吉林大学量子力学作业题3算符测不准关系展开假定

1、粒子做一维运动，其哈密顿量为 )(2ˆ2x V m
p H x += 且假设具有断续谱
n
n n E H ψψ=ˆ证明：dx x dx p
m n m x n ψψαψψ∫∫=**ˆ，其中α为依赖于的常数，并求出该常数。

m n E E −2、 利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能。

3、 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数 a x
a x
a x ππψ2cos sin 4
)(=
描述，求粒子能量的可能取值与相应的几率。

4、在由正交规一基矢{}32u 所张成的三维空间中考虑一物理体系，
算符1,u u H
ˆ和B ˆ定义如下： ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1000100010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛=010100001b B 其中0ω和b 是实常数。

（1）H
ˆ和B ˆ是否是厄米算符； （2）证明H
ˆ和B ˆ可对易； （3）求H
ˆ和B ˆ的共同本征矢。

5、 在由正交规一基矢{32,u 所张成的三维空间中，物理体系的能量
算符1,u u H
ˆ和另外两个物理量A ˆ与B ˆ的矩阵形式如下： ， ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2000200010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100002a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛=100001010b B 其中0ω，a，b 均为正的实常数。

0=t 时体系处于 3212
12121)0(u u u t ++=
=ψ 所描述的状态。

（1）对)0(=t ψ所描述的状态，指出能量的取值及相应的取值几率，并计算出差方平均值2H
Δ；
（2）对)0(=t ψ所描述的状态，计算可观测量的取值及相应的取值几率；
A ˆ（3）计算的任意时刻体系的态矢0>t )(t ψ；
（4）对)(t ψ所描述的状态，计算B ˆ的平均值，并解释其依赖时间的原因； （5）如果在t 时刻测量A
ˆ，说明其结果与（2）中的结果相同的理由。

6、在的表象中， 1=l )ˆ,ˆ(2z
L L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******=x L ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛−=100000001ˆ=z L （1） 给出它们的本征值和本征态矢；
（2） 给出)ˆ,ˆ(2z
L L 表象到)ˆ,ˆ(2x L L 表象变换的S 矩阵； （3） 通过S 矩阵，求出在)ˆ,ˆ(2x L L 表象中x L ˆ和z
L ˆ的矩阵表示。