第05章 时间序列模型(自相关性和协整检验)
5时间序列模型
方差函数： 自协方差函数：
? ? 2 t
?
D(Y) t
?
?
[ yE?
??
(Y) td]2 FYt ( y)
?? Cov(Yt ,Ys ) ??E ???Yt EYt ??Ys ??EYs ??? t,s ? (t, s)
自相关函数（ACF)：
? ?ts, ? ?? ts, ?
?(ts,) ??tt, ????s,
模型
? 完善阶段 ：
? 异方差场合
? Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 ? Bollerslov，1986年GARCH模型
? 多变量场合
? C.A.Sims等，1980年，向量自回归模型 ? C.Granger ，1987年，提出了协整（co-integration）理论
模拟时间序列数据：
8
? 随机过程与时间序列的关系如下所示：
随机过程: {y1, y2, …, yT-1, yT,} 第1次观测：{y11, y21, …, yT-11, yT1} 第2次观测：{y12, y22, …, yT-12, yT2}
???? ? 第n次观测：{y1n, y2n, …, yT-1n, yTn}
一般的，对于任意 m ? N,,t,1 t2 L , tm ? T,Yt1 ,L ,Ytm 的联合分布函数为：
FYt1 ,Yt2 ,L ,Ytm ( y1 ,,y,)2 L ymP ?? (Yt1 y1Y,,L tm ? ym )
均值方程：
? ?t ? E(Yt ) ?
?
?? ydFYt ( y)
9
2、随机过程的分布及其数字特征
设{Yt}为一个随机过程，对任意一个 t ? T ，Yt的分布函数为：
时间序列模型讲义
时间序列模型讲义时间序列模型讲义一、概念介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间上变化的数据模型。
它是一种建立在时间序列数据上的数学模型，旨在揭示时间序列中的隐藏规律和趋势，并利用这些规律和趋势进行预测和决策。
二、时间序列的特征时间序列数据具有以下几个主要特征：1. 时间相关性：时间序列数据中的观测值在时间上是相关的，前一个时刻的观测值往往会影响后续时刻的观测值。
2. 趋势性：时间序列数据往往具有明显的趋势性，即观测值随时间呈现出递增或递减的趋势。
3. 季节性：时间序列数据中可以存在固定的周期性变化，比如月份、季节、一周等周期性变化。
4. 周期性：时间序列数据中可能存在非固定的周期性变化，比如经济周期、股票市场周期等。
三、时间序列模型的构建过程时间序列模型的构建过程主要包括以下几个步骤：1. 数据探索和预处理：对时间序列数据进行可视化和探索，查看数据的分布、趋势和周期性等特征，并进行缺失值处理、异常值处理等预处理操作。
2. 模型选择：选择适合数据特征的时间序列模型，常用的模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）和自回归移动平均模型（ARMA模型）等。
3. 参数估计：利用已选定的时间序列模型，对模型中的参数进行估计，通常采用极大似然估计或最小二乘估计等方法。
4. 模型诊断：对估计得到的时间序列模型进行诊断，检验模型是否满足统计假设，例如模型的残差序列是否具有零均值和白噪声等特征。
5. 模型评价和预测：通过对模型在历史数据上的拟合程度进行评价，选择最优的模型，并利用该模型对未来的数据进行预测和决策。
四、常见的时间序列模型1. 移动平均模型（MA模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的加权平均，其中权重是模型的参数。
该模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列。
2. 自回归模型（AR模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的线性组合，其中系数是模型的参数。
该模型适用于具有明显的趋势性的时间序列。
“时间序列模型的相关性”基本内容
