材料力学复习例题

l1
20
+
FN1 =20kN （+）
FN2 =-15kN （-） FN3 =- 50kN （-）
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
F3
F2
F1
DⅢ
C
Ⅱ
B
A Ⅰ
进行强度校核时一定要找出构件内
l3
l2 应力最大的截面l1，才是危险截面，
一般在横截面尺寸较小或内力最大
（2） 杆的最大正应力max
的位置上
AB段
AB
FN1 A1
（2） 杆的最大正应力max，如[σ]=170MPa，试校核其强度；
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
DⅢ l3
F3
C
Ⅱ
l2
F1 F2
B
ⅠA
l1
Ⅲ
FRD
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
l2
解：求支座反力 FRD = -50kN （1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III 截面的轴力并作轴力图
F1 FN1 0
3-1 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变模量 G=80GPa.
（1） 画轴的扭矩图；
（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.
M1
M2
A
B
C
l
l
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0
T1 = -4kN·m （-）
AB段 T2+Me2-Me1=0
ΔlAD ΔlAB ΔlBC ΔlCD -0.47 10-4mm
2-2 简单静不定问题
设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量E3 。试求在 沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.（P40-41）
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
B
DC
1
3 2
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
A
FN3 1 2
F EA
cos2
1 3F 2
E3 A3
A
F
FN1
FN 2
1
2cos
E
E3 A3
A cos2
Δl3
Δl1
A'
第3章
1、扭矩图 2、扭转切应力计算及强度条件 3、扭转变形计算及强度条件
T2 =2kN·m （+）
最大扭矩发生在BC段
Tmax=4kN·m
2kN·m
+
2ห้องสมุดไป่ตู้
1
Me1
Me2
A
B
C
l
l
T1 Me2
_
4kN·m
C
T2 Me1
Me2
B
C
（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置
max
Tmax Wt
A
Tmax
πD3 (1 4 )
16
34.5MPa
max
最大切应力发生在截面的周边上, 且垂直于半径.
176.8MPa
FN1 =20kN （+）
因 该((结σ)m构ax仍-[σ是])/安[σ全]=F的4N%2<=5-%15,因kN此 ( - )
BC段 BC
FN2 74.6MPa A2
()
DC段
DC
FN 3 A3
110.5MPa
()
FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa>[σ]
MeA
MeB
MeC
1max
T1 Wt1
T1 πd13 /
16
22103 A π(0.123 ) / 16
22 kN·m
B
C
64.84MPa [ ]
+
2max
T2 Wt 2
T2
πd
3 2
/
16
14 103 π(0.13 ) / 16
_
14 kN·m
71.3MPa [ ] 因此,该轴满足强度要求.
D4
32Tmax 1800
G 2[]
0.0295m
取d=30mm
对于轴而言，其主控因素是刚度，因此由刚度条件算 出的轴直径会比强度大。该轴除受扭外还受弯曲的作 用，因此在机械设计中，一般按扭矩进行估算，设计 好轴的结构后再按弯扭进行校核。
第4-6章
1、剪力图和弯矩图（2种方法：列方程和微分关系） 2、弯曲正应力强度计算 3、弯曲变形（重点是叠加法：简单叠加和逐段分析求 和，积分法只要求分一段） 4、刚度条件（习题和书上的例题）
发生在AB段.
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
DⅢ l3
F3
C
Ⅱ
l2
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN 2 l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗
B
DC
1
3
2
A
F 变形几何方程为
物理方程为
（3）补充方程
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
A'
Δl1 Δl3 cos
A'
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解
例题3.4
解：求扭矩，画扭矩图 计算外力偶矩
由
Mx 0
得
作扭矩图，得到在轮Ⅲ和Ⅳ之间扭矩最大，且
由强度条件，
max
Tmax Wt
16Tmax
D3
[ ]
得
D 3 16Tmax 0.0272m
[ ]
由刚度条件，
m ax
Tmax GI p
1800
Tmax
G D4
1800
[]
32
得
解：（1）列静力平衡方程
Fx 0 FN1 FN2 Fy 0 FN1 cos
B
DC
y
1
3
2 FN1FN3
FN2
FN2 cos FN3 F 0 A
x A
这是一次超静定问题！
F
F
y
B
DC
1
3 2
A
F （2）变形几何方程
FN1FN3
FN2
x
A
F
B
DC
1
3
2
A
A'
由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后A点将沿
第2章
1、轴力图 2、正应力计算及强度条件 3、拉压胡克定律及简单的静不定
例2-1 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm. d1=12mm，d2=16mm， d3=24mm,E=210GPa. 试求：
（1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图
FN1 20kN ()
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
FN1
F1
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
FRD
FN3 FN2
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
F1 F2
FN3 FRD 0 FN3 50kN ()
F1 F2 FN2 0 FN2 15kN ()
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
-
50
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
M1
M2
B
C
l
l
T
max
3-2 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14
kN·m. 已知材料的许用切应力[] = 80MPa,试校核该轴的强度.
解：作轴的扭矩图 分别校核两段轴的强度