推理与证明方法

2020年10月18日4时2 分
推理与证明方法 7. W(c) → ¬ B(c) (UI) 8. ¬ W(c) 9. x (¬ W(x)) (EG)
10
Indirect proof, negate the conclusion 推理与证明方法
Hypotheses: P ∨ Q, P → R, Q → S Conclusion: S ∨ R Proof: P ∨ Q, P → R, Q → S S ∨ R
1、归纳基础： P(n0) 2、归纳步骤： k ( k > n0 ∧ P(n0) ∧ P(n0+1) ∧ … ∧ P(k) → P(k+1))
2020年10月18日4时2
分
23
EXAMPLE 2
推理与证明方法
证明：任意一个大于1 的自然数或为质数，或 能表示为若干个质数的乘积。
2020年10月18日4时2
2020年10月18日4时2
分
21
EXAMPLE 1
推理与证明方法
pp.191 example 5
1 + 2 + 22 +… + 2n = 2n+1 - 1
数学归纳法的正确性可以用皮亚诺公理与良序 定理来证明。
2020年10月18日4时2
分
22
Definition 3
推理与证明方法
第二数学归纳法： [P(n0) ∧ k ( k > n0 ∧ P(n0) ∧ P(n0+1) ∧ … ∧ P(k) → P(k+1)) ]→ n P(n)
推理与证明方法
对于任意的公式P和Q，如果P → Q 为T，则称P蕴涵Q， 记为P Q 或P/Q
蕴涵演算的推广表示：
P1、 P2 、 … 、Pn Q 前提组/hypotheses 结论/conclusion
证明的基本工具：等值演算，真值表，范式，引用已知简单结论
下表是一些常用的简单结论
2020年10月18日4时2
2020年10月18日4时2
分
25
EXAMPLE 3
推理与证明方法
pp. 195 Example 11，12，14
2020年10月18日4时2
分
26
3.3 递归方法 Recursive Definition
推理与证明方法
2020年10月18日4时2
分
27
DEFINITION 1
推理与证明方法
定义1
2020年10月18日4时2
分
15
推理与证明方法
练习 pp.183 4、16、43、68
2020年10月18日4时2
分
16
推理与证明方法
3 数学推理
Mathematical Reasoning
3.1 推理与证明方法
3.2 数学归纳方法
Mathematical Induction
3.3 递推方法
2020年10月18日4时2
如果一个对象部分地由自己所组成，或者
按它自己定义，则称为是递归的（Recursion）。
递归定义的函数f：
f的定义域：非负整数集 1、递归基础： f(0) 2、递归步骤： f(n)=g(f(k)), k<n, n≥0,
2020年10月18日4时2
分
28
Example 1
推理与证明方法
自然数阶乘n!就是采用递归方法计算出来的。 令f (n) = n!，则f(n)可以表示为：
12. F (11,12)
2020年10月18日4时2
分
11
推理与证明方法 定理证明方法： 1、直接证明/direct proof: p → Q 2、间接证明/indirect proof : p → Q ¬ Q → ¬ P 3、空证明/vacuous proof: p → Q 其中 P为 F 4、平凡证明/trivial proof： p → Q 其中 Q 为T
证明的构造/形式：由两个部分组成
1、公理、假定或前提/axiom、postulate、hypotheses
2、推理规则/rule of inference
其它：引理/lemma、推论/corollary、猜想/conjecture
2020年10月18日4时2
分
2
Definition 1 蕴涵演算/logical implying operation
2020年10月18日4时2 分
推理与证明方法
Name UI/全称举例 UG/全称推广 EI/存在举例 EG/存在推广
7
EXAMPLE 3
推理与证明方法
苏格拉底论证：
人固有一死，苏格拉底是人，因此苏格拉底固有一死。
P(x): x是人，D(x):x是要死的，S:苏格拉底。
x (P(x) → D(x)), P(S) D(S)
P: It is sunny this afternoon.
Q: It is colder than yesterday.
R: We will go swimming.
S: We will take a canoe trip. T: We will be home by sunset.