“时间序列模型的相关性”基本内容Abstract时间序列计量经济学模型是“计量经济学”课程中极其重要的内容。
区别于经典的一元（或多元）线性回归模型，其在违背基本假设的条件下，对参数进行一定的估计。
本文主要介绍时间序列模型的相关性概念和相关性检验方法。
一、序列相关性的定义Definition1.1如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
Definition1.2如果仅存在,则我们称为一阶序列相关或者自相关(autocorrelation).二、实际经济问题中的序列相关性实际经济问题中，序列相关性产生的原因主要是来自以下三个方面。
1.经济变量固有的惯性大多数经济时间数据的惯性表现在时间序列数据不同时间的前后关联上。
2.模型设定的偏误所谓的模型设定偏误，是指所设定的模型"不正确",主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。
3.数据的"编造"在实际的经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的，因此，新生成的数据与原数据之间就有内在的联系，表现出序列相关性。
三、序列相关性的后果1.参数估计量非有效这是因为在有效性证明中利用了2.变量的显著性检验失去意义在变量显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础上的，只有当随机干扰项具有同方差性和相互独立时才成立。
因此,若存在序列相关性，估计的参数方差出现偏误，检验就失去了意义。
3.模型的预测失效四、序列相关性的检验序列相关性检验的方法：冯诺比曼检验、回归检验法、D.W.检验法等.下面着重介绍D.W.检验法和拉格朗日乘数(LM)检验.D.W.检验法(1951年由J.Durbin和G.S.Watson提出)考虑构造如下的D.W.统计量：注意到我们可以证明D.W.统计量的值介于0与4之间。
一个很重要的结论是：(1)如果存在完全一阶正相关，则D.W. 0; (2)如果存在完全一阶负相关，则D.W. 4; (3)如果完全不相关，则D.W.= 0.D.W.统计量缺陷:其一，存在一个不能确定的D.W.值区域；其二，D.W.检验只能检验一阶自相关；其三，对存在滞后被解释变量的模型无法检验.拉格朗日乘数(LM)检验/GB检验(1978年由Breusch和Godfrey提出)与D.W.检验相比较,其适用于高阶序列相关及模型中存在滞后被解释变量的情形。
第五章_时间序列数据的平稳性检验与协整问题(金融计量学 上财)
第一节 随机过程和平稳性原理
一、随机过程
一般称依赖于参数时间t的随机变量集合{ yt }为随
机过程。 例如，假设样本观察值y1，y2…,yt是来自无穷随机
变量序列…y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 …的一部分，则这个 无穷随机序列称为随机过程。
二、平稳性原理 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都
（二）ADF检验模型的确定 首先，我们来看如何判断检验模型是否应该包
含常数项和时间趋势项。解决这一问题的经验 做法是：考察数据图形 其次，我们来看如何判断滞后项数m。在实证 中，常用的方法有两种：
பைடு நூலகம்
随机过程中有一特殊情况叫白噪声，其定义如下： 如果随机过程服从的分布不随时间改变，且
E( yt ) 0
var( yt ) E( yt2 ) y2 常数
cov( yt , ys ) E( yt * ys ) 0
（对所有t） （对所有t）
（ ts ）
那么，这一随机过程称为白噪声。
为何要讨论时间序列的平稳性问题？
I (1)过程在金融、经济时间序列数据中是最普遍的， 而I (0)则表示平稳时间序列。
从理论与应用的角度，DF检验的检验模型有如下 的三个：
Yt (1 )Yt1 ut 即 Yt Yt1 ut
（5.7）
Yt 1 (1 )Yt1 ut 即 Yt 1 Yt1 ut
（5.8）
Yt
Y T+1 tT
ut 1
2ut2
...
