对数与对数函数专题

对数与对数函数
1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6
2. 已知a ＝2－1
3，b ＝log 213，c ＝log 1
21
3
，则( )
A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >b >a
D.c >a >b
3. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b
4. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a >1，c >1
B.a >1，0<c <1
C.0<a <1，c >1
D.0<a <1，0<c <1
5. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2，则m ＝________.
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a ＝5b
＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m 等于( )
A.10
B.10
C.20
D.100
(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618
log 64＝________.
【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1
E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知
太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1
D.10－10.1
(2) 272
3＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
14log2
3
－log 81
4
＝________.
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )
(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x
，x <1，
log 2x ，x ≥1，
若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数
a 的取值范围是________.
【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则
f （a ）a ，f （b ）
b
，f （c ）
c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）
c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）
a C.
f （b ）b >f （a ）a >f （c ）
c
D.
f （a ）a >f （c ）c >f （b ）
b
(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D.⎝
⎛
⎭⎪⎫0，12
考点三 解决与对数函数性质有关的问题
角度1 比较大小
【例3－1】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，
b ，
c 的大小关系是( ) A.a ＝b <c
B.a ＝b >c
C.a <b <c
D.a >b >c
(2) 已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b
角度2 解简单的对数不等式
【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )
A.(2，＋∞)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋
∞)
(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.
角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋a .
(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；
(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；
(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.
【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫141
3
，c ＝log 1
3 15，则a ，b ，c 的大小关系为
( )
A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >b >a
D.c >a >b
(2) 设f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎪⎫
21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. (3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________.
【典例】 已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋1
2，对任意a ∈R，存在b ∈(0，＋
∞)，使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )
A.2e －1
B.e 2
－1
2
C.2－ln 2
D.2＋ln 2
【训练】 若存在正数x ，使得2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
一、选择题
1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x
，x ≥4，
f （x ＋1），x <4，
则f (2＋log 23)的值为( )
A.24
B.16
C.12
D.8
2. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5
，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <c <b
D.a <b <c
3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )
4. 若函数f (x )＝|x |＋x 3
，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫lg 15＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
5.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞内恒有f (x )>0，则
f (x )的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞)
B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞
二、填空题
6. 已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________.
7. 已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________.
8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x
，x ≤1，
1－log 2x ，x >1，
则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________.
三、解答题
9.已知函数f (x )＝log 21＋ax
x －1(a 为常数)是奇函数.
(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；
(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.
10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 1
2
x .
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
11. 在同一直角坐标系中，函数y＝1
a x
，y＝log a
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
1
2
(a>0，且a≠1)的图象可
能是( )
12. 设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
13. 已知函数f(x)＝sin x·lg(1＋x2＋ax)的图象关于y轴对称，则实数a的值为________.
14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
15. 函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，
b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 2
，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函
数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12
答 案 对数与对数函数
1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0
B.2
C.4
D.6
解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D
2. 已知a ＝2－1
3，b ＝log 213，c ＝log 1
21
3
，则( )
A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >b >a
D.c >a >b
解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1
21
3
＝log 23>1.∴c >a >b .
答案 D
4. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab
D.ab <0<a ＋b
解析 由题设，得1
a ＝log 0.30.2>0，1
b
＝log 0.32<0.
∴0<1
a ＋1
b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋b
ab
<1.
又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0.
答案 B
5. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a >1，c >1
B.a >1，0<c <1
C.0<a <1，c >1
D.0<a <1，0<c <1
解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，
y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D
6. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝2，则m ＝________.
解析 由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝2，且f (x )为奇函数.
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝－2，因此log 212＋m ＝－2，则m ＝1－ 2.
答案 1－2
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b
＝2，则m 等于( )
A.10
B.10
C.20
D.100
(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618
log 64＝________.
解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.
(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 66
3
·log 6（6×3）
log 64
＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64
＝
2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62
log 62
＝1.
答案 (1)A (2)1
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1
E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知
太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1
D.10－10.1
(2) 272
3＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
14log2
3
－log 81
4
＝________.
解析 (1)依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1
E 2＝－1.45－
(－26.7)＝25.25.
所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1
E 2＝1010.1.
(2)原式＝33×23＋2－2log 23＋2
3＝10.
答案 (1)A (2)10
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )
(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x
，x <1，
log 2x ，x ≥1，
若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数
a 的取值范围是________.
解析 (1)由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1.
∴f (x )＝a －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b －x
＝b x ，因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同.
