00抽象函数周期与对称公式

抽象函数周期与对称公式

主要知识：

1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．

2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），

(1)()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

(2)()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；

(3)()()

1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()f x a f x b +=-，则()f x 是以T a b =+为周期的周期函数；

以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．

(6)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

(7)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点(),0A a 、(),0B b ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

(8)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于(),0A a 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。

（二）主要方法：

1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：

一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；

二是能找到适合这一等式的非零常数T ，

2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．

证明举例：若函数f （x ）有一条对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0）（a

()(2)[2(2)][2()]

[22()][2(2)]

[22(2)][4()],4().

f x f a x f b a x f b a x f a b a x f a b x f b a b x f b a x b a ∴=-=---=--+=----=---=--+=-+-周期为 举例:y=sinx,等.