§10.5散度与高斯公式(2)

由Gauss 公式得 I 3(x2 y 2 z 2 )dxdydz
球坐标
2
d
d
a
3r
2r
2
sindr
0 00
6(cos) 1 r5 a 12a5. 05 0 5
例
3．计算
I
2(
x 2
x
2
)dydz
8xydz
dx4x(x
z)dx
dy
，
其中 是 旋转抛物面z x2 y 2 介于z 0 和z 4 两平面间
由三重积分计算法得
R dxdydz dxdy z2 (x,y) R dz
z
D xy
z1 (x, y) z
z
2
[R(x, y, z2 (x, y) R(x, y, z1(x, y)]dxdy ， 1
D xy
o
Dxy
y
x
又 Rdxdy Rdxdy Rdxdy
1
2
[R(x, y,z2 (x, y)R(x, y,z1(x, y)]dxdy ，
R z
dxdydz
。
设区域在 xoy 面上的投影区域为Dxy ，假定穿过
内部且平行于z 轴 的直线与 的 边界曲面 的 交点恰好
两个， 由 1与 2 组成，其方程分别为 1 ： z z1(x, y) ，(x, y)Dxy ，
2 ： z z2 (x, y) ，(x, y)Dxy ，其中z1(x, y) z2 (x, y) 。
场中任一点
M
(x,
y, z)
处的电场强度E
1 4
q r2
r
（
r
r r
，
r
{x,
y,
z}
，r
r
），求场中点 M
处电场强度E 的 散度。
解：
E
1 4
q r2
r
q 4
r r3
q 4
1 r3
{x,
y,
z}
，
P q x ，Q q y ，R q z ，
4 r 3
4 r 3
4 r 3
量的方向余弦。 解：先把第一型曲面积分化为第二型曲面积分：
I (x2 cos y2 cos z2 cos)dS
x2dydz y2dzdx z2dxdxy
曲面 不是 封闭曲面，故不能直接用Gauss 公式。
添补平面1 ： z h,(x2 y2 h2) ，取上侧，
则1 构成一个封闭曲面的外侧，记其围成的空间 区域为 ，由Gauss 公式，得
即一区域中总散度等于通过边界的通量。
三、散度的性质
（1） div(aAbB) adivAbdivB ，其中a,b 是常数。
（2）若u(x, y, z) 的梯度存在，则div(uA) udivA Agardu 。
证明：仅设证A(2{).P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
则 uA {uP, uQ, uR}，
div(uA)
(uP)
(uQ)
(uR)
x
y
z
u P P u u Q Q u u R R u x x y y z z
u(
P
Q
R
)
(
u
P
u
Q
u
R)
udivA
A
gardu.
x y z x y z
例 4．设点电荷q 位于 坐标原点，它在真空中产生一电场，
当封闭曲面取内侧时，Gauss 公式中的符号应为负号；
xdydz ydzdx zdxdy 3dV 3V ，
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q, R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。 dV
1 3
xdy dz
ydz dx
zdx
dy
。
如果穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界 曲面 的交点多于两个，则可以引进几个辅助曲面把 分成有限个区域，使得每个区域满足上述条件，并 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值 相等而符号相反，相加正好抵消，所以高斯公式对这 样的区域仍成立。
Dxy
∴
Rdxdy
R z
dxdydz
，
同理可证
Pdydz
P x
dxdydz
，
Qdydz
Q y
dxdydz
。
故
Pdydz
Qdy
dx
Rdxdy
( Px
Q y
R )dV z
。
注 ：（1）Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续，
三者缺一不可。
（2）若当积分P 曲x面, Q不y,封R闭，z 时则，添由 加G辅a助us曲s 面 公使式之得封闭；
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式 1 V
v
ndS
表示小区域
内有“源”与
有“洞”的平均状态，而 divA M 则表示在点 M 处
1
Dxy
4 1
84 x2dxdy16 xdxdy
Dxy
Dxy
Dxy o
2
x
84 2cos2d 23d08168.
0
0
2y
二、散度的计算
设向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，其中
P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，在场中取包含点
M (x, y, z) 的任一闭曲面 ，其所围区域 的体积
P [ q (xr 3)] q [r3 x(3)r4 r ]
x x 4
4
x
q [r 3 x(3)r 4
2x
]
4
2 x2 y2 z2
q 4
(
1 r3
3x2 r5
),
Q y
q 4
(
1 r3
3y2 r5
)
，
R z
q 4
(
1 r3
3z 2 r5
)
，
故
divE
P
Q
R
q
[ 3 3(x2 y 2 z 2 )] 0 。
4 1
P Q R 14x8x4x 1， x y z
由Gauss 公式得
Dxy o
2
x
2y
2(
x 2
x2
)dy
dz
8 xydz
dx
4
x(
x
z)dx
dy
dV
1
2 2
4
0 d0 d2
dz
8
。
I
( )[2(
1 1
x 2
x2
)dy
dz
8xydz
dx
4
x(
x
z)dx
z
dy]
8 8 (4x2 16x)dxdy
DБайду номын сангаасy
∴ I ( )x2dydz y2dzdx z2dxdy
1 1
1 h4 h4 1 h4.
