有限元第三章杆系结构单元分析

u N ui ui T N δe
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N

δ
edx


W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN

EA du dx
（3-7）
M

EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
局部坐标单元杆端力矩阵
Fe F1 F2 F3 F4 F5 F6 Ｔ F１Ｔ F2Ｔ Ｔ
l q(x)N T dx
0
T
δ e δ eT
l BT EABdx δ e
0
（3-24）
有限单元法
式中 Fde Fi Fj T ：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：
FEe
l q(x)N T dx
0
k e l BT EABdx 0
则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：
一节点的受力情况可见，整个结构的结点总外力势能为
T

E* p ,结点


Fpi d

Fej 1
Fek 2

δi
i
j
k

（3-17）
F② 2
F① 1
M
Fiy
i
i
Fpi d Fix Fiｙ Mi T
Fix 总结点力 Fpid F1① F2②
图3-5 结点受力示意图
1 2
1

3
12
[k ](1)

3AE l
1 1
1 1
1

2
34
[k ](3)

AE 1 l 1
1 3
1

4
有限单元法
等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[F ](1)

3lA
2
1 1
[F ](2)

2lA
2
1 1
[F ](3)
有限单元法
建筑物简化为杆件的建模过程 有限单元法
杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散
成杆元和梁元。
○
○
○○
○
○
○
梁
○
○
拱
框架
○ ○○
有限单元法
桁架
○ ○
3-1-1 关于离散化问题
第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。
第二步，对各结点和单元进行编码。
第三步，建立整体坐标系和各单元的局部坐标系。
( 3-1)
局部坐标单元杆端虚位移矩阵
δｅ
1 ２ ３ ４ ５ ６ Ｔ

T 1
２T
Ｔ
( 3-2)
有限单元法
ｙ
F2
F1
F1
1
F3
x E, I , A,l
F5 F2
F6 2
（a）杆端力及正向规定
y q(x) P1
Pi Pn
F4
1 m(x) p(x)
j1
（3-13）
有限单元法
3-1-3 杆系结构总势能表达式
有关符号同上所述，由材料力学可知e单元的应变能 V e 在只考虑轴向和弯曲变形时为
V e 1 2
l 0
EI

d 2v dx2
2
dx

1 2
l

d 2u
2

0
EA
dx2

dx
（3-14）
单元外力的总势能 Epe*为
第3章 杆系结构的 有限元分析
有限单元法
3-1 引言
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的 一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件 称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元 法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起 见，本书都称之为杆单元。
杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常 见的一类结构。本章以此类结构为基础介绍有限单元法的分 析过程。
有限单元法
① 单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的 位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：
u(x) a bx
由位移的边界条件： u(0) ui 可得系数 a、b 为： a ui
u(l) u j b u j ui
l
这样，任意截面的位移
u为：
u(x)

(1
有：


du dx

dN dx
δe


1 l
1 l
δe

Bi
Bj δ e Bδ e
（3-21）
这里
B


1 l
1 l
为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：
E EBδe
（3-22）
有限单元法
③ 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵,设杆端i、j分别产生虚位移 ui 、u j ，则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为：

δ

u

v




u

v
d v
dx
Ｔ

( 3-4)
u，ｖ， 的正负号规定如图3-3(d)所示，分别为轴向、 横向虚位移和转角虚位移。
有限单元法
在单元局部坐标任意截面虚位移为 u、ｖ的情况下，单元虚位
移所产生的微段 dx的虚变形为：
虚线应变
d u
i 1
i 1
对于整个杆系结构来说，显然总虚变形功 W变 Wi
等于各单元总虚变形功的和，也即
W变 W变e Wi
(3-11)
而整个结构的外力功应该是
We
Wee 结点荷载总虚功

l qT ddx
0
n
Fpi
v
(
xi
)


