四川大学数学分析历年真题汇编考研真题
(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编
6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作， 它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）： （1） （2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1） （2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北 行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多 少？
2012年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）： （1）ax （2）sin（x/2） （3） （4）ln（1＋x） （5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）： （1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形； （2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目 录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
四川大学考研专业课历年真题资料三(免费下载)
四川大学考研专业课历年真题资料三(免费下载）1.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2001试题资料下载2.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2002试题资料下载3.四川大学工商管理学院管理学原理（管理科学与工程）20052001试题资料下载4.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2000试题资料下载5.四川大学工商管理学院管理学原理（管理科学与工程）2005试题资料下载6.四川大学工商管理学院运筹学2005试题资料下载7.四川大学建筑与环境学院城市规划设计（8小时）2005试题资料下载8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.四川大学政治学院社会主义经济理论与实践2002试题资料下载31.四川大学政治学院思想政治教育理论与实践2004试题资料下载32.四川大学建筑与环境学院高等数学（环境科学专业）2005试题资料下载33.四川大学政治学院政治学原理2005试题资料下载34.四川大学政治学院邓小平理论2002试题资料下载35.四川大学政治学院政治学原理2004试题资料下载36.四川大学政治学院马克思主义基本理论2004试题资料下载37.四川大学政治学院马克思主义基本理论2005试题资料下载38.四川大学数学院数学分析、高等代数2004试题资料下载39.四川大学数学院数分、高代基础2003试题资料下载40.四川大学数学院概率统计（概率论与数理统计专业）2004试题资料下载41.四川大学数学院数学分析、高等代数2005试题资料下载42.四川大学数学院常微分方程2005试题资料下载43.四川大学数学院数学分析2002试题资料下载44.四川大学数学院泛函分析2003试题资料下载45.四川大学数学院概率论2002试题资料下载46.四川大学数学院近世代数2004试题资料下载47.四川大学数学院泛函分析2002试题资料下载48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.四川大学文学与新闻学院中国现当代文学2002试题资料下载71.四川大学文学与新闻学院中外文学2002试题资料下载72.四川大学文学与新闻学院中外文学2000试题资料下载73.四川大学文学与新闻学院古代汉语2000试题资料下载74.四川大学文学与新闻学院古代汉语2001试题资料下载75.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2001试题资料下载76.四川大学文学与新闻学院古代汉语2003试题资料下载77.四川大学文学与新闻学院古代汉语2002试题资料下载78.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2000试题资料下载80.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2002试题资料下载81.四川大学文学与新闻学院外国文学史1997试题资料下载82.四川大学文学与新闻学院外国文学史1998试题资料下载83.四川大学文学与新闻学院外国文学史1999试题资料下载84.四川大学文学与新闻学院外国文学史2000试题资料下载85.四川大学文学与新闻学院外国文学史2001试题资料下载86.四川大学文学与新闻学院外国文学（含比较文学）2004试题资料下载87.四川大学文学与新闻学院外国文学（含比较文学）2003试题资料下载88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.110.四川大学文学与新闻学院新闻传播史论2005试题资料下载111.四川大学文学与新闻学院新闻传播史论2003试题资料下载112.四川大学文学与新闻学院新闻史论2000试题资料下载113.四川大学文学与新闻学院新闻史论2001试题资料下载114.四川大学文学与新闻学院比较文学2001试题资料下载115.四川大学文学与新闻学院现代汉语2000试题资料下载116.四川大学文学与新闻学院比较文学2002试题资料下载117.四川大学文学与新闻学院现代汉语2003试题资料下载118.四川大学文学与新闻学院西方文论2000试题资料下载120.四川大学文学与新闻学院现代汉语2002试题资料下载121.四川大学文学与新闻学院现代汉语2005试题资料下载122.四川大学文学与新闻学院比较文学2000试题资料下载123.四川大学文学与新闻学院西方文论2001试题资料下载124.四川大学文学与新闻学院语言学概论2000试题资料下载125.四川大学文学与新闻学院西方文论2002试题资料下载126.四川大学文学与新闻学院语言学概论2001试题资料下载127.四川大学文学与新闻学院语言学概论2002试题资料下载147.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（光学、无线电物理专业）2001试题资料下载148.四川大学材料科学与工程学院普通化学2002试题资料下载149.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（理论物理、粒子物理与原子核物理专业）2003试题资料下载150.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（理论物理、粒子物理与原子核物理专业）2002试题资料下载。
四川大学2009年数学分析考研真题与解答
四川大学2009数学分析考研真题与解析1·求下列极限。
（a ）∑=∞→nk k nn Cn2.ln 1lim解： 原极限=()221111121ln ln limln 1limnn C C Cn n k nk kn k n n k nnk n ++-=∑∑∑+==+∞→=∞→=∑=∞→-++nk n k n nn 11ln 121lim =∑=∞→∞→--⋅+n k n n nk n n n 1111ln 1lim 12lim =⎰=--1021)1ln(21dx x(b)().sin lim 22n n n +∞→π解： 原极限=nn n nn n n n n ++=-+∞→∞→22sinlim )sin(lim πππ=12sin 111limsin ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→ππn n （c ）().sin sin lim2302dtt t t tdtx x x ⎰⎰-→解： 原极限=()().1262limsin sin 2lim 53302230=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-⋅→→x x x x x x x x x x x x ο （d ）xx xe x x cos 11lim 0----+→ 解： 原极限=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++→222222024218212lim x x x x x x x x x οοο =.32418121-=--2·计算下列积分。
（a ）,222dxdy y x yx D⎰⎰--+其中{()}1;R ,222≤+∈=y x y x D 解： 原积分=rdr r r r d ⎰⎰-+12202sin cos θθθπ=dr r r d 220104sin ⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛+ππθθ=()()θθθπθθd dr r r dr r r ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-201sin 23sin 032sin sin=θθθπd ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-204413sin 6sin =85π(b) ⎰l yzds ,其中l 是球面⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=++332222a a z y x 与平面1=++z y x 的交线.解： 原积分=()ds z z ds zx yz l l ⎰⎰-=+121)(21 =()()ds z y x ds z y x l l ⎰⎰++-++2226161 =⎰-l ds a 612 =().3131312612222--=-⋅-a a a a ππ（c ）设()x f 在()+∞∞-,内有连续导函数，求积分()()[]dy xy f y y x dx y xy f y L11222-++⎰，其中L 是从点⎪⎭⎫⎝⎛32,3A 到()2,1B 的直线段。
北京大学、北京师范大学、四川大学、西南大学四所大学的近年考研试题