TutT
ut
（5.5）
根据 值的不同，可以分三种情况考虑： （1）若 ＜1，则当T→∞时， T →0，即对
序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱，
时间序列模型概述
ψ < ∞。
u t 为白噪声过程。
u t 表示用∑ ψ L j = Θ( L) =Φ( L ) 1 + φ L + φ L 2 + ... + φ L pWold 分解定理：任何协方差平稳过程 x t ，都可以被表示为x t - μ- d t = u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … + =其中μ表示 x t 的期望。
d t 表示 x t 的线性确定性成分，如周期性成分、时间 t 的多项式和指数 形式等，可以直接用 x t 的滞后值预测。
ψ0= 1， ∑∞j =0 j2x t 的滞后项预测 x t 时的误差。
u t = x t - E(x t |x t -1,x t -2 , …)∑∞ j =0 ψ u j t - j称为 x t 的线性非确定性成分。
当 d t = 0 时，称 x t 为纯线性非确定性过程。
Wold 分解定理由 Wold 在 1938 年提出。
Wold 分解定理只要求过程 2 阶平稳即可。
从原理上 讲，要得到过程的 Wold 分解，就必须知道无限个ψj 参数，这对于一个有限样本来说是不可 能的。
实际中可以对ψj 做另一种假定，即可以把ψ(L)看作是 2 个有限特征多项式的比，ψ(L)=j =0 1 2 p注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的 自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随 机过程（过程中不含有任何确定性成分）。
如果一个序列如上式， x t =μ+ d t + u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … +则所有研究都是在 y t = x t - μ- d t 的基础上进行。
例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、 时间趋势项就是这个道理。
2.3 自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种 模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
时间序列模型 自相关性和协整检验
8
T
(uˆt uˆt1)2
D.W . t2 T
uˆt2
2(1 ˆ )
t 1
如果序列不相关，D.W.值在2附近。
如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。
如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。
正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测 值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明残 差序列存在强的正一阶序列相关。
第五章 时间序列模型
关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在 前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估 计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9 章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。
这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。
10
2 . 相关图和Q -统计量
1. 自相关系数 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数
和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后 k 阶的
自相关系数由下式估计
rk
T
t k 1
ut
u
utk u
TtLeabharlann 1utu2
（5.2.26）
其中 u 是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。
15
反之，如果，在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设定 的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存 在 p 阶自相关。由于Q-统计量的 P 值要根据自由度 p 来 估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效 的重要因素。
在EViews软件中的操作方法： 在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogramQ-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残 差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的 P 值。
时间序列模型
时间序列模型一、分类①按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
②按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
③按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
狭义时间序列：如果一个时间序列的概率分布与时间t无关。
广义时间序列：如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足均值为常数和协方差为时间间隔T勺函数。
（下文主要研究的是广义时间序列）。
④按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
二、确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
①长期趋势变动：它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