n
Fpjd
前处理法
5 (13 14 15) 6 (11 12 13)
6
5
4
4 (5 6 7)
3
(7 8 9)
3
2 1
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
位移编 号图3.2单元位移编码
后处理法
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12) 2 2 (4 5 6)
有限单元法
3-1-2 杆系结构虚位移原理及虚功方程
（3-18）
累加时所出现的切割面内力总功互相抵消，因此在式 （3-18）中不再出现。
有限单元法
3-2 局部坐标系中的杆单元分析
3-2-1 拉压杆单元
y
e
x
Fi , ui
x
q(x)
Fj ,u j
图3-6拉压杆单元示意图
设杆单元长度为 l ，横截面面积为 A ，单元材料的弹性
模量为 E ，在局部坐标系中杆端荷载分别为 Fi 和 Fj ，杆端位 移分别为 ui 和 u j ，单元上的轴向分布荷载为 q(x)。
xi xi
f (x) dx
l xi
f (x)0 dx
f (xi) (3-10)
有限单元法
l n
根据式（3-10），则式（3-9a）中 0 Fpi (x xi ) vdx
可写作
i 1
l n
n
0 Fpi (x xi ) vdx Fpi v (xi )
（3-25a） （3-25b）
这里
为局部坐标系F下de的单FE元e 刚k度eδ矩e 阵，
（3-26a）
为局部坐标系下等
效结点k e荷载矩阵，但值得指出的是：分布F荷Ee载 中可以包含
集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度q(矩x)阵为：
有限单元法
ke

EA l
1 1
1
1

（3-26b）
i1
i1
j（3-12）
有限单元法
基于上述说明，则杆系结构虚位移原理的虚功方程为
W变
W变e
W e i
l 0
FN

M
k
dx
Wｅ


l qT δdx
0
n
Fpi v
i 1
xi


n
Fpjd j
例： 一维拉杆
图示阶梯形直杆，各 段长度均为，横截面 积分别为3A，2A，A， 材料重度为γ ，弹性 模量E。求结点位移 和各段杆中内力。
有限单元法
离散化：将单元划分为3个单元，4个结 点。
单元刚度矩阵：
23
[k ]e

EA 1 l 1
1
1

[k ](2)

2AE l
1 1
外力总虚功
Wee FeT δe
l 0
qT d

n i1
Fpi
(x

xi ) v
dx
（3-9a）
其中 Fpi 为单元上所受的横向集中力（规定沿坐标正向为正）。
总虚变形功
W变e Wie
l
0
FN

M
kdx
（3-9b）
Wee W变e Wie
Epe*




l qT ddx
0
i
Fpiv
xi


FeT
δe

（3-15）
式中 d
u ｖ
Ｔ


u
ｖ ddｖx Ｔ
,
δｅ 1 ２ ３ ４ ５ ６ Ｔ δ1T δ２T Ｔ
为单元杆端位移矩阵。因此单元的总势能表达式为

x l
)ui

x l
u
j
（3-19a）
用矩阵表示为： u Niui N ju j Ni
其中
Ni
1
x l
Nj

x l
Ni N j 1
有限单元法
N
j

ui u j


Nδ
e
（3-19b） （3-19c） （3-20）
② 进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，
E
e p
Ve

E
e* p

1 2
l 0
EI

d 2v dx2
2
dx

1 2
l 0
EA
du dx
2dx


l qT ddx n
0
n
Fpiv
i 1
xi


FeT
δ
e

（3-16）
有限单元法
对于整个结构还要考虑结点的总外力势能。为此，由图3-5任
2
（c）单元荷载及正向规定
ｙ
1 2 1 1
3
y
v
x
2 5 4
6 2

1
k xk
u
x2
（b）杆端虚位移及正向规定 （d）单元虚位移及正向规定
有限单元法
图3-3 平面杆件单元
单元上分布均布荷载矩阵
q=p(x) q(x) m(x)Ｔ
( 3-3)
单元上局部坐标下任意截面的虚位移矩阵
第四步，对已知参数进行准备和整理。
第五步，对结点位移进行编码，注意前处理法与后处理法
的区别。 第六步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。
第四章
第七步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。 第八步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有 解的唯一性。 第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。 第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、
（3-9c）
式（3-9a）中 (x xi )为单位脉冲函数（unit impulse function）,
如图3-4所示。由图可见，若有函数f(x)，则积分
趋于
d (x xi ) O
dx 面积为1
如图xi3-4 x
l
0 f(x) (x-xi )dx
xi 0
f (x)0 dx

lA
2
1 1
对号入座，组成总刚，形成整体结构平
衡方程:
[K]{} {F}
设结点1的约束反力为F1，则有:
有限单元法
整体结构平衡方程
3
EA 3
l 0

0
3 32 2
有限单元法
由此可得结构的总势能为
Ep
E
e p

E* p,结点
＝
1 2
l d2v 1
0
EI

dx2
dx

2
l 0
EA
du dx
2
dx


l qT ddx
0

i
Fpi
v

xi




j
FpTd , jδ j
图示出所需的位移及应力。
有限单元法
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两 节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整
体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个
局部坐标。并且拒不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同