目录第一卷北京大学 (1)1.1996年数学分析(1)2.1996年高等代数(1)3.1997年数学分析(2)4.1997年高等代数(2)5.1998年数学分析(3) 6.1998年高等代数(4)7.1999年数学分析(5)8.1999年高等代数(5)9.2000年数学分析(6)10.2000年高等代数(7)11.2001年数学分析(8)12.2001年高等代数(8)13.2002年数学分析(9)14.2002年高等代数(10)15.2005年数学分析(11)16.2005年高等代数(11)17.2006年数学分析(12)18.2006年高等代数(13)19.2007年数学分析(14)20.2007年高等代数(14)21.2008年数学分析(15)22.2008年高等代数(16)23.2009年数学分析(16)24.2010年数学分析(17)25.2010年高等代数(18)第二卷北京师范大学 (19)1.1998年数学分析(19)2.1998年高等代数(19)3.1999年数学分析(20)4.1999年高等代数(20)5.2000年数学分析(21) 6.2000年高等代数(22)7.2001年数学分析(22)8.2001年高等代数(23)9.2002年数学分析(23)10.2002年高等代数(23)11.2003年数学分析(24)12.2003年高等代数(25)13.2004年数学分析(25)14.2004年高等代数(26)15.2005年数学分析(26)16.2005年高等代数(27)17.2006年数学分析与高等代数(28)18.2007年数学分析与高等代数(29)第三卷四川大学 (30)1.1997年数学分析(30)2.1998年数学分析(30)3.1999年数学分析(31)4.1999年高等代数(31)5.2000年数学分析(32) 6.2000年高等代数(32)7.2001年数学分析(33)8.2001年高等代数(34)9.2002年数学分析(34)10.2002年高等代数(35)11.2003年数学分析与高等代数(35)12.2004年数学分析与高等代数(36)13.2005年数学分析与高等代数(37)14.2006年数学分析与高等代数(38)15.2007年数学分析(39)16.2007年高等代数(39)17.2008年数学分析(41)18.2008年高等代数(42)第四卷西南大学 (44)1.2002年数学分析(44)2.2002年高等代数(45)3.2003年数学分析(45)4.2003年高等代数(46)5.2004年数学分析(47) 6.2004年高等代数(47)7.2005年数学分析(48)8.2005年高等代数(49)9.2006年数学分析(50)10.2006年高等代数(51)11.2007年数学分析(52)12.2007年高等代数(53)13.2008年数学分析(54)14.2008年高等代数(55)北京大学1996年数学分析试题1.(25分)判断下列命题的真伪：(1)对数列{a n }作和S n =n ∑k =1a k ，若{S n }是有界数列，则{a n }是有界数列；(2)数列{a n }存在极限lim n →∞a n =a 的充要条件是：对任一正整数p ，都有lim n →∞ a n +p −a n =0；(3)设f (x )是[a,+∞)上的递增连续函数，若f (x )在[a,+∞)上有界，则f (x )在[a,+∞)上一致连续；(4)设f (x )在[a,b ]上连续，且在(a,b )上可微，若存在极限lim x →a +0f ′(x )=ℓ，则右导数f ′+(a )存在且等于ℓ；(5)若f (x )是[a,+∞)上的非负连续函数，且积分∫+∞a f (x )d x 收敛，则lim x →+∞f (x )=0．2.(13分)设f (x )在x =a 处可微，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))x ．3.(20分)(1)求幂级数+∞∑n =1nx n −1(|x |<1)的和；(2)求级数+∞∑n =12n 3n 的和．4.(12分)求积分I =∫∫∫D (x +y +z )d x d y d z 的值，其中D 是由平面x +y +z =1以及3个坐标平面围成的区域．5.(20分)设a n =0(n =1,2,...)且lim n →∞a n =0．若存在极限limn →∞a n +1a n =ℓ，证明|ℓ| 1．6.(10分)设在[a,b ]上，f n (x )一致收敛于f (x )，g n (x )一致收敛于g (x )．若存在正数列{M n }，使得对任意x ∈[a,b ]，n =1,2,···，有f n (x ) M n ，g n (x ) M n ．证明，f n (x )g n (x )在[a,b ]上一致收敛于f (x )g (x )．北京大学1996年高等代数与解析几何试题1.(15分)在仿射坐标系中，求过点M 0(0,0,−2)，与平面π1:3x −y +2z −1=0平行，且与直线ℓ1:x −14=y −3−2=z −1相交的直线ℓ的方程．2.(25分)作直角坐标变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并且指出它是什么曲面：x 2+4y 2+z 2−4xy −8xz −4yz +2x +y +2z −2516=0．3.(16分)设线性空间V 中的向量组α1,α2,α3,α4线性无关．(1)试问，向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是否线性无关？要求说明理由；·2·博士家园首发(2)求向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1生成的线性子空间W 的一个基以及W 的维数．4.(16分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，并且V =U ⊕W ．任给α∈V ，设α=α1+α2，其中α1∈U ，α2∈W ．令P (α)=α1．证明：(1)P 是V 上的线性变换，并且P 2=P ；(2)P 的核Ker P =W ，P 的象Im P =U ；(3)V 中存在一个基，使得P 在这个基下的矩阵是(I r O O O)，其中I r 表示r 阶单位矩阵；请指出r 等于什么．5.(12分)n 阶矩阵A 称为周期矩阵，如果存在正整数m ，使得A m =I ，其中I 是单位矩阵．证明，复数域C 上的周期矩阵一定可以对角化．6.(16分)用R [x ]4表示实数域R 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个Euclid 空间，其上的内积为(f,g )=∫10f (x )g (x )d x ．设W 是由零次多项式组成的子空间，求W ⊥以及它的一个基．北京大学1997年数学分析试题1.(10分)将函数f (x )=arctan 2x 1−x 2在x =0点展开为幂级数，并指出收敛区间．2.(10分)判别广义积分的敛散性：∫+∞0ln(1+x )x pd x ．3.(15分)设f (x )在(−∞,+∞)上任意阶导数f (n )(x )，且对任意有限闭区间[a,b ]，f (n )(x )在[a,b ]上一致收敛于φ(x )(n →∞)．证明，φ(x )=c e x ，c 为常数．4.(15分)设x n >0(n =1,2,···)及lim n →+∞x n =a ．用ε−N 语言证明lim n →+∞√n =√．5.(15分)计算第二型曲面积分S (x d y d z +cos y d z d x +d x d y )，其中S 为x 2+y 2+z 2=1的外侧．6.(20分)设x =f (u,v )，y =g (u,v )，ω=ω(x,y )有2阶连续偏导数，满足∂f ∂u =∂g ∂v ，∂f ∂v =−∂g ∂u ，∂2ω∂x 2+∂2ω∂y2=0．证明：(1)∂2(fg )∂u 2+∂2(fg )∂v 2=0；(2)∂2ω∂u 2+∂2ω∂v 2=0．7.(15分)计算三重积分：∫∫∫x 2+y 2+z 2 2z(x 2+y 2+z 2)5/2d x d y d z ．北京大学1997年高等代数与解析几何试题1.(12分)判断下列二次曲线的类型：(1)x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0；(2)x 2+4xy +4y 2−20x +10y −50=0．2.(18分)过x 轴和y 轴分别做动平面，交角α是常数，求交线轨迹的方程，并且证明它是一个锥面．3.(20分)设A,B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量x 1,···,x n 所成的n ×1矩阵．已知齐次线性方程组AX =0和BX =0分别有ℓ,m 个线性无关解向量，这里ℓ 0，m 0．(1)证明(AB )X =0至少有max(ℓ,m )个线性无关的解向量；第一卷北京大学·3·(2)如果ℓ+m >n ，证明(A +B )X =0必有非零解；(3)如果AX =0和BX =0无公共非零解向量，且ℓ+m =n ；证明K n 中任一向量α可唯一表示成α=β+γ，这里β,γ分别是AX =0和BX =0的解向量．4.(20分)设A 是实数域R 上的3维线性空间V 上的一个线性变换，对V 的一组基ε1,ε2,ε3，有A (ε1)=3ε1+6ε2+6ε3，A (ε2)=4ε1+3ε2+4ε3，A (ε3)=−5ε1−4ε2−6ε3．(1)求A 的全部特征值和特征向量；(2)设B =A 3−5A ，求B 的一个非平凡的不变子空间．5.(10分)设f (x )是有理数域Q 上的一个m 次多项式(m 0)，n 是大于m 的正整数．证明，n √2不是f (x )的实根．6.(20分)设A 是n 维Euclid 空间V 上的一个线性变换，对任意α,β∈V ，有(A (α),β)=−(α,A (β))．(1)若λ是A 的一个特征值，证明λ=0；(2)证明V 内存在一组标准正交基，使得A 2在此基下的矩阵为对角矩阵．(3)设A 在V 的某组标准正交基下的矩阵．证明，把A 看做复数域C 上的n 阶方阵，其特征值比零．北京大学1998年数学分析试题1.(26分)单项选择题：(1)设f (x )定义在区间[a,b ]上．若对任意的g ∈R ([a,b ])，有f ·g ∈R ([a,b ])，则()．A.f ∈R ([a,b ]) B.f ∈C ([a,b ])C.f 可微 D.f 可微(2)f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=1，lim b →b −f (x )=2，则()．