通常用T t表示。
②季节变动：通常用S t表示。
③循环变动：通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
通常用C t表示。
④不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用R t表示。
也称随机干扰项。
常见的时间序列模型:⑴加法模型：y t = S t + T t + C t + R t；⑵乘法模型：y t =S T t C t -R t ；⑶混合模型：y t =S T t + R t ；y t = S t +2T t G R t ；R t这三个模型中y t表示观测目标的观测记录， E R t = 0, E R t2 ==o2如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差 /较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。
三、移动平均法当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时,可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
时间序列建模案例VAR模型分析与协整检验
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。
但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。
为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。
本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression ，V AR)和向量误差修正模型(vector error correction model ，VEC)就是非结构化的多方程模型。
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR 模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。
VAR 模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA 和ARMA 模型也可转化成VAR 模型，因此近年来VAR 模型受到越来越多的经济工作者的重视。
VAR(p ) 模型的数学表达式是t=1,2,…..,T其中：yt 是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p 是滞后阶数，T 是样本个数。
k ´k 维矩阵F 1，…， Fp 和k ´d 维矩阵H 是待估计的系数矩阵。
et 是 k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设 S 是et 的协方差矩阵，是一个(k ´k )的正定矩阵。
注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt 的滞后而被11t t p t p t t --=+⋅⋅⋅+++y Φy Φy Hx ε消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。
以1952一1991年对数的中国进、出口贸易总额序列为例介绍VAR 模型分析，其中包括;① VAR 模型估计;②VAR 模型滞后期的选择;③ VAR 模型平隐性检验;④VAR 模型预侧;⑤协整性检验VAR 模型佑计 数据εεεεLni(进口贸易总额), ,Lne的时间序列见图。
计量经济学模型讲义—— 时间序列模型
12.6 随机游走时间序列(random walk time series )
考虑下列简单模型： Yt ＝ Yt－1 ＋ ut (12.10) 随机误差ut的均值为零，方差为σ2。方程又可以写为： Yt-1 ＝Yt-2 + ut-1 最后 Yt = Y0 + Σut E(Yt) = Y0 var(Yt)=var(u1 + u2 + … + uT) = Tσ2 (12.10)可以写成 ΔYt ＝ (Yt – Yt-1) = ut ∆Yt 是平稳的，因为E(∆Yt)=E(ut)=0，var(ut)=σ2。 (12.12) (12.13) (12.14) (12.15) (12.11)
(12.3) (12.4)
12.3 伪回归现象：非平稳时间序列
例12.2 美国1970.1Q－1991.4Q个人可支配收入(PDI)对个人消费 支出(PCE)的影响。 ^ PCE ＝－171.4412＋0.9672*PDI (12.3)
t t
t = (-7.4809) (119.8711) p =(0.00000) (0.00000)，R2=0.9940， d＝0.5316 回归结果：R2很高，PDI回归系数的t检验值也很大，消费对PDI 的边际倾向（MPC）为正。缺陷是d较小。但是回归结果虽好， 却不是真实的，因为这一回归是伪回归(spurious regression)。 所谓的伪回归就是回归结果貌似很好，但却不表示经济变量之间 真正的相关关系。
12.1 动态模型的概念
为什么要研究分布滞后模型？三大因素的作用： 1. 心理上的原因 2. 技术上的原因 3. 制度上的原因 这些因素造成了因变量对解释变量的反应有一定的时滞 性。
Байду номын сангаас
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
时间序列分析中的协整模型构建与检验
时间序列分析中的协整模型构建与检验时间序列分析是一种常用的统计方法，可用于揭示随时间变化的数据的模式和趋势。
而协整模型是时间序列分析中的一种重要工具，它用于分析两个或多个变量之间的长期关系。
本文将探讨协整模型的构建与检验方法，并介绍其在实际应用中的意义。
一、协整模型的构建方法在介绍协整模型的构建方法之前，我们需要先了解一个重要概念——平稳性。
对于一个时间序列，如果其均值、方差和自协方差不随时间变化而变化，我们就称其为平稳时间序列。
在构建协整模型时，我们需要确保所选择的变量都是平稳的。
协整模型的构建步骤如下：1.选择合适的变量：在实际应用中，我们首先需要选择一组有关联的变量，这些变量之间具有一定的相关性。
2.进行单位根检验：单位根检验是确定所选择的变量是否平稳的一种常用方法。
常见的单位根检验方法有ADF检验、PP检验等。
3.若变量不平稳，则进行差分处理：如果单位根检验的结果表明所选择的变量不是平稳的，我们可以对其进行差分处理，即对变量的一阶差分进行分析。
