直线与方程、圆与方程基础知识及练习(供参考)

第三章 直线与方程

一、 倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是 特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直

2、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .

3、直线的斜率公式:

①已知直线的倾斜角α,则k= ②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率 若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=

③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率. 4. 两条直线平行与垂直的判定 ①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ; ②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .

二、直线方程

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 .

2.斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b,其方程为 .

注意：点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 .

3．两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ,其方程为 .

4．截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 ..

注意:两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线. 当12x x =时,直线方程可表示为; ;当12y y =时,直线方程可表示为; ; 5．一般式：所有直线的方程都可以化成 ，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程 ,表示斜率为 ，y 轴上截距为 的直线.

三、两直线交点坐标的求法

1.点A （a ,b ）在直线L ：A x +B y +C=0上,则满足条件:

2.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟

一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

3.方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.

4.对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交

⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔.

5.已知两直线12,l l 的方程为1l :1A x +1B y +1C =0,2l :2A x +2B y +2C =0,则两直线的位置关系

如下：⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；

⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔ .

四、直线间距离问题

1.平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为1

2PP = .特别地: 当12,P P 所在直线与x 轴平行时，12PP = ；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，12PP = ；当12,P P 在直线y kx b =+上时, 12

PP = . 2.点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d = .

3.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d = .

第四章 圆与方程

一、圆的一般方程与标准方程

1. 圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程.

2. 圆的一般方程为 , 其中圆心是 ，半径长为 .圆的一般方程的特点：①x 2和y 2的系数相同，不等于0; ②没有xy 这样的二次项;③2240D E F +->

3.求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是：①根据题意,选择适当的方程形式;②根据条件列出关于a,b,c 或D,E,F 的方程组;③解出a,b,c 或D,E,F 代入标准方程或一般方程.

另外,在求圆的方程时,要注意“几何法”的运用.

4. 点00(,)M x y 与圆2

2

2

()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）当满足 时,点在圆外;（2）当满足 时,点在圆上;（3）当满足 时,点在圆内.

二、直线与圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系有: 、 、 三种形式.

2.直线与圆的位置关系的判断方法:(1)几何法——比较圆心距与圆半径r 的大小.圆心

C (a,b )到直线Ax +By +C =0的距离d (2)代数法——由直线与圆的方程联立方程

组22

00

Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=⎧⎨⎩,消去一个未知数得方程20ax bx c ++=利用方程的解个数,得直线与圆的交点个数来判断位置关系.

①相交⇔ ⇔ ；②相切⇔ ⇔ ； ③相离⇔ ⇔ .

3．经过一点M （x 0，y 0）作圆（x-a ）2+（y-b ）2=r 2

的切线

①点M 在圆上时，切线方程为（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2

②点M 在圆外时，有2条切线、2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），方程（x 0-a ）（x-a ）

+（y 0-b ）（y-b ）= r 2

不是切线方程，而是经过2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线方程.

4.直线被圆所截得的弦长公式