A.f (x )在[a,b ]一致连续B.f (x )在[a,b ]连续C.f (x )在(a,b )一致连续D.f (x )在(a,b )可微(3)若广义积分∫10f (x )d x 和∫10g (x )d x 都存在，则广义积分∫10f (x )g (x )d x ()．A.收敛B.发散C.不一定收敛D.一定不收敛(4)若lim n →∞na n =1，则∞∑n =1a n()．A.发散 B.收敛C.不一定收敛D.绝对收敛(5)设f (x,y )在区域{(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若存在偏导数f ′x (0,0)=0=f ′y (0,0)，则f (x,y )()．A.在点(0,0)处连续B.在点(0,0)处可微C.在点(0,0)处不一定连续D.在点(0,0)处不可微2.(24分)计算下列极限：(1)lim n →∞n √1+a n (a >0)；(2)lim x →0(1x 2−cot x x )；(3)lim x →0+∞∑n =112n n x ．3.(10分)计算下列积分：·4·博士家园首发(1)∫∫S x 3d y d z +x 2y d z d x +x 2z d x d y ，其中S 为z =0，z =b 和x 2+y 2=a 2围成的区域；(2)∫C 1yd x +1x d y ，其中C 为y =1，x =4和y =√x 所围区域的边界，逆时针旋转一周．4.(16分)解答下列问题：(1)求幂级数∞∑n =1(−1)n n !(n e )n x n 的收敛半径；(2)求级数∞∑n =02n (n +1)n !的和．5.(24分)试证明下列命题：(1)广义积分∫+∞0sin x 21+x p d x (p 0)是收敛的；(2)设f (x,y )在G ={(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若f (x,0)在x =0处连续，且f ′y (x,y )在G 上有界，则f (x,y )在(0,0)处连续．北京大学1998年高等代数与解析几何试题1.(15分)设在直角坐标系中给出了两条互相异面的直线ℓ1和ℓ2的普通方程：{x +y +z −1=0x +y +2z +1=0，{3x +y +1=0y +3z +2=0．(1)过ℓ1作平面π，使得π与ℓ2平行；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(15分)在直角坐标系中，球面的方程为：(x −1)2+y 2+(z +1)2=4．求所有与向量u (1,1,1)平行的球面的切线构成的曲面的方程．3.(16分)讨论a,b 满足什么条件时，数域K 上的方程组 ax 1+3x 2+3x 3=3x 1+4x 2+x 3=12x 1+2x 2+bx 3=2有唯一解，有无穷多个解，无解？当有解时，求出该方程组的全部解．4.(12分)设V 是定义域为实数集R 的所有实值函数组成的集合，对于f,g ∈V ，α∈R ，分别用下列式子定义f +g 与αf ：对任意x ∈V ，(f +g )(x )=f (x )+g (x )，(αf )(x )=α(f (x ))．则V 成为R 上的一个线性空间．设f 0(x )=1，f 1(x )=cos x ，f 2(x )=cos 2x ，f 3(x )=cos 3x ．(1)判断f 0,f 1,f 2,f 3的线性相关性，写出理由；(2)用⟨f,g ⟩表示f,g 生成的线性子空间，判断⟨f 0,f 1⟩+⟨f 2,f 3⟩是否为直和，写出理由．5.(20分)用J 表示元素全为1的n 阶方阵，n 2．设f (x )=a +bx 是有理数域Q 上的一元多项式，令A =f (J )．(1)求J 的全部特征值、全部特征向量、所有特征子空间；(2)A 是否可以对角化？如果可以对角化，求出有理数域Q 上的一个可逆矩阵，使得P −1AP 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵．6.(22分)用M 2(C )表示复数域C 上所有2阶矩阵组成的集合．令V ={A ∈M 2(C ) Tr(A )=0且A ∗=A }．其中Tr(A )表示A 的迹，A ∗表示A 的转置共轭矩阵．(1)证明V 对于矩阵的加法以及实数与矩阵的数量乘法作成实数域R 上的线性空间，并且说明V 中的元素形如：(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，其中a 1,a 2,a 3∈R ，i =√−1．第一卷北京大学·5·(2)设A =(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，B =(b 1b 2+i b 3b 2−i b 3−b 1)，考虑V 上的一个二元函数：(A,B )=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．证明，这个二元函数是V 上的一个内积，从而V 成为Euclid 空间；并且求出V 的一个标准正交基，要求写出理由．(3)设T 是一个酉矩阵（即，T 满足T ∗T =I ，其中I 是单位矩阵），对任意A ∈V ，规定ΨT (A )=T AT −1，证明ΨT 是V 上的正交变换．(4)ΨT 的意义通第(3)小题，求集合：S ={T det T =1且ΨT =1V }．其中det T 表示T 的行列式，1V 表示V 上的恒等变换．北京大学1999年数学分析试题1.(15分)判断下列命题的真伪：(1)设{a n }是一个数列．若存在一个子列{a n k }中存在收敛子列{a n k i }，则{a n }比为收敛列；(2)设f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=A <0，lim x →b −f (x )=B >0，则必存在ξ∈(a,b )，使得f (ξ)=0；(3)设f (x )在[a,b ]上有界．若对任意δ>0，f (x )在[a +δ,b ]上可积，则f (x )在[a,b ]上可积；(4)设f (x ),g (x )在[0,1]上的暇积分均存在，则乘积f (x )·g (x )在[0,1]上的暇积分必存在；(5)设级数∞∑n =1b n 收敛．若有a n b n (n =1,2,···)，则级数∞∑n =1a n 收敛．2.(40分)求下列极限值：(1)lim x →0a tan x +b (1−cos x )αlog(1−x )+β(1−e −x 2)(a 2+α2=0)；(2)lim n →∞∫10(1−x 2)n d x ；(3)lim n →∞(sin πn n +1+sin 2πn n +12+···+sin πn +1n)；(4)lim n →∞n √1+a n (a >0)．3.(45分)求解下列命题：(1)求级数∞∑n =0n 3n 2n 之和；(2)证明，级数∞∑n =1(−1)n arctan n √n 收敛；(3)设f ∈C ([0,1])，且在(0,1)上可微．若有8∫17/8f (x )d x =f (0)，证明，存在ξ∈(0,1)，使得f ′(ξ)=0；(4)证明，积分∫+∞0x e −xy d y 在(0,+∞)上不已知收敛；(5)设u =f (x,y,z )，g (x 2,e y ,z )=0，y =sin x ，且已知f 与g 都有一阶连续偏导数，∂g ∂z =0．求d u d x ；(6)设f (x )在[−1,1]上二次连续可微，且有lim x →0f (x )x =0．证明，级数∞∑n =1f (1n )绝对收敛．北京大学1999年高等代数与解析几何试题1.(20分)在仿射坐标系中，已知直线ℓ1,ℓ2的方程分别是：x +132=y −53=z 1，x −105=y +74=z 1．(1)判断ℓ1与ℓ2的位置关系，要求说出理由；(2)设直线ℓ的一个方向向量⃗v (8,7,1)，并且ℓ与ℓ1和ℓ2都相交，求直线ℓ的方程．·6·博士家园首发2.(10分)在直角坐标系O −xyz 中，设顶点在原点的二次锥面S 的方程为：a 11x 2+a 22y 2+a 33z 2+2a 12xy +2z 13xz +2a 23yz =0．(1)如果三条坐标轴都是S 的母线，求a 11,a 22,a 33；(2)证明，如果S 有三条互相垂直的直母线，则a 11+a 22+a 33=0．3.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 110−101−300．(1)求A 的特征多项式f (λ)；(2)f (λ)是否为R 上的不可约多项式；(3)求A 的最小多项式；(4)A 在R 上是否可对角化，说明理由．4.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 10106−21−22．(1)判断A 是否为正定矩阵，说明理由；(2)设V 是实数域R 上的3维线性空间，V 上的一个双线性函数f (α,β)在V 的一个基α1,α2,α3下的度量矩阵为A ．证明，f (α,β)是V 的一个内积；并且求出V 对于这个内积所成的Euclid空间的一个标准正交基．5.(16分)设V 是数域K 上的一个n 维线性空间，α1,α2,···,αn 是V 的一个基．用V 1表示由α1+α2+···+αn 生成的线性空间，令V 2={n ∑i =1k i αi n ∑i =1k i =0，k i ∈K }．(1)证明，V 2是V 的子空间，并且V =V 1⊕V 2；(2)设V 上的一个线性变换A 在基α1,α2,···,αn 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素是1，其余元素全为0），证明V 1与V 2都是A 的不变子空间．6.(12分)设V 和U 分别是数域K 上的n 维、m 维线性空间，A 是V 到U 的一个线性映射，即A是V 到U 的映射，且满足对任意α,β∈V ，有A (α+β)=A (α)+A (β)；对任意α∈V ，k ∈K ，有A (kα)=k A (α)．令Ker A :={α∈V A (α)=0}，称Ker A 是A 的核，它是V 的一个子空间，用Im A 表示A 的象（值域）．(1)证明：dim(Ker A )+dim(Im A )=dim V ；(2)证明：如果dim V =dim U ，则A 是单射当且仅当A 是满射．7.(10分)设V 是实数域R 上的n 维线性空间．V 上的复值函数组成集合，对于函数的加法以及复数与函数的数量乘法，形成复数域C 上的一个线性空间，记为C V ．证明，如果f 1,f 2,···,f n +1是C V 中n +1个不同的函数，并且它们满足：对任意α,β∈V ，有f i (α+β)=f i (α)+f i (β)；对任意k ∈R ，α∈V ，有f i (kα)=kf i (α)，则f 1,f 2,···,f n +1是C V 中线性相关的向量组．