A ，
B ，D 中的函数单调性相反，只有
C 的函数单调性相同. (2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).
方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，
故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)C (2){0}∪[2，＋∞)
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则
f （a ）a ，f （b ）
b
，f （c ）
c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）
c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）
a C.
f （b ）b >f （a ）a >f （c ）
c
D.
f （a ）a >f （c ）c >f （b ）
b
(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫0，12
解析 (1)由题意可得，
f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c
分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象
可知当a>b>c时，f（c）
c
>
f（b）
b
>
f（a）
a
.
(2)由题意，易知a>1.
如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝log a x，
x∈(1，2)的图象.
若y＝log a x过点(2，1)，得log a2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝log a x，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，
x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
答案(1)B (2)C
考点三解决与对数函数性质有关的问题多维探究
角度1 比较大小
【例3－1】 (1)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝b<c
B.a＝b>c
C.a<b<c
D.a>b>c
(2) 已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
解析(1)因为a＝log23＋log23＝log233＝3
2
log
2
3>1，b＝log29－log23＝
log
2
33＝a，c＝log32<log33＝1.所以a＝b>c.
(2)显然c＝0.30.2∈(0，1).
因为log
33<log
3
8<log
3
9，所以1<b<2.
因为log
27>log
2
4＝2，所以a>2.
故c<b<a.
答案(1)B (2)A
规律方法比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.
角度2 解简单的对数不等式
【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )
A.(2，＋∞)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，22∪(2，＋∞) D.(2，
＋∞)
(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.
解析 (1)因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2，即|log 2x |>1，解得0<x <1
2或x >2.
(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >a ，解得1<a <8
3.
当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，
知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，83.
答案 (1)B (2)⎝
⎛
⎭⎪⎫1，83
规律方法 形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋a .
(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；
(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；
(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.
解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.
当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.
(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则1
2x ＋a >0恒成立.
即a >－12x 恒成立，由于－1
2x ∈(－∞，0)，
故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).
(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋a .
由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋a ≥2，
则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴⎩⎨⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－1
3.
故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1
2
，－13.
规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.
2.解题注意几点：(1)由f (0)＝0，得a ＝0，需验证f (－x )＝－f (x ).(2)f (x )的定义域为R ，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式.
【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫141
3
，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为
( )
A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >b >a
D.c >a >b
(2) 设f (x )＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.
(3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________.
解析 (1)log 1
3
1
5＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函
数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
14x
在(－∞，＋∞)上为减函
数，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫141
3<⎝ ⎛⎭⎪⎫
140
＝1，故c >a >b .
(2)由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x
1－x ，定义域为(－1，1).
由f (x )<0，可得0<1＋x
1－x
<1，∴－1<x <0.
(3)∵函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，令x ＋2＝1，求得x ＝－1，f (x )＝3，可得函数的图象经过定点(－1，3)，∴m ＝－1，n ＝3.
∵函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n ＝－x 2－2bx ＋3， 在[1，＋∞)上单调递减，∴－2b
2≤1，即b ≥－1，
所以实数b 的取值范围为[－1，＋∞). 答案 (1)D (2)(－1，0) (3)[－1，＋∞) 赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破
以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.
【典例】 已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋1
2，对任意a ∈R，存在b ∈(0，＋
∞)，使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )
A.2e－1
B.e2－1
2
C.2－ln 2
D.2＋ln 2
解析存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，
则e a＝ln b
2＋
1
2
，令t＝e a＝ln
b
2
＋
1
2
>0.
∴a＝ln t，b＝2e t－1
2，则b－a＝2e t－
1
2
－ln t.
设φ(t)＝2e t－1
2
－ln t，则φ′(t)＝2e t－
1
2
－
1
t
(t>0).
显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝1
2时，φ′
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
＝0.
∴φ′(t)有唯一零点t＝1
2 .
故当t＝1
2
时，φ(t)取得最小值φ
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
＝2＋ln 2.
答案 D
思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.
2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.
【训练】若存在正数x，使得2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A.(－∞，＋∞)
B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析由2x(x－a)<1，得a>x－1
2x ，
令f(x)＝x－1
2x (x>0)，若a>x－
1
2x
有解，则a>f(x)min.
由于y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)>f(0)＝－1，因此a>－1，实数a的取值范围为(－1，＋∞).