差分后的序列通常会变得平稳。
4.构建协整模型：在变量平稳之后，我们可以使用最小二乘法来估计协整模型的参数。
协整模型通常采用向量自回归模型（VAR）来描述变量之间的长期关系。
二、协整模型的检验方法构建协整模型后，我们需要对其进行检验，以验证模型是否具有统计意义。
常用的协整模型检验方法包括：1.残差序列的平稳性检验：我们首先需要分析协整模型的残差序列。
如果残差序列是平稳的，说明协整模型中的变量可以较好地解释其之间的关系。
2.格兰杰因果检验：格兰杰因果检验用于确定协整关系的方向，即变量之间的因果关系。
在协整模型中，如果变量X的残差序列对变量Y的残差序列具有显著的因果影响，则可以说X是Y的因变量。
3.阶梯回归检验：此方法用于确定模型中的协整向量个数。
在协整模型中，协整向量是变量之间长期关系的表示。
通过阶梯回归检验，我们可以确定协整模型中具有统计意义的协整向量个数。
5.1 时间序列模型的序列相关性
偏自相关系数的含义： 求出滞后k自相关系数ρk时，实际上得到并不是μt与μt-k之 间单纯的相关关系。因为μt同时还会受到中间k-1个随机变 量μt-1, μt-2, ……μt-k+1, 的影响，而这k-1个随机变量又都 和μt-k具有相关关系，所以自相关系数ρk里实际掺杂了其 他变量对μt, 和μt-k的影响。 为了能单纯测度μt-k对μt的影响，引进偏自相关系数的 概念。 对于时间序列{μt}，所谓滞后k偏自相关系数指在给定 中间k-1个随机变量μt-1, μt-2, ……μt-k+1的条件下，或者 说，在剔除了中间k-1个随机变量μt-1, μt-2, ……μt-k+1的 干扰之后， μt-k对μt影响的相关程度。 计算公式为下式，具体计算就用μt 与μt-1, μt-2, ……μt-k 回归后，其系数就是μt偏自相关系数。
4、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
• 杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson)于1951 年提出的一种检验序列自相关的方法。 • 该方法的假定条件是：
–解释变量X非随机； – 随机误差项i为一阶自回归形式：i=i-1+I ； – 回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量； – 回归含有截距项。
关于本章教学内容设计的说明
• 时间序列的平稳性检验（§5.2节）
– 以时间序列数据为样本，时间序列性破坏了随机抽样 的假定，经典计量经济学模型的数学基础能否被满足？ – 如果所有时间序列是平稳的，时间序列的平稳性可以 替代随机抽样假定，可以采用时间序列数据建立经典 计量经济学模型。 – 所以，首先必须对用统计数据构造的时间序列进行平 稳性检验。
i 1, 2,L , n 1
i i 1 i
自相关(序列相关)
常用的方法有： （1）科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。 （2）杜宾（durbin）两步法
附：杜宾（durbin）两步法
该方法仍是先估计1，2，，L，再对差分 模型进行估计。
第一步，变换差分模型为下列形式：
Yi 1Yi 1 l Yi l 0 (1 1 l ) 1 ( X i 1 X i 1 l X i l ) i
利用
ut ut 1 vt
有
ut 1 ut 2 vt 1,, ut m1 ut m vt m1
ut mut m m1vt ( m1) m2vt ( m2) vt 1 vt
1 2 Cov N , N u n 1
i 1 l ,2 l , , n
（2.5.13）
采用 OLS 法估计该方程，得各Y j ( j i 1, i 2, i l ) 前的
ˆ1 , ˆ 2 , , ˆl 。 系数 1 , 2 , , l 的估计值
ˆ1 , ˆ 2 ,, ˆ l 代入差分模型 第二步，将估计的
i
对各方程估计并进行显著性检验，如果存在某 一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模 型存在序列相关性。
具体应用时需要反复试算。 回归检验法的优点是：
一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知 道了相关的形式；
它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。
（2）杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
三、序列相关性的后果
1、参数估计量无偏但非有效 ； 2、变量的显著性检验失去意义 ； 3、模型的预测失效 ；
时间序列模型检验步骤
时间序列模型检验步骤时间序列模型检验步骤时间序列模型是一种用于预测未来时间点的数值的统计模型。
在建立时间序列模型之前，需要对数据进行检验，以确保所选模型的可靠性和有效性。
以下是时间序列模型检验步骤的详细介绍。
第一步：观察数据图形在建立任何时间序列模型之前，首先需要观察数据图形。
这可以帮助我们了解数据中是否存在趋势、季节性或其他周期性变化。
如果存在这些变化，我们需要选择适当的模型来捕捉这些变化。
第二步：进行单位根检验单位根检验用于确定时间序列是否具有随机漫步特性。
如果一个时间序列具有随机漫步特性，那么它将难以预测，并且可能无法应用传统的统计方法。
因此，在选择任何时间序列模型之前，必须进行单位根检验。
第三步：确定自相关和偏自相关函数自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是确定ARMA（p，q）模型中p和q值的关键工具。
ACF衡量同一系列在不同滞后期之间的相关性，而PACF衡量在给定滞后期内两个系列之间的关系。
通过观察ACF和PACF图，我们可以确定适当的ARMA模型。
第四步：拟合模型并进行残差检验选择适当的ARMA模型后，需要进行拟合并进行残差检验。
残差是预测值与实际值之间的差异。
通过检查残差，我们可以确定模型是否具有正确的规范化和误差分布。
第五步：进行模型诊断在进行任何预测之前，必须对所选模型进行诊断。
这意味着需要检查是否存在异常值、自相关、异方差性或其他问题。
如果存在这些问题，可能需要重新选择或调整模型，以便更好地匹配数据。
总结时间序列模型检验是确保所选模型可靠性和有效性的关键步骤。
通过观察数据图形、单位根检验、确定自相关和偏自相关函数、拟合模型并进行残差检验以及进行模型诊断，可以确保所选时间序列模型具有正确的规范化和误差分布，并且能够准确地预测未来时间点的数值。
数学建模之时间序列模型