北京大学2000年数学分析试题1.(40分)计算题．(1)求极限lim x →0(a +x )x −a x x 2，a >0；(2)求e 2x −x 2到含x 5项的Taylor 展开式；(3)求积分∫10x b −x a ln x d x ，其中a >b >0；(4)求积分∫∫∫V(x 2+y 2+z 2)αd x d y d z ，V 是实心球x 2+y 2+z 2 R 2，α>0；(5)求积分∫∫S x 2d y d z +y 3d x d z +z 3d x d y ，S 是x 2+y 2+z 2=a 2的外表面．第一卷北京大学·7·2.(10分)叙述定义．(1)lim x →−∞f (x )=+∞；(2)当x →a −0时，f (x )不以A 为极限．3.(13分)函数f (x )在[a,b ]上一致连续，又在[b,c ]上一致连续，a <b <c ．用定义证明f (x )在[a,c ]上一致连续．4.(10分)构造一个二元函数f (x,y )，使得它在原点(0,0)两个偏导数都存在，但在原点不可微．5.(12分)函数f (x )在[a,b ]连续．证明不等式：(∫b a f (x )d x )2(b −a )∫b af 2(x )d x ．6.(15分)(1)在区间(0,2π)内展开f (x )的Fourier 级数，其中f (x )=π−x 2．(2)证明它的Fourier 级数在(0,2π)内每一点上收敛与f (x )．北京大学2000年高等代数与解析几何试题1.(20分)(1)在直角坐标系中，一个柱面的准线方程为{xy =4z =0，母线方向为(1,−1,1)，求这个柱面的方程；(2)在平面直角坐标系O −xy 中，二次曲线的方程为：x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0，求I 1,I 2,I 3；指出这是什么二次曲线，并且确定其形状．2.(22分)(1)设实数域R 上的矩阵A =204060402，求正交矩阵T ，使得T −1AT 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵；(2)在直角坐标系O −xyz 中，二次曲面S 的方程为：2x 2+6y 2+2z 2+8xz =1，作直角坐标变换，把S 的方程化成标准方程，并且指出它是什么二次曲面．3.(12分)设实数域R 上的s ×n 矩阵A 的元素只有0和1，并且A 的每一行的元素之和是常数r ，A 的每两个行向量的内积为常数m ，其中m <r ．(1)求det(AA T )；(2)证明s n ；(3)证明AA T 的特征值全为正实数．4.(8分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，且满足A 3−7A =−6I ，其中I 表示V 上的恒等变换．判断A 是否可以对角化，说明理由．5.(12分)设V 和V ′都是数域K 上的有限维线性空间，A 是V 到V ′的一个线性映射．证明，存在直和分解V =U ⊕W ，V ′=M ⊕N ，使得Ker A =U ，并且W ∼=M ．6.(10分)设f (x )和p (x )都是首项系数为1的整系数多项式，且p (x )在有理数域Q 上不可约．如果p (x )与f (x )有公共复根α，证明：(1)在Q [x ]中，p (x )整除f (x )；(2)存在首项系数为1的整系数多项式g (x )，使得f (x )=p (x )g (x )．7.(16分)(1)设V 是实数域R 上的线性空间，f 是V 上的正定的对称双线性函数，U 是V 的有限维子空间．证明，V =U ⊕U ⊥，其中U ⊥={α∈V f (α,β)=0，对任意β∈U }．·8·博士家园首发(2)设V 是数域K 上的n 维线性空间，g 是V 上的非退化的对称双线性函数，W 是V 的子空间．令W ⊥={α∈V g (α,β)=0，对任意β∈W }．证明：x dim V =dim W +dim W ⊥；y (W ⊥)⊥=W ．北京大学2001年数学分析试题1.(10分)求极限lim n →∞a 2n1+a 2n．2.(10分)设f (x )在点a 可导，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))n ．3.(10分)证明函数f (x )=√x ln x 在[1,+∞)上一致连续．4.(10分)设D 是包含原点的平面凸区域，f (x,y )在D 上可微，且x∂f ∂x +y ∂f ∂y=0．证明，f (x,y )在D 上恒为常数．5.(10分)计算第一型曲面积分∫∫Σx d S ，其中Σ是锥面z =√x 2+y 2被柱面x 2+y 2=ax (a >0)割下的部分．6.(10分)求极限lim t →0+01t4∫∫∫x 2+y 2+z 2 t 2f (√x 2+y 2+z 2)d x d y d z ，其中f 在[0,1]上连续，f (0)=0，f ′(0)=1．7.(10分)求常数λ，使得曲线积分∫L x yr λd x −x 2y 2r λd y =0(r =√x 2+y 2)对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立．8.(10分)证明函数f (x )=∞∑n =11n x 在(1,+∞)上无穷次可微．9.(10分)求广义积分∫+∞0arctan(bx 2)−arctan(ax 2)xd x ，b >a >0．10.(10分)设f (x )是以2π为周期的周期函数，且f (x )=x ，−π x <π．求f (x )与|f (x )|的Fourier 级数．它们的Fourier 级数是否一致收敛？说明理由．北京大学2001年高等代数与解析几何试题1.(15分)在空间直角坐标系中，点A,B,C 的坐标依次为：(−2,1,4)，(−2,−3,−4)，(−1,3,3)．(1)求四面体OABC 的体积；(2)求三角形ABC 的面积．2.(15分)在空间直角坐标系中，ℓ1:x −a 1=y −2=z 3与ℓ2:x 2=y −11=z −2是一对相交直线．(1)求a ；(2)求ℓ2绕ℓ1旋转出的曲面的方程．3.(12分)设ω是复数域C 上的本原n 次单位根（即，ωn =1，而当0<ℓ<n 时，ωℓ=1），s,b 都是正整数，而且s <n ．令A = 1ωb ω2b ···ω(n −1)b 1ωb +1ω2(b +1)···ω(n −1)(b −1)...............1ωb +s −1ω2(b +s −1)···ω(n −1)(b +s −1)任取β∈C s ，判断线性方程组AX =β无解？有多少解？说明理由．4.(18分)(1)设矩阵A = 010001−23−1．x 若把A 看成有理数域Q 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由；y 若把A 看成复数域C 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由．(2)设A 是有理数域Q 上的n 阶对称矩阵，并且在Q 上A 合同于单位矩阵I ．用δ表示元素全为1的列向量，b ∈Q ．证明，在Q 上(A bδbδT b )∼=(I 00b −b 2δT A −1δ)．5.(14分)在实数域R 上的n 维列向量空间R n 中，定义内积(α,β)=αT β，从而R n 成为Euclid 空间．(1)设R 上的矩阵A = 1−35−2−21−31−1−79−4．求齐次线性方程组AX =0的解空间的一个正交基；(2)设A 是R 上的s ×n 矩阵，用W 表示齐次线性方程组AX =0的解空间，用U 表示A T 的列向量（即，A T 的列向量生成的子空间）．证明：U =W ⊥．6.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换．在K [x ]中，f (x )=f 1(x )f 2(x )，且f 1(x )与f 2(x )互素．用Ker A 表示线性变化A 的核．证明：Ker f (A )=Ker f 1(A )⊕Ker f 2(A )．7.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，I 是恒等变换．证明，A 2=A 的充分必要条件是rank(A )+rank(A −I )=n ．北京大学2002年数学分析试题1.(10分)求极限lim x →0(sin x x)11−cos x．2.(10分)设a 0，x 1=√2+a,···,x n +1=√2+x n ,n =1,2,···，证明极限lim n →∞x n 存在并求其极限值．3.(10分)设f (x )在[a,a +2α]上连续，证明存在x ∈[a,a +α]，使得f (x +α)−f (x )=f (x +2α)−f (a )2．4.(10分)设f (x )=x √1−x 2+arctan x ，求f ′(x )．5.(10分)设u (x,y )有二阶连续偏导数．证明u 满足偏微分方程∂2u ∂x 2−2∂2u ∂x ∂y +∂2u ∂y 2=0当且仅当存在二阶连续可微函数φ(t ),ψ(t )，使得u (x,y )=xφ(x +y )+yψ(x +y )．6.(10分)计算三重积分∫∫∫Ωx 2√x 2+y 2d x d y d z ，其中Ω是曲面z =√x 2+y 2与z =x 2+y 2围成的有界区域．7.(10分)计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 2d y d z +y 2d z d x +z 2d x d y ，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=az (a >0)的外侧．8.(10分)判断级数∞∑n =1ln cos 1n的敛散性，并给出证明．9.(10分)证明：(1)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上不一致收敛；(2)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上可逐项求导．10.(10分)设f(x)连续，g(x)=∫0xyf(x−y)d y．求g′′(x)．北京大学2002年高等代数与解析几何试题1.(18分)在空间直角坐标系中，直线ℓ1和ℓ2分别有方程{x+y+z−1=0 x+y+2z+1=0，{3x+y+1=0=0x+3z+2=0．