos sin cos sin 2
ππ 三角函数之间都存在着转换关系。

被积函数的形式越简单可能题目会越难，
适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

3. 函数的降次
①形如积分（m ，n 为非负整数）的cos sin ⎰xdx x n m 当m 为奇数时，可令，于是x u cos =
，
(
)
⎰⎰⎰----=-=du u u
x xd x dx x x n m n
m n m 2
1
2
1
1cos cos sin cos sin 转化为多项式的积分
当n 为奇数时，可令，于是x u sin =
，
(
)⎰⎰⎰---=
=
du u u x xd x xdx x u m
n m
n
m
2
1
2
1
1sin cos
sin
cos sin
同样转化为多项式的积分。

当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
,
2
2cos 1cos ,
22cos 1sin ,2sin 21
cos sin 22x
x x
x x x x +=-==
不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如和的积分（n 为正整数）
⎰xdx n tan ⎰xdx n cot
令，则，，从而
xdx u tan =u x arctan =2
1u du
dx +=
⎰⎰
+=
,1tan
2
du u
u xdx n
n
已转化成有理函数的积分。

类似地，可通过代换转为成有理函数的积分。

⎰xdx n cot x u cot =③形如和的积分（n 为正整数）⎰xdx n sec ⎰xdx m csc 当n 为偶数时，若令，则，于是x u tan =2
1,arctan u
du
dx u x +=
=
(
)(
)(
)⎰⎰⎰⎰-+=++=
+=
du
u du u
u dx x xdx n
n
n
n
1
222
2
22
2
111
1tan 1sec
已转化成多项式的积分。

类似地，可通过代换转化成有理函数的积分。

⎰xdx n csc x u cot = 当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

()c
x x x x xdx x x x x xd x xdx x x dx x x xdx x +--=+-=-=
-=-⋅
=
⎰⎰⎰⎰⎰2cos 8
1
2sin 41412sin 4
1
2sin 41412sin 41412cos 21
4122cos 1sin 22222
5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分
有理函数
先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干)()(x Q x P )()(*x Q x P )
()
(*x Q x P 个部分分式之和。

（对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现
时，记得用递推公式：⎰+=n
n x a dx
I )
(22）
121222)
1(23
2))(1(2----++-=
n n n I n a n a x n a x I
1.有理真分式化为部分分式之和求解①简单的有理真分式的拆分
(
)
c x x dx
x x x dx x x ++-
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=
+⎰⎰4434
1ln 4
1
ln 1111
②注意分子和分母在形式上的联系 ()
()
()()()()
c
x x c t t dt t t
t t dt x t x x dx x x x dx
++-=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
+=+=+⎰⎰⎰⎰3
3ln ln 33ln 3ln 3113
1
3337
77
7
767
此类题目一般还有另外一种题型：
()
c x x dx x x x dx x x x +++=
+++=
+++⎰
⎰
52ln 2
1
5
22
221
5
2122
22.注意分母（分子）有理化的使用
()()C x x x x x x dx
++-+=--
+=
-+
+⎰
⎰
23
233212
1
321214
1
2321
232例5：dx
x x x x x ⎰+--+2
23246)1(2
4【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 2
2
322)1(2
41++-+x x x x x 2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211x
dx x x x xdx x x x dx x x x C x dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μC x x C d d d ++-=+-+=+-=+-+=++⎰⎰⎰)
1(1111))1(11()1()1()1(12222
2222
222μμμμμμμμμμμμμμ故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分
万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧
+-=
+=2tan 12tan 1cos 2tan 12
tan 2sin 22
2x x
x x x x 的积分，但由于计算较烦，化为有理函数可用变换2
tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰应尽量避免。

对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成。

再用待定系数 x
x
x x sin cos cos sin 或
来做。

（注：没举例题并不代表不重要~）
x
b x a x b x a B x b x a A sin cos )
sin'cos'()sin cos (++++（3）简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。

如：同时出现时，可令；同x x +1和t x 2tan =时出现时，可令；同时出现时，可令x x -1和t x 2sin =x x arcsin 12和-x=sint ；同时出现时，可令x=cost 等等。

x x arccos 12和- （4）善于利用，因为其求导后不变。

x e ()()
()
(
)
()()c xe
xe c
t t
dt t t xe t xe
d x
e xe dx xe x e x e dx xe
x x x
x
x x
x
x x x x x
++=++=+=+=
++=++⎰⎰
⎰⎰1ln 1ln 11111111
这道题目中首先会注意到，因为其形式比较复杂。

但是可以发现其求
x xe 导后为与分母差，另外因为求导后不变，所以容易想到分子分母x x xe e +x e x e 同乘以。

x e （5）某些题正的不行倒着来
c
y y ydy ydy y y
y
y u du u u du u
u u u u ud du u u
u du u u
u
u u x dx x x +-==
⋅⋅=---
-=
-=
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
tan tan
tan sec sec tan sec 11
ln 11ln 1
ln 11
1ln 1sin sin sin ln 2
222
2
2
22
22
()(
)c
x x x x xdx x x dx
x x
x x x x x xd x x x xd +---=+-=+
-=+-=-=⎰⎰⎰⎰cot sin ln cot cot sin ln cot sin cos sin cos sin ln cot sin ln cot sin ln cot cot sin 原式2 这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用，然而这样x u sin =的换元方法是解不出本题的。

我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当
这类一般的换元法行不通时尝试下。

这种思路类似于证
x u sin =x u
sin 1
=明题中的反证法。

（6）注意复杂部分求导后的导数
()()
⎰⎰
-+=-+dt e
t t t x t dx x x x x x t
22212
ln ln 21ln 2ln 注意到:
()
t
t
t t
t t t e t t e t y e t t e t t y e t t e t e t y 22333233212121222261--=
--=
---=
()
3
2123-212
y y y e t t t t
-=-+
()
()
()()()
c
x x e x x c
t t e t t dt
e t t e t dt e t t e t t dt e t t e t e t dt e
t t t x t
t t
t t t
t
t t
+---=+---=---------=-+∴⎰⎰⎰⎰ln ln 3ln ln 2ln ln ln 32ln 21213222261212
ln 3
322333322本题把被积函数拆为三部分：
，
的分子为分母的导数，
的值为
3
21
,
,y y y 1
y 2
y
1，的分子为分母因式分解后的一部分。

此类题目出现的次数不多，一般在3y 竞赛中出现。

（7）对于型积分，考虑的符号
⎰=/++)0(),(2a dx c bx ax x R ac b 42
-=∆来确定取不同的变换。

如果，设方程两个实根为，令0>∆02=++c bx ax βα,
，
()∂-=++x t c bx ax 2可使上述积分有理化。

如果，则方程没有实根，令0<∆02=++c bx ax
，
t x a c bx ax ±=++2可使上述积分有理化。

此中情况下，还可以设
，
c xt c bx ax ±=++2至于采用哪种替换，具体问题具体分析。