一、时间序列时间序列分析是当前对动态数据处理的一种有效方法,它不要求考虑影响观测值的各种力学因素,而只是分析这些观测数据的统计规律性。
通过对时间序列统计规律性进行分析,构造拟合出这些规律的可能数值,最后给出预测结果的精度分析。
1.1AR 模型：1.1.1 模型的应用①年降雨水量的预测， ②城市税收收入的预测。
1.1.2步骤 ①模型识别令均值为零的时间序列(1,2,,)t x t n = ,延迟k 周期的自协方差函数是[],k k t t k E y y γγ-+==（1）用ˆk γ、ˆk ρ分别表示自协方差函数的估计值和自相关函数的估计值,则自相关系数为kk k γρργ-==（2） 11ˆˆ,0,1,2,,1n kk k t t k t y y k n n γγ-+==-==-∑ （3）ˆˆˆ,0,1,2,,1kk k k n γρργ-===- （4） （1）对p 阶AR(P)模型有01122t t t p t p t x x x x φφφφε---=+++++ （5）{}00,()t x AR p φ=当为中心化序列,当00φ≠，可通过平移得到中心化()AR p 序列。
用B 表示移位算子，1;t t j t t j Bx x B x x --==，则AR(P)模型的算子形式：212(1)p p t t B B B x φφφε----=即()p t t B x φε=（5）两边同乘t k x +后再取均值得：1122[,][,()]t k t t k t t p t p t E x x E x x x x φφφε++---=++++由协方差函数函数得：211220k k k p k p k r εφγφγφγσδ---=++++ （6）取0,1,2,,k p = ，再将得到的差分方程两边同时除以0γ得：11211211221122p p p p p p p pρφφρφρρφρφφρρφρφρφ----=+++=+++ =+++（7）由上式（7）可得，k ρ应该满足：()0,0p k B k φρ=>（8）解得通解为1122k k kk p pc c c ρλλλ---=+++ （9） 其中,1,2,,i c i p = 可以由p 个初值021,,,p ρρρ- 代入计算得到，,1,2,,i i p λ= 是特征方程()0p B φ=的根。
第05章 多元时间序列分析方法
yt = a + β1x1t + β2 x2t + + βn xnt + ut
(5.4)
在此需要指出的是，由于在 E-G 两步法是应用协整回归的残差 ut 的 OLS 估计值 uˆt 来检验平
稳性，在协整检验过程中 DF 或 ADF 检验应用的临界值并不同于传统 DF 或 ADF 检验的临界值， 而是分别参照新的临界值分布表，即 Engle-Granger 协整临界值表。临界值的计算预备检验的时 间序列个数、样本容量及对残差项进行单位根检验时采用的模型形势等因素相关。
前面介绍的ARMA模型要求时间序列是平稳的，然而实际经济运行中的大多数时间序列都 是非平稳的，通常采取差分方法消除时间序列中的非平稳趋势，使得序列平稳后建立模型，这 就是第四章所介绍的ARIMA模型。但是，变换后的时间序列限制了所要讨论问题的范围，并且 有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，从而使得转换为平稳后的序列所建立的时间序 列模型的解释能力大大降低。
-4.9695
-4.1000 -4.4294
-3.8110 -4.1474
无趋势项
-4.9587
5
有趋势项
-5.2497
-4.4258 -4.7154
-4.1327 -4.3245
无趋势项
-5.2400
6
有趋势项
-5.5127Leabharlann -4.7048 -4.9767
-4.4242 -4.6999
注：表中的变量是协整回归中包含的变量的个数，变量为 1 是 DF 检验临界值。它是根据 Mackinnon(1991) 给出的临界值整理得。
许多经济计量软件，例如 Eviews，可直接根据研究者所选的模型形式及样本容量，直接给
现代时间序列分析模型讲义
⒈问题的提出
• 经典计量经济模型常用到的数据有：
– 时间序列数据（time-series data)； – 截面数据(cross-sectional data) – 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)
• 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 • 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
• 一个简单的检验过程：
– 同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过 ADF临界值表检验零假设H0：=0。
– 只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就 可以认为时间序列是平稳的；
– 当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认 为时间序列是非平稳的。
3、例：检验1978~2000年间中国支出法 GDP时间序列的平稳性
（-0.90） (3.38) LM（1）=0.57
(10.40) LM（2）=2.85
(-5.63)
LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定 是正确的。
GDPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在 单位根的零假设。
常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝 不存常数项的零假设。
• 经典时间序列分析模型：
– MA、AR、ARMA – 平稳时间序列模型 – 分析时间序列自身的变化规律
• 现代时间序列分析模型：
– 分析时间序列之间的关系 – 单位根检验、协整检验 – 现代宏观计量经济学
§1 时间序列平稳性和单位根检验
一、时间序列的平稳性 二、单整序列 三、单位根检验
一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series
2、平稳性的定义
• 假定某个时间序列是由某一随机过程
第5章 时间序列的模型识别PPT参考课件
原理(模型阶数简约原则 parsimony principle)：
设Xt(1≤t≤N)是零均值平稳序列，用模型AR模型拟合
AR p : Xt 1Xt1 2 Xt2 L p Xt p t 残差平方和Q0