(1)求过ℓ1且平行于ℓ2的平面的方程；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(12分)在空间直角坐标系中，求直线{z=3x+2z=2y−1绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．3.(15分)设用正交变换化下面二次型为标准型：f(x1,x2,x3)=x21+x22+x23−4x1x2−4x1x3−4x2x3．(要求写出正交变换的矩阵的相应的标准型)4.(12分)对于任意非负整数n，令f n(x)=x n+2−(x+1)2n+1，证明：(x2+x+1,f n(x))=1．5.(18分)设正整数n 2，用M n(K)表示数域K上全体n×n阶矩阵关于矩阵加法和数乘构成的K上的线性空间．在M n(K)中定义变换A如下：对任意的(a ij)n×n∈M n(K)，令A((a ij)n×n)=(a′ij)n×n．其中a′ij ={a ij,当i=j时；i·Tr((a ij)n×n)，当i=j时．(1)证明A是M n(K)上的线性变换；(2)求出Ker(A)的维数与一组基；(3)求出A的全部特征子空间．6.(12分)用R表示实数域，定义R n到R的映射f如下：f(x)=|x1|+···+|x r|−|x r+1|−···−|x r+s|,∀x=(x1,x2,···,x n)T∈R n，其中r s 0．证明：(1)存在R n的一个n−r维子空间W，使得f(x)=0，对任意x∈W；(2)若W1,W2是R n的两个n−r维子空间，且满足对任意x∈W1∪W2，均有f(x)=0，那么一定有dim(W1∩W2) n−(r+s)．7.(13分)设V是数域K上n维线性空间，V1,V2,···,V s是V的s个真子空间，证明：(1)存在α∈V，使得α/∈V1∪V1∪V2∪···∪V s；(2)存在V中的一组基ε1,ε2,···,εn，使得{ε1,ε2,···,εn}∩(V1∪V1∪V2∪···∪V s)=∅．北京大学2005年数学分析试题1.设f(x)=x2sin x−1x2−sin xsin x，试求lim supx→+∞f(x)和lim infx→+∞f(x)．2.(1)设f(x)在开区间(a,b)上可微，且f′(x)在(a,b)上有界，证明f(x)在(a,b)上一致连续；(2)设f(x)在开区间(a,b)(−∞<a<b<+∞)上可微且一致连续，试问f′(x)在(a,b)是否一定有界．(若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明)3.设f(x)=sin2(x2+1)，(1)求f(x)的麦克劳林展开式；(2)求f(n)(0),n=1,2,3,···．4.试作出定义在R2中的一个函数f(x,y)，使得它在原点处同时满足一下三个条件：(1)f(x,y)两个偏导数都存在；(2)任何方向极限都存在；(3)在原点不连续．5.计算∫Lx2d s，其中L是球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线．6.设函数列{f n(x)}满足下列条件：(1)对∀n,f n(x)在区间[a,b]上连续且有f n(x) f n+1(x),x∈[a,b]；(2){f n(x)}点点收敛于[a,b]上的连续函数s(x)；证明{f n(x)}在[a,b]上一致收敛于s(x)．北京大学2005年高等代数与解析几何试题1.在直角坐标系中，求直线ℓ:{2x+y−z=0x+y+2z=0到平面π:3x+By+z=0的正交投影轨迹的方程，其中B是常数．2.在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断平面二次曲线x2+y2+2λxy+λ=0的形状：(1)对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；(2)对于线心型曲线，写出对称直线的方程．3.设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为a i−b j．(1)求det(A)；(2)当n 2时，a1=a2，b1 b2．求齐次线性方程组AX=0的解空间的维数和一个基．4.(1)设数域K上的n级矩阵，对任意正整数m，求C m；(2)用M n(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间．数域K上n级矩阵A=a1a2a3···a na n a1a2···a n−1...............a2a3a4···a1称为循环矩阵．用U表示上所有n级循环矩阵组成的集合．证明U是M n(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数．5.(1)设实数域R上n级矩阵的(i,j)元为1i+j−1(n>1)．在实数域上n维线性空间R n中，对于α,β∈R n，令f(α,β)=α′Hβ．试问f是不是R n上的一个内积，写出理由．(2)设A 是n 级正定矩阵(n >1)，α∈R n ，且α是非零列向量．令B =Aαα′，求B 的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基．6.设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用E 表示V 上的恒等变换，证明：A 3=E ⇐⇒rank(E −A )+rank(E +A +A 2)=n ．北京大学2006年数学分析试题1.确界原理是关于实数域完备性的一种描述．试给出一个描述实数域完备性的其它定理并证明其与确界原理等价．2.设f (x,y )=x 3+3xy −y 2−6x +2y +1，求f (x,y )在(−2,2)处的二阶带Peano 余项的Taylor展式．问f (x,y )在R 2上有哪些关于极值的判别点，这些判断点是否为极值点？3.设F (x,y )=y 3x 2+|x |y +y −5．(1)证明方程F (x,y )=0在(−∞,+∞)上确定惟一的隐函数y =f (x )；(2)求f (x )的极值点．4.计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 3d y d z +y 3d z d x +z 3d x d y ，其中曲面Σ为椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1，方向取外侧．5.证明，广义积分∫+∞0sin x xd x 收敛，并计算此积分．6.设f (x,y )定义在D =(a,b )×[c,d ]上，x 固定时对y 连续．设x 0∈(a,b )取定，对于任意y ∈[c,d ]，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )收敛．证明，重极限lim x →x 0y →y 0f (x,y )=g (y 0)对任意y 0∈[c,d ]成立的充分必要条件是，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )在[c,d ]上一致收敛．7.设f (x )是定义在[a,b ]上的有界函数，给出并证明f (x )在[a,b ]上的Riemann 和的极限lim λ(∆)→0n ∑i =1f (ξi )(x i −x i −1)收敛的Cauchy 准则．8.设{f n (x )}是(−∞,+∞)上的一致连续函数列，并且一致有界（即，存在常数M ，使得对于任意f n (x )和x ∈(−∞,+∞)恒有 f n (x ) M ）．假定对(−∞,+∞)中的任意区间[a,b ]都有lim n →∞∫ba f n (x )d x =0．证明，对于任意区间[c,d ]⊆(−∞,+∞)以及[c,d ]上绝对可积函数h (x )，恒有lim n →∞∫ba f n (x )h (x )d x =0．9.设存在一区间[a,b ]，使得以下两个Fourier 级数：a 02+∞∑n =1a n cos nx +b n sin nx ，α02+∞∑n =1αn cos nx +βn sin nx ．都在[a,b ]上收敛，并且其和函数[a,b ]上连续且相等．试问，对于任意自然数，a n =αn ，b n =βn 是否成立？如成立，请证明．如不成立，补充什么条件后能保证成立？说明理由．10.设f (x )在[0,+∞)上内闭Riemann 可积．证明，广义积分∫+∞0f (x )d x 绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足x 0=0，x n →+∞的单调递增序列{x n }，级数∞∑n =0∫x n +1x nf (x )d x 绝对收敛．北京大学2006年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)设A,B 分别是数域K 上的s ×n 和s ×m 矩阵，叙述矩阵方程AX =B 有解的充要条件，并且给予证明；(2)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，方程XA =E n 是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由；(3)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，对于K 上任意s ×m 矩阵B ，矩阵方程AX =B是否一定有界？当有解时，它有多少要解？求出它的解集．说明理由．2.(1)证明，rank(A −ABA )=rank(A )+rank(E n −BA )−n ，其中A 与B 分别是数域K 上的s ×n 与n ×s 矩阵；(2)证明，实数域R 上的n 阶方阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变．3.(1)设A 是数域K 上的n 阶方阵．证明，如果A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以惟一地分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵；(2)设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵．试问：A 是否可以分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵？说明理由．4.(1)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式f (λ)的所有不同复根为实数：λ1,λ2,···,λs ．