2020年10月18日4时2
2020年10月18日4时2
分
12
定理证明方法：
推理与证明方法
5、反证明/proof of contradiction： P ¬PS∧¬ S
6、分例证明/proof of cases：
P1∨ P2 … ∨ Pn → Q
（P1 → Q） ∧ （P2 → Q）…∧ （Pn → Q）
2020年10月18日4时2
分
24
Definition 4
推理与证明方法
有限数学归纳法：对于 n0 n nk 的 P(n) 有限数学归纳法的前推公式表示： [P(n0) ∧ n(n0 n nk-1 ∧ P(n)) → P(n+1))] → n (n0 n nk → P(n))
1、归纳基础： P(n0) 2、归纳步骤： n(n0 n nk-1 ∧ P(n)) → P(n+1))]
分
3
Table 1
Rule of Inference P P ∨Q P ∧Q P P、Q P ∧Q P、 P → Q Q ¬ Q、 P → Q ¬ P ¬ p、P ∨Q Q P → Q、 Q → R P → R
2020年10月18日4时2 分
推理与证明方法
Name Addition/析取附加式 Simplification/合取化简式 Conjunction/并发式 Modus ponens/分离式 Modus tollens/拒取式 Disjunctive syllogism/析取三段式 Hypothetical syllogism/假言三段式
W(x): 喜欢步行，B(x):x喜欢乘汽车，K(x)：x喜欢骑自 行车；前提：x (W(x) → ¬ B(x))， x (B(x)∨ K(x) ),
x (¬ K(x)), 结论： x (¬ W(x))
2020年10月18日4时2
分
9
1. x (¬ K(x)) (h) 2. ¬ K(c) (EI) 3. x (B(x)∨ K(x) ) (h) 4. B(c)∨ K(c) (UI) 5. B(c) 6. x (W(x) → ¬ B(x)) (h)
F (5) = 5，F (6) = 8，……
推理与证明方法
3 数学推理
Mathematical Reasoning
3.1 推理与证明方法
Reasoning and Methods of Proof
3.2 数学归纳方法
3.3 递推方法
2020年10月18日4时2
分
1
一些基本概念
推理与证明方法
定理/Theorem: 一个真值为T的命题语句。
证明/Proof：用论证方式形成的一个命题语句序列说明 一个定理为T。
1. x (P(x) → D(x)) (h)
3. P(S)
2. P(s) → D(s)
(UG)
4. D(S)
2020年10月18日4时2
分
8
EXAMPLE 4
推理与证明方法
Hypotheses: 任何人如果他喜欢步行，则他就不喜欢乘
汽车；每个人喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车；有的人不喜
欢骑自行车，
Conclusion: 因此有的人不喜欢步行。
这些公理缺一不可，其中性质（5）称为归纳公理，并指出了自然数
是满足公理（1）~（4）的最小集合。
2020年10月18日4时2
分
20
Definition 2
推理与证明方法
数学归纳法的一般公式表示： [P(k) ∧ m(m k ∧ P(m) → P(m+1))] → n P(n)
1、归纳基础： P(k) 2、归纳步骤： m (m k ∧ P(m) → P(m+1))
f (0) = 1 f (n) = n·f (n–1) n>0
2020年10月18日4时2
分
29
Example 2
Hale Waihona Puke Baidu
推理与证明方法
菲波那契数/Fibonacci F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F (n–1) + F (n–2)
n>1
由上述公式，我们得到：
F (2) = 1，F (3) = 2，F (4) = 3，
分
13
定理证明方法：（含有量词）
推理与证明方法
7、存在证明/existence proof： x P(x) constructive, nonconstructive
8、归纳证明/induction proof ： x P(x)
2020年10月18日4时2
分
14
推理与证明方法 进一步的思考
1、从等值演算到蕴涵演算 2、从命题公式的推理到谓词公式的推理 3、停机问题/Halting Problem
4
EXAMPLE 6
推理与证明方法
Hypotheses: (1) It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterday. (2) We will go swimming only if it is sunny. (3) If we don’t go swimming, then we will take a canoe trip. (4) If we take a canoe trip, then we will be home by sunset. Conclusion: We will be home by sunset.
分
5
推理与证明方法
The hypotheses become ¬ P ∧Q ,R → P, ¬ R → S, and S → T, The conclusion is T
1. ¬ P ∧Q (h)
7. S → T (h)
2. ¬ P
(s)
8.T
3. R → P
(h)
4. ¬ R
(m)
5. ¬ R → S (h)
分
17
The well-ordering property
推理与证明方法
The well-ordering property(良序定理） Every nonempty set of nonnegative integers has a least element (非空的非负整数集合必有最小元）
2020年10月18日4时2
分
18
Definition 1
推理与证明方法
数学归纳法用来证明与整数有关的命题。 数学归纳法的公式表示： [P(1) ∧ m(m 1 ∧ P(m) → P(m+1))] → n P(n)
1、归纳基础： P(1) 2、归纳步骤： m (m 1 ∧ P(m) → P(m+1)) 数学归纳的理论基础是整数公理，如下所示：
2020年10月18日4时2
分
19
皮亚诺公理
推理与证明方法
（1）0∈N；
（2）对每一个n∈N，唯一定义了一个自然数n'，n' 称为n的后邻；
（3）不同的自然数，其后邻也不同；
（4）没有一个自然数的后邻是0；
（5）如果有一个子集MN满足：
① 0∈M；② n∈M时必n' ∈ M, 则M = N
自然数全体N通过皮亚诺公理的五条公理组成。
6. S
(m)
2020年10月18日4时2
分
6
Table 2.
Rule of Inference
x P(x) P(c) if cU P(c) for an arbitrary cU x P(x)
x P(x) P(c) for some cU
P(c) for some cU x P(x)
U:Universal I:Instantiation E: Existential G: Generalization
(1) ¬ (S ∨ R)（否定结论） 5. ¬ Q (3,4)
9. ¬ P ∧ ¬ Q (5,8)
(2) ¬ S ∧ ¬ R （DM） 6. ¬ R (2)
10. ¬ (P ∨ Q) (9)
(3) ¬ S （ 化简）
7. P → R (h)
11. P ∨ Q (h)
(4) Q → S (h)
8. ¬ P (6,7)