AR p 1 : Xt 1Xt1 2 Xt2 L p1Xt p1 t 残差平方和Q1
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结论：对于给定的显著性水平α
若F>Fα(s,N-r)，则拒绝原假设，认为后面s个回归因子对 因变量的影响是显著的，表明M1合适；
若F<Fα(s,N-r)，则接受原假设，认为这s个回归因子对因 变量的影响是不显著的，表明M2合适。
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AR(p)模型定阶的F准则
1967年，瑞典控制论专家K.J.Aström教授将F检验准则用于 对时间序列模型的定阶。
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BIC准则
AIC准则是样本容量N的线性函数，在N→∞时不收敛 于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数要多， 是过相容的。
为了弥补AIC准则的不足，Akaike于1976年提出BIC准 则，而Schwartz在1978年根据Bayes理论也得出同样的 判别标准，称为SBC准则。理论上已证明，SBC准则 是最优模型的真实阶数的相合估计。
Xt 1Xt1 L p Xt p t 1t1 L qtq , t : WN 0, 2 AIC T ln ˆ 2 2 p q 1
说明：
第一项：体现了模型拟合的好坏，它随着阶数的增大而减小； 第二项：体现了模型参数的多少，它随着阶数的增大而变大。
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AIC准则用于ARMA模型的定阶
第五章时间序列的模型识别
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X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t 进行拟合。根据模型阶数节省原则(parsimony principle)，采取由低阶逐步升高的“过拟合” 办法。先对观测数据拟合模型AR(p)(p=1， 2，…)，用递推最小二乘估计其参数并分别计算 对应模型的残差平方和。根据适用的模型应具有 较小的残差平方和的特点，用F准则判定模型的 阶数改变后相应的残差平方和变化是否显著。
时间序列的模型识别
前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可 逆性问题，关于线性平稳时间序列模型，引入了 自相关系数和偏自相关系数，由此得到ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将运用数据开始 进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：
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§5.1
自相关和偏自相关系数法
在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是 利用数据去识别和建模，根据第三章讨论的内容， 一个比较直观的方法，就是通过观察自相关系数 （ACF）和偏自相关系数（PACF）可以对拟合 模型有一个初步的识别，这是因为从理论上说， 平稳AR、MA和ARMA模型的ACF和PACF有如 下特性：
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（5.2.28）
这是偏自相关系数的一致估计。
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要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归
ut 0 1ut1 k1utk1 k,k utk t
t = 1, 2, , T （5.2.29） 因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当 ut 对 ut-1，…，ut-k 作回归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了k 期 间距的相关而不考虑 k -1 期的相关。
第五章 时间序列模型
关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在 前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估 计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9 章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。
这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。
称 rk 为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的
刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列 ut 的邻近数
据之间存在多大程度的相关性。
11
2．偏自相关系数
偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，
ut 与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k
① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的； ② 使用OLS公式计算出的标准差不正确； ③ 回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不 再可信。
6
§5.1.2 序列相关的检验方法
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但 首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显 著的变量引入到解释变量中。
7
EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。
1．D_W统计量检验
Durbin-Watson 统计量（简称D_W统计量）用于检
验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联