把A 的最小多项式分解成为R 上不可约多项式的乘积；(2)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，A 是R n 上的一个线性变换，满足对任意α∈R n ，有A (α)=Aα．利用(1)中m (λ)的分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和．5.设X ={1,2,···,n }，用C X 表示定义域为X 的所有复值函数组成的集合，它对于函数的加法和数量乘法称为复数域C 上的一个线性空间．对于任意f (x ),g (x )∈C X ，规定⟨f (x ),g (x )⟩=n ∑j =1f (j )g (j )．这个二元函数是复线性空间C X 上的一个内积，从而C X 成为一个酉空间．设p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )∈C X ，且对任意j ∈X ，满足p k (j )=1√n ωkj ，其中ω=e 2πn i ．(1)求复线性空间C X 的维数；(2)证明p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )是酉空间C X 上的一个标准正交基；(3)对任意f (x )∈C X ，令A (f (x ))=ˆf(x )，其中ˆf (x )在x =k 处的函数值ˆf (k )是f (x )在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的坐标的第k 个分量．证明，A 是酉空间C X 上的一个线性变换，并且求出A 在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的矩阵；(4)证明第(3)题中的A 是酉空间C X 上的一个酉变换．6.设V 是数域F 上的n 维线性空间，A 1,A 2,···,A s 均为V 上的线性变换，令A =A 1+A 2+···+A s ．证明，A 为幂等变换且rank(A )=rank(A 1)+rank(A 2)+···+rank(A s )的充分必要条件是各A i 均为幂等变换，且A i A j =0，i =j ．7.求一个过x 轴的平面π，使得其与单叶双曲面x 24+y 2−z 2=1的交线为一个圆．8.证明四面体的每个顶点到对面重心的连线都相交于一点，而且该点分线段比为3:1．9.一条直线与坐标平面Y OZ 面，XOZ 面，XOY 面的交点分别是A,B,C ．当直线变动时，直线上的三个定点A,B,C 也分别在坐标平面上变动．此外，直线上有第四点P ，点P 到三点的距离分别是a,b,c ．求该直线按照保持点A,B,C 分别在坐标平面上的规则移动时，点P 的轨迹．10.在一个仿射坐标系中，已知直线ℓ1的方程为{x −y +z +7=02x +y −6=0，直线ℓ2过点M (−1,1,2)，并且平行于向量⃗u (1,2,3)．判别这两条直线的位置关系，并说明理由．北京大学2007年数学分析试题1.用有限覆盖定理证明连续函数的介值性定理．2.f (x )和g (x )在有界区间上一致连续，证明在此区间上f (x )g (x )也一致连续．3.已知f (x )在[a,b ]上有4阶导数，且有f (4)(β)=0,f ′′(β)=0,β∈(a,b )；证明：存在x 1,x 2∈(a,b )，使成立f (x 1)−f (x 2)=f ′(β)(x 1−x 2)．4.构造一函数在R 上无穷次可微，且f (2n +1)(0)=n,f (2n )(0)=0，并说明满足条件的函数有任意多个．5.设D =[0,1]×[0,1]，f (x,y )是D 上的连续函数；证明∫∫D f (x,y )d x d y =f (ξ,η)，并且这样的ξ,η有无穷多个．6.求∫∫S sin 4x d y d z +e −|y |d z d x +z 2d x d y ，其中S 是x 2+y 2+z 2=1,z >0，方向向上．7.f (x )是R 2上连续函数，试作一无界区域D ，使f (x )在D 上广义积分收敛．8.已知f (x )=ln (1+sin x xp )，讨论不同p 对f (x )在(1,+∞)积分的敛散性．9.已知F (x,y )=+∞∑n =1ny e −n (x −y )，是否存在a 以及函数h (x )在(1−a,1+a )可导，且h (1)=0，使F (x,h (x ))=0．10.设f (x )和g (x )在[a,b ]上Riemann 可积，证明f (x )和g (x )的Fourier 展开式有相同系数的充要条件是∫b af (x )−g (x ) d x =0．北京大学2007年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)是否存在n 阶方阵A,B ，满足AB −BA =E (单位矩阵)？又，是否存在n 维线性空间上的线性变换A ,B ，满足A B −BA =E (恒等变换)？若是，给出证明；若否，举出例子．(2)n 阶行列式A 各行元素之和为常数c ，则A 3的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由．(3)m ×n 矩阵秩为r ．取r 个线性无关的行向量，再取r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定为0？若是，给出证明；若否，举出反例．(4)A,B 都是m ×n 矩阵．线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量是否等价？行向量是否等价？若是，给出证明；否，举出反例．(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，b =p 3q 2r ，这里的p,q,r 是互不相同的素数．判断向量组1,n √b,n √b 2,···,n √b n −1是否线性相关？说明理由．2.矩阵A,B 可交换．证明rank(A +B ) rank(A )+rank(B )−rank(AB )．3.f 为双线性函数，且对任意的α,β,γ都有f (α,β)f (γ,α)=f (β,α)f (α,γ)．试证明f 为对称的或反对称的．4.V 是Euclid 空间，U 是V 的子空间，α∈V ．试证明β是α在U 上的正交投影的充要条件是：对任意γ∈U ，都有|α−β| |α−γ|．5.复矩阵A 满足：对任意k ，有Tr(A k )=0．试求A 的特征值．6.n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同．试证明存在α∈V ，使得{α,A α,···,A n −1α}为V 的一个基．7.P 是球内一定点，A,B,C 是球面上三动点，∠AP B =∠BP C =∠CP A =π/2．以P A,P B,P C为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹．8.直线ℓ的方程为{A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0．问系数要满足什么条件，才能使得直线满足下列条件：(1)过原点；(2)平行于x 轴，但不与x 轴重合；(3)与y 轴相交；(4)与z 轴重合．9.证明双曲抛物面x 2a 2−y 2b2=2z 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上．10.求椭球面x 225+y 216+z 29=2z 被点(2,−1,1)平分的弦．北京大学2008年数学分析试题1.证明有界闭区间上的连续函数一致有界．2.是否存在(−∞,+∞)上的连续函数f (x )，满足f (f (x ))=e −x ？证明你的结论．3.数列{x n }(n >1)，满足对任意n <m ，有|x n −x m |>1n ，求证x n 无界．4.f (x )是(−1,+1)上的无穷次可微函数，f (0)=1，f ′(0) 2，令g (x )=f ′(x )f (x )．若 g (n )(0) 2n ! ，证明对所有的正整数n ，均成立|f n (0)| (n −1)!．5.计算第二类曲面积分∫∫Σ(y −z )d y d z +(z −x )d z d x +(x −y )d x d y ，其中曲面Σ是球面x 2+y 2+z 2=2Rx 被圆柱面x 2+y 2=2rx (z >0,0<r <R )所截部分，定向取外侧．6.已知函数F (x,y )=2−sin x +y 3e −y 定义在全平面上，证明F (x,y )=0唯一确定了全平面上连续可微的隐函数y =y (x )．7.设函数f (x )是[0,+∞)上内闭Riemann 可积，且广义积分∫+∞0f (x )d x 收敛，证明lim a →0+∫+∞0e −ax f (x )d x =∫+∞0f (x )d x ．8.已知函数f (x )是(−∞,+∞)上2阶连续可微函数，满足lim |x |→+∞(f (x )−|x |)=0，且存在一点x 0，使得f (x 0) 0．证明f ′′(x )在(−∞,+∞)上变号．9.设函数f (x )在区间[0,1]上有一阶连续导数且f (0)=f (1)，g (x )是周期为1的连续函数，并且满足∫10g (x )d x =0．记a n =∫10f (x )g (nx )d x ，证明lim n →∞na n =0．10.若函数f (x )在区间[0,1]上Riemann 可积，并且对[0,1]中任意有限个两不相交的闭区间序列[a i ,b i ]都有 ∑i ∫b i a i f (x )d x 1．证明∫10|f (x )|d x 2．。
2017年四川大学652数学分析考研真题【圣才出品】
2017年四川大学652数学分析考研真题1．计算（每小题10分，共70分）（1）设a ∈（0，1），求lim[(1)]a a n n n →+∞+-（2）求 21lim ln ln 1x x x x -→∞⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭（3）设f （x ）＝x 8arctanx ，求f （n ）（0）（4）求∫max （1，|x|）dx（5）设D 是由曲线3x y xy a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭围成的区域，其中a ＞0，b ＞0，求D 的面积。
（6）求 22d d 34S x y y x x y -+⎰其中S 是椭圆2x 2＋3y 2＝1，方向沿逆时针方向。