2
2
作业
习 题 四 （P233）
1（1）； 2 ；3 ； 5（1）（4）（5）； 6。
有“源”与有“洞”的状态。
向量场的散度是数量。若divA M 0 ，则表示该点
处有“源”；若 divA M 0 ，则表示该点处有“洞”；
若 divA M 0 ，则表示该点处既无“源”也无“洞”。
divA M 表示该点处“源”与“洞”的强度。
10.5.2 高斯（Gauss ）公式
一、高斯定理
M
，
∴
divA
M
lim
d0
AndS
V
lim
M M
( P x
Q y
R z
)
M
( P x
Q y
R ) z
M
.
∵M 是场中任一点，
∴
divA
P
Q
R
。
x y z
—散度的计算公式
故
AndS
divAdV
。
Gauss 公式是一个极其重要的公式，它建立了曲
面积分与三重积分之间的联系，有着明确的物理意义，
x
I
y
(z
z
x2
y
2
)dV
2 0
1
d 0
o
2
d 0
(z
2
1
)dz
x
. 8
例 2．计算 I x3dydz y3dzdx z3dxdy ， 是 球面
x2 y2 z2 a2 的内侧。
解： P x3 ，Q y3 ，R z3 ，
P Q R 3(x2 y 2 z 2 ) ， x y z
例 1．计算 I xzdydz x2 ydzdx y 2 zdxdy ，其中 是
旋转抛物面 z x2 y 2 ，圆柱面x2 y 2 1 和三个坐标面在
第一卦限内所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。
z
解：用Gauss 公式计算之，
P xz ，Q x2 y ，R y2z ，
y
1
P Q R z x2 y 2 ，
为 V ，d 为 的直径，n 为 外侧的单位法向量，
由高斯公式得
A ndS
(
P x
Q y
R )dV z
，
根据积分中值定理，存在点 M ，使得
(
P x
Q y
R z
)dV
(P Q R ) x y z
M
V
，
即
AndS
(
P x
Q y
R z
)
M
V
，
AndS
从而 V
(P Q R ) x y z
设 是以分片光滑曲面 为界面的空间闭区域，向量场 A(x, y, z) {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 在上具有一阶
连续偏导数，则有
vndS
Pdydz
Qdy
dx
Rdxdy
(
P x
Q y
R )dV z
其中 取外侧 。此公式称为高斯公式。
证：在这里只证明
Rdxdy
§10.5 散度与高斯公式
10.5.1 散度
一、通量
定义 1 设 A(x, y, z) 为一向量场， 为场中一有向
曲面，称
A
ndS
为向量场
A
穿过曲面
的通量
。
当A 是电场强度E
时，
E ndS
即为电通量；
当A 是磁场强度H
时，
H ndS
即为电通量。
二、散度
定义 2 设有向量场A(x, y, z) ，在场中取包含点 M 的任
的部分取上侧。
解：积添分补曲平面面不是1 封：闭z 曲4面, (，x2不能y2直4接) 利 ，用取G下au侧ss；公式计算。
则 1 是一个封闭曲面的内侧，
zz 4 1
记其所围成的空间区域为 ，
用柱面坐标 表示 ：
0 2, 0 2, 2 z 4.
Dxy o o
2
2
yy
xx
z
P 2( x x2 ) ，Q 8xy ， R 4x(x z) ， 2
一闭曲面 ，设 所围的空间域 的体积为V ，
直径为d ， 外侧的单位法向量为n 。若当d 0时 ，
比式
1 V
AndS
的极限存在，则称此极限为A 在点
M
处的散度，记为divA M （简记为divA ），即
divA
lim
d 0
1 V
AndS
下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义。
设一稳定的不可压缩的流体速度场为v(x, y, z) ，流过
x2dydz y2dzdx z2dxdy 2(x y z)dxdydz
1
2 zdxdydz
h
20 zdz
dxdy （圆域D(z)
：x2 y 2 z 2
）
D(z)
2 hzz2dz 2 hz3dz 1 h4.
0
0
2
又 x2dydz y2dzdx z2dxdy z2dxdy
1
1
h2dxdyh4,
x y z 4 r3
r5
例 5．利用Gauss 公式计算曲面积分
I (x2 cos y 2 cos z 2 cos)dS ，其中 为 锥面
x2 y 2 z 2 介于平面 z 0 及z h (h 0) 之间的部分的
下侧，cos ，cos ， cos 是 在 点(x, y, z) 处的法向