第一类换元积分法

§3.3第一类换元积分法

教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。

重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用 教学过程：

一、问题的提出

不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。

二、第一类换元积分法（凑微分法）

我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。

定理设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式

⎰⎰=='⋅)

(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ

证明设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=C

u F +)(.

又因为是关于的可导函数)(x u ϕ=,所以有

⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ 又)

(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ

从而推得⎰⎰=='⋅)

(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕ

ϕϕ证毕

推论若⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=C

u F +)(.也成立，其中为的任一可

导函数

该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量换为的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。

该方法的关键在于从被积函数

)()]([x x f ϕϕ'中成功地分出一个因子)(x ϕ'与凑

成微分)(x d ϕ，而剩下部分正好表成)(x ϕ的函数，然后令u x =)(ϕ，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。

通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。

三、第一类换元积分法的一般步骤:

若某积分⎰dx x g )(可化为

⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ的形式,且⎰du u f )(比较容易积分,那么

可按下列的方法和步骤来计算所给积分

⑴凑微分设法将积分

⎰dx x g )(变形为⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ的形式，从而可得： )()]([)()]([)(x d x f x x f dx x g ϕϕϕϕ⎰⎰⎰='=

⑵作变量代换作变量代换)(x u ϕ=，则)()(x d dx x du ϕϕ='=，从而将积分变为

du u f x x f dx x g ⎰⎰⎰='=)][)()]([)(ϕϕ

并计算该积分;

⑶将变量回代根据所作代换,用)(x ϕ替换积分结果中的,从而求得原积分的结果，即：

C x F C u F du u f dx x g x u +=+====⎰⎰)]([)

()][)()

(ϕϕ

注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法又叫做凑微分法。

四、举例

例1求⎰-dx

x

x )1cos(22

解：因为)1(22

'-=x x

于是⎰

-dx x x )1cos(22

⎰'-⋅-=dx

x x )1()1cos(22

⎰udu cos C u +=sin

C x +-)1sin(2

一般地，对于积分dx x x f k k ⎰-1)((为不等于“0”的常数)，总可以作变换k

x u =，把

它化为

⎰

⎰⎰

==

-du u f k dx x f k dx x x f k

k k k )(1)(1)(1 例2求

⎰

⋅xdx x 2

10sec tan

解：因为)(tan sec 2

'=x x

⎰

⋅xdx x 2

10sec tan =

⎰

'⋅dx x x )(tan tan 10

du u ⎰10

=C u +11

111

C

x +11tan 111

例3求

⎰-dx

x 4

)23(

解：由于2)23(-='-x ，所以

⎰-dx x 4

)23(=dx x x )23()23(214

'---⎰)23()23(214x d x ---=⎰

⎰-du u 421=C u +-5101

C x +--5)23(101

一般地，对于积分dx b ax f ⎰+)(，总可以作变换b ax u +=，把它化为

⎰⎰

⎰

=++=+du u f a

b ax d b ax f a dx b ax f )(1

)()(1)( 注：①运用换元积分法，必须要熟悉基本积分公式和一些常用的微分等式，如

)()(1

x a d b ax d a dx --=±=

（其中、为常数且不为零） )

(21)(21)(212222x a d b ax d a x d xdx --=±==

u

x =-12令12-=x u 回代u

x =tan 令x u tan =回代u x =-23令x u 23-=回代