答案 D
一、选择题
1.已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧2x
，x ≥4，
f （x ＋1），x <4，则f (2＋lo
g 23)的值为( )
A.24
B.16
C.12
D.8
解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 A
2. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <c <b
D.a <b <c
解析 1<a ＝log 35＝12log 325<3
2，b ＝1.51.5>1.5，又c ＝ln 2<1.故b >a >c .
答案 A
3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )
解析 先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0，0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示. 答案 C
4. 若函数f (x )＝|x |＋x 3
，则f (lg 2)＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫lg 15＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8
解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |. 又lg 12＝－lg 2，lg 1
5
＝－lg 5.
所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
答案 A
5.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞内恒有f (x )>0，则
f (x )的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞)
B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞
解析 令M ＝x 2
＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以
a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋342－916，
因为M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－34，＋∞.
又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－3
2
，
所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 A 二、填空题
6. 已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－
7. 答案 －7
7. 已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________.
解析 由题意得，当x >0，－x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－e －ax )＝e －ax ，所以
f (ln 2)＝e －a ln 2＝eln 2－a ＝2－a ＝8＝23，即2－a ＝23，所以a ＝－3. 答案 －3
8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x
，x ≤1，
1－log 2x ，x >1，
则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________.
解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥1
2，所以x >1.
综上可知，x ≥0. 答案 [0，＋∞)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝log21＋ax
x－1
(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)因为函数f(x)＝log21＋ax
x－1
是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以log
21－ax
－x－1
＝－log
2
1＋ax
x－1
，
即log
2ax－1
x＋1
＝log
2
x－1
1＋ax
，
所以a＝1，f(x)＝log21＋x x－1
，
令1＋x
x－1
>0，解得x<－1或x>1，
所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.
(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log 1
2 x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 1
2
(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log 1
2
(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧log 1
2
x ，x >0，0，x ＝0，
log 12
（－x ），x <0.
(2)因为f (4)＝log 1
24＝－2，f (x )是偶函数，且f (0)＝0>－2，
所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2
－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5).
11. 在同一直角坐标系中，函数y ＝1
a x ，y ＝log a ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可
能是( )
解析 若a >1，则y ＝1
a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋12过定点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，C 项不符合，因此0<a <1. 当0<a <1时，函数y ＝a x
的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝
1
a x
的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点
⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，＋∞上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合. 答案 D
12. 设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )
A.2x <3y <5z
B.5z <2x <3y
C.3y <5z <2x
D.3y <2x <5z 解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝lg t
lg 2
，同理，y＝
lg t
lg 3
，z＝
lg t
lg 5
.
∴2x－3y＝2lg t
lg 2
－
3lg t
lg 3
＝
lg t（2lg 3－3lg 2）
lg 2×lg 3
＝lg t（lg 9－lg 8）
lg 2×lg 3
>0，∴2x>3y.
又∵2x－5z＝2lg t
lg 2
－
5lg t
lg 5
＝
lg t（2lg 5－5lg 2）
lg 2×lg 5
＝lg t（lg 25－lg 32）
lg 2×lg 5
<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
答案 D
13. 已知函数f(x)＝sin x·lg(1＋x2＋ax)的图象关于y轴对称，则实数a的值为________.
解析依题意，y＝f(x)为偶函数，则g(x)＝lg(1＋x2＋ax)为奇函数，
∴g(－x)＋g(x)＝lg(1＋x2－ax)＋lg(1＋x2＋ax)＝0，
故1＋x2－a2x2＝1，即(1－a2)x2＝0，则a＝±1.
答案±1
14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
解(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，
得(3－4log
2x)(3－log
2
x)>k·log
2
x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
21
①当t ＝0时，k ∈R；
②当t ∈(0，2]时，k <
（3－4t ）（3－t ）t 恒成立， 即k <4t ＋9t
－15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32
时取等号， 所以4t ＋9t
－15的最小值为－3. 所以k <－3.
综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).
15. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，
b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12 解析 函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a <0，且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a >1时，z ＝a x ＋t 2在R 上递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上递增，可得f (x )为R 上的增函数；当0<a <1时，f (x )仍为R 上的增函数，
∴f (x )在定义域R 上为增函数，f (x )＝log a (a x ＋t 2)＝12
x ， ∴a x ＋t 2＝a 12x ，则a x －a x 2
＋t 2＝0. 令u ＝a x 2
，u >0，则u 2－u ＋t 2＝0有两个不相等的正实根. 得Δ＝1－4t 2>0，且t 2>0，
∴0<t 2<14，解得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案 B。