系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：
ut ut1 t
(5.1.6)
D_W统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。
1
在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是 对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊 的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够 有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首 先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问 题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动 项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动 平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、 估计及识别方法。
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2 . 相关图和Q -统计量
1. 自相关系数 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数
和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后 k 阶的
自相关系数由下式估计
rk
T
t k 1
ut
u
utk u
T
t 1
ut
u
2
（5.2.26）
其中 u 是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。
度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下
r1
k ,k
rk
r k1
j1 k 1, j k j
1
r k 1
j1 k 1, j k j
k 1 k 1 （5.2.27）
其中：rk 是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。
k, j
k 1, j
k ,k k 1,k j
cov(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T (5.1.3)
即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，
而 是 存 在 某 种 相 关 性 ， 则 认 为 出 现 了 序 列 相 关 性 (serial
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
correlation)。
4
由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差 的正态分布，则序列相关性也可以表示为：
9
Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不 再有效。 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、 Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数 场合。
E(ututs ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T (5.1.4)
特别的，如果仅存在
E(utut1) 0
t 1,2, , T
(5.1.5)
称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问
题。
5
如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用 最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低 估。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可信。 可以将序列相关可能引起的后果归纳为：
3
§5.1 序列相关及其检验
§5.1.1 序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
yt 0 1x1t 2 x2t k xkt ut
(5.1.1)
随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
cov(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T (5.1.2)
如果扰动项序列 ut 表现为：
8
T
(uˆt uˆt1)2
D.W . t2 T
uˆt2
2(1 ˆ )
t 1
如果序列不相关，D.W.值在2附近。
如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。
如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。
正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测 值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明残 差序列存在强的正一阶序列相关。
2
由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序 列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳 的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概 念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞 速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检 验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本 思想及误差修正模型。