（7）求(,,)d S f x y z S ⎰⎰其中S 是球面x 2＋y 2＋z 2＝10(,,)0,0,z f x y z z z ≤≤=<>⎪⎩2．（12分）证明：f （x ）＝|sinx|/x 在（－1，0）和（0，1）上都一致连续，但在（－1，0）∪（0，1）上不一致连续。
3．（10分）设f （x ）在实数R 上有界且二次可导，证明：存在x 0∈R 使得f ″（x 0）＝0。
4．（10分）设f （x ）在[a ，b]可积，证明：lim ()sin d 0bcc f x ax x →-∞=⎰5．（10分）证明：0(1)c n x x ∞=-∑在[0，1]上收敛但不一致收敛。
6．（12分）求a ，b 的值，使得椭圆x 2/a 2＋y 2/b 2＝1包含圆（x －1）2＋y 2＝1，且面积最小。
7．（14分）举例说明：二元函数的“两个累次极限存在”与“二重极限存在”互不蕴涵。
8．（12分）函数f在（0，1）上存在第一类间断点，证明：f在（0，1）上没有原函数。
2009川大数学分析及答案
四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（每题7分，共28分）求下列极限1. ∑=∞→nk k nn Cn2ln 1lim解：定理（∞∞型Stolz 公式，数列极限）设}{n x 严格递增（即N n ∈∀，有1+<n n x x ），且+∞=∞→n n x lim . 若1）a x x y y n n n n n =----∞→11lim（有限数），则a x y nnn =∞→lim . 2）a 为∞+或∞-，结论任然成立. 因2n ↗∞+，用Stolz 公式1211ln lim 12ln lim )1(ln ln lim ln 1lim 00122010102+-++=+=-+-=∑∑∑∑∑=∞→=+∞→=+=+∞→=∞→n k n n n C C n n C C C n nk n nk kn k n n nk kn n k k n n n k k n n 12ln )1ln()1(lim12)1ln()1ln(lim 11+-++=+-+-+=∑∑∑+=∞→==∞→n kn n n k n n n k n nk n k n （再次用Stolz 公式）212)11ln(lim )12()12()ln ln (]ln )1ln()1[(lim111=+=--+---++=∞→=+=∞→∑∑nn n k n k n n n n k n n k n n2. )(sin lim 22n n n +∞→π 解：)111(sin )(sin )(sin 22222++=-+=+nn n n n n ππππ 初等函数在有定义的地方皆连续12s i n l i m )111(s i n l i m )(s i n l i m 2222==++=+∞→∞→∞→πππn n n nn n3. dtt t t dtt x x x ⎰⎰-+→0230)sin (sin lim 2解：x x x x x x x x x x x x x dt t t t dtt x x x x x x sin 2lim )sin ()(2)(sin lim )sin ()(sin 2lim )sin (sin lim 30232223202320002302-=-⋅=-=-++++→→→→⎰⎰1226lim cos 16lim 22020==-=++→→x x x x x x4. xx xe x x cos 11lim 0----→ 解：泰勒公式∑∞==++++++=032!!!3!21n nn xn x n x x x x e ，（+∞<<∞-x ） +----++--+-++=+!)]1([)2)(1(!3)2)(1(!2)1(1)1(2n n x x x ααααααααααα，（11<<-x ）∑∞=-=+-+-+-+-=022642)!2()1()!2()1(!6!4!21cos n n n n n n x n x x x x x ，（+∞<<∞-x ） )](!4)(!2)(1[)(!2)121(21)(2111)(21lim cos 11lim 24222220x o x x x o x x xx o x x x x xe x x x ++--+-+-+--+++=----→→3)(24181)(2lim 222220-=+--+=→x o x x x o x x二、（每题10分，共40分）计算下列积分 （1）dxdy y x yx D⎰⎰--+222，其中}1:),{(222≤+∈=y x R y x D 解：2222)221()221(412----=--+y x y x y x 当),(y x 在41)221()221(22=-+-y x 内和上时0222≥--+y x yx ，记作1D ； 当),(y x 在41)221()221(22=-+-y x 外，且在122≤+y x 内时0222<--+y x y x ，记作2D 则dxdy y x yx dxdy y x y x I D D ⎰⎰⎰⎰--+---+=21)2()2(2222 2122222)2()2(2211I I d x d y y x y x d x d y y x y x I DD D D -=--+---+=⎰⎰⎰⎰=+ d x d y y x y x I D ⎰⎰--+=1)2(221 令θcos 221r x =-、θsin 221r y =- πθπ321)81(213201=-=⎰⎰dr r r d I d x d y y x yx I D⎰⎰--+=)2(222 令θcos r x =、θsin r y = πθθθπ21)2c o s s i n (1032202-=-+=⎰⎰dr r r d Iπ169221=-=I I I（2）ds yz l⎰，其中l 是球面2222a z y x =++与平面1=++z y x 的交线。
四川大学2011年数学分析考研试题
四川⼤学2011年数学分析考研试题⼀、计算下列极限 (每⼩题7分,共28分)1.lim n →∞n +√n +2√n −√n .2.lim n →∞2n∑k =11n +k .3.已知lim x →∞1+1x ax =lim x →0arccos √x +1−1sin x ,求a .4.lim x →0e x +x 2+3sin x12x .⼆、计算积分(每⼩题8分,共48分)1.∫cos(ln x )dx ;2.求∫+∞011+x 4dx ;3.计算积分I =∫L |y |ds ,其中L 是为球⾯x 2+y 2+z 2=2与平⾯x =y 的交线.4.计算积分I =∬,其中\Sigma 是球⾯x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2};5.设f(x)在(-\infty,+\infty)内有连续导函数,计算积分\displaystyle \int\limits_{L}\frac{1+y^{2}f(xy)}{y}dx+\frac{x}{y^{2}}[y^{2}f(xy)-1]dy ,其中L 为上半平⾯(y\ge0)内以 \left(2,3\right)为起点到 \left(3,2\right)为终点的有向分段光滑曲线;6.计算\displaystyle I=\iint\limits_{\Sigma}\frac{xdydz+z^{2}dxdy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},其中\Sigma 为下半球⾯:z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}的上侧.三、(本题10分) 设z=f(x,y)具有⼆阶连续偏导数,且f_{y}\not=0.证明:对任意实数c,f(x,y)=c 为⼀条直线的充要条件是(f_{y})^{2}f_{xx}-2f_{x}f_{y}f_{xy}+(f_{x})^{2}f_{yy}=0四、(本题12分) 函数\displaystyle x\sin\frac{1}{x}和\displaystyle \sin \frac{1}{x}在(0,+\infty)上是否⼀致连续?并给出证明.五、(本题12分) 设偶函数f(x)的⼆阶导数在x=0的某邻域内连续且f(0)=1,f''(0)=2.证明:级数 \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]绝对收敛.六、(本题10分) 函数f:[0,1]\to (0,1)在[0,1]可导,且f'(x)\not=1,证明:⽅程f(x)=x 在(0,1)内存在唯⼀的实根.√()()七、(本题15分) 设f(x)在[0,1]上可积,在x=1连续.证明:\lim\limits_{n\to \infty}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1)⼋、(本题15分) 设函数f(x,y)在区域\displaystyle D:x^{2}+y^{2}\le 1上有连续⼆阶偏导数,且\displaystyle \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-(x^{2}+y^{2}}).证明:\iint\limits_{D}\left(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}\right)dxdy=\frac{\pi}{2e}Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
四川大学2009数学分析
四川大学2009年研究生入学考试试题考试科目：数学分析 一、计算极限：1.201lim ln nknn k C n→∞=∑2.2lim sin (n →∞3.0x x →4.（忘了） 二、求积分：1.22d d Dx y x y −，其中D ：221x y +≤。
2.d Lyz s ∫，其中L 是2222x y z a ++=与1x y z ++=的交线。
3.S其中S 是22(2)(1)125167x y z−−+=−，方向向外侧。
4.好像是一个曲线积分，证明积分与路径无关就可以了，不难。
三、设(,)z f x y =在有界闭域内有连续的二阶偏导数，且对任意的x D ∈，有0xx yy f f ′′′′+=， 0xyf ′′≠，证明：(,)f x y 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得。
四、设x u y=，v x =，wxz y =+，证明：在上述变换下2222z z y y y x ∂∂+=∂∂变成了220wu∂=∂。
五、证明：21(1)sin 1nnn x x nx x∞=−−∑在1(,1)2内一致收敛。
六、设()f x 在[,]a b 上连续，且()()f a f b =，证明：对n Z +∀∈，(,)a b ξ∃∈使得()()b af f nξξ−+=。
七、已知()f x 在(,)a b 内可导，且对x ∀都有()0f x ′>，又()0f a =， 证明：ξ∃，(,)a b η∈且1ξη+=，有()()()()f f f f ξηξη′′=。
八、设()f x 在[,]a b 上可导，证明：{}()d max ()()d ,()d bbbaaaf x x b a f x x f x x ′≤−∫∫∫。
九、已知对0A ∀>，()f x 在[0,]A 上可积，且lim ()x f x B →∞=（B 为有限数），证明：00lim ()d tx t t e f x x B ++∞−→=∫。
四川大学数学分析考研真题
四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题一、极限（每题7分，共28分）1. 2)11(lim x x x xe +-+∞→ 2. )11ln(lim 21n n ne nn +-+∞→ 3.21)!(lim n n n +∞→ 4. )]1ln([cos lim222x x x ex x x -+--→二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分） 1.设当0≤x时，21)(xx f +=；当0>x 时，xxex f -=)(.求dx x f ⎰-31)2(2.设x x x f -=2)2('，0)1(=f ，求)(x f .3.计算曲面积分dS z y x IS⎰⎰++=)(，其中曲面}0,:),,{(22223≥=++∈=z a z y x R z y x S4.计算曲线积分dy m e y dx my e y IxAmBx ))('())((-+-=⎰ϕϕ，其中)(y ϕ、)('y ϕ为平面2R 上的连续函数，AmB 为连接点)2,1(A 、)4,3(B 的任意简单路径（方向从A 到B ），但它与直线AB 围城的区域面积为定值P （0>P）5.计算曲面积分dS z y x I S⎰⎰++=)cos cos cos (222γβα，其中S为圆锥面222z y x =+，h z ≤≤0，αcos ，βcos ，γcos 该曲面的外发向量n 的方向余弦.6.设函数),(y x z z=具有二阶连续偏导数且满足方程0)1()21()1(22222=∂∂++∂∂∂+++-∂∂+yzp p y x z pq q p x z q q其中xzp ∂∂=，y z q ∂∂=。
假设y x u +=，z y v +=，z y x w ++=之下，证明：02=∂∂∂v u w 。
三、（本题10分）设)(x f 在]1,0[上具有连续导数，证明：)1()(lim 10f dx x f x n n n =⎰∞→四、（本题10分）设)(x f 在),(b a 内二阶可微，证明：存在),(b a c ∈，使得)(''4)()()2(2)(2c f a b b f b a f a f -=++-五、（本题10分）设)(x f 在),(b a 内具有连续导数，且0)()(==b f a f ，证明：dx x f a b x f bab x a ⎰-≥≤≤)()(4)('max 2六、（本题12分）设0>x 、0>y 、0>z ，证明：2222)1()1()1()1(3zz y y x x z y x z y x +++++≤+++++七、（本题20分）设)(x f 在+∞<<∞-x 上有定义，在点0=x 的某领域内有二阶连续导数，且R a xx f x ∈=→)(lim 0. 证明（1）若0>a ，则级数∑∞=-1)1()1(n nn f 收敛，级数∑∞=1)1(n n f 发散. （2）若0=a ，则∑∞=1)1(n nf 绝对收敛.。
2007四川大学数学分析考研真题
1 四川大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（每小题7分，共21分）计算下列极限 1. ])11[(lim e n n n n -++∞→ 2. )tan (sec lim 2x x x -→π 3. nn n n !lim ∞→ 二、（每小题10分，共60分）计算下列积分（1）设⎩⎨⎧+-=x x x f 11)(200≥<x x ，求dx x f f ⎰-12))(( （2） dxdy y x D⎰⎰+，其中D 是由抛物线1=+y x ，0=x 及0=y 所围成的区域. （3）dxdydz y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是锥面222z y x =+与上半球面22223a z y x =++所围成区域. （4）dSzx yz xy S ⎰⎰++)(，其中S 是锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所截部分.（5）⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223，其中L 是22y x π=从原点)0,0(O 到点)1,2(πA 的一段曲线. （6）⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面222y x R z --=的下侧.三、（本题15分）设),(y x f 在2R 上的可微函数，且有0)''(lim >=++∞→a yf xf y x r （22y x r +=），证明：),(y x f 在2R 上必有最小值.四、（本题14分）设),(y x u u =具有二阶连续偏导数，证明存在常数使得在变换ay x s +=，byx t +=下，可将微分方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y x u x u ，化为02=∂∂∂ts u 五、（本题20分）设)(x f 在]1,0[可导，且0)0(=f ，)(21)('x f x f ≤证明：在]1,0[上，0)(≡x f六、（本题20分）设)(x f 在2R 上具有二阶连续导数且0)1()0(==f f .对于任意)1,0(∈x ，0)(>x f . 证明：4)()(''10>⎰dx x f x f .。
2001川大数学分析试题及解答
ba 2
，即
1 (b a)2
1 (c a)(c b)
2
有4 ba
f (c) f (c) (b a) (b a )2
(b a) f (c) (c a)(c b)
2
运用 1.结论，有
f (c)
1
b
f ''(x)dx ，即证
(c a)(c b) b a a
lim
n
an
lim
n
bn
.
确界原理：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界.
存在 M ，使得 x M
若 E 有最大值，则 max E sup E （1）
若
E
无最大值，取任意
x0
E
，构成闭区间 [ x0
,
属于所有的闭区间
[an
,
bn
]
，且
lim
n
an
lim
n
bn
.
则对于任意 x E ，有 x
对于任意 0 ，存在 N 0 ， x1 [aN , bN ] ，使得 x1 ，又对于任意 x E ，有 x
则 为 E 的上确界，有 sup E .（2）
n 1 n1
n1 n1 n 1
n1 n n
n
2
n
左边取极限 lim 1
nk
2n lim
n
lim 1
n
k
2n
1 2xdx
1
n n 1 k1
n n 1 n n k1
0
2008四川大学数学分析考研真题
四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题一、极限（每题7分，共28分） 1. 2)11(lim x x x x e +-+∞→ 2. )11ln(lim 21n n ne n n +-+∞→ 3. 21)!(lim n n n +∞→ 4. )]1ln([cos lim 2202x x x e x x x -+--→二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分）1.设当0≤x 时，21)(x x f +=；当0>x 时，x xe x f -=)(.求dx x f ⎰-31)2(2.设x x x f -=2)2('，0)1(=f ，求)(x f .3.计算曲面积分dS z y x I S⎰⎰++=)(，其中曲面}0,:),,{(22223≥=++∈=z a z y x Rz y x S 4.计算曲线积分dy m e y dx my e y I x AmB x ))('())((-+-=⎰ϕϕ，其中)(y ϕ、)('y ϕ为平面2R 上的连续函数，AmB 为连接点)2,1(A 、)4,3(B 的任意简单路径（方向从A 到B ），但它与直线AB 围城的区域面积为定值P （0>P） 5.计算曲面积分dS z y x I S ⎰⎰++=)cos cos cos (222γβα，其中S 为圆锥面222z y x =+，h z ≤≤0，αcos ，βcos ，γcos 该曲面的外发向量n 的方向余弦. 6.设函数),(y x z z =具有二阶连续偏导数且满足方程0)1()21()1(22222=∂∂++∂∂∂+++-∂∂+yz p p y x z pq q p x z q q 其中xz p ∂∂=，y z q ∂∂=。
假设y x u +=，z y v +=，z y x w ++=之下，证明： 02=∂∂∂vu w 。
三、（本题10分）设)(x f 在]1,0[上具有连续导数，证明：)1()(lim 10f dx x f x n n n =⎰∞→四、（本题10分）设)(x f 在),(b a 内二阶可微，证明：存在),(b a c ∈， 使得)(''4)()()2(2)(2c f a b b f b a f a f -=++- 五、（本题10分）设)(x f 在),(b a 内具有连续导数，且0)()(==b f a f ， 证明：dx x f a b x f b a b x a ⎰-≥≤≤)()(4)('max 2六、（本题12分）设0>x、0>y 、0>z ，证明： 2222)1()1()1()1(3z z y y x x z y x z y x +++++≤+++++七、（本题20分）设)(x f 在+∞<<∞-x 上有定义，在点0=x 的某领域内有二阶连续导数，且R a xx f x ∈=→)(lim 0. 证明（1）若0>a ，则级数∑∞=-1)1()1(n n n f 收敛，级数∑∞=1)1(n n f 发散. （2）若0=a ，则∑∞=1)1(n nf 绝对收敛.。