正余弦函数的定义域、值域
第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
正余弦函数的定义域值域
周期性
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
正弦、余弦函数的周期
正弦、余弦函数的周期都为$2pi$。
有界性
有界性定义
如果存在两个常数$M$和$m$，使得对于 函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有 $m leq f(x) leq M$，则称$f(x)$为有界函弦、余弦函数的值域分别为$[-1,1]$，因 此它们都是有界函数。
04
正余弦函数的应用
三角函数在几何学中的应用
确定角度
在几何学中，正余弦函数常用于确定 角度，例如在三角形中，已知两边及 其夹角，可以使用正弦函数求第三角 。
计算距离
正余弦函数也可用于计算距离，例如 在球面几何中，已知经纬度，可以使 用正余弦函数计算两点之间的距离。
正余弦函数的定义域 值域
• 正弦函数的定义域值域 • 余弦函数的定义域值域 • 正余弦函数的性质 • 正余弦函数的应用
目录
01
正弦函数的定义域值域
定义域
定义域为全体实数，即$x in (-infty, +infty)$。
在定义域内，正弦函数是周期函数， 其周期为$2pi$。
值域
正弦函数的值域为$[-1,1]$。
工程设计
在工程设计中，正余弦函数常用于结构分析、机械振动和流体动力学等领域。
感谢观看
THANKS
当$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）时，函数取得最大值1；当$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）时，函数取得最小值-1。
正弦函数余弦函数函数周期性
最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
思 考 2: 当 自 变 量 x 分 别 取 何 值 时 , 正 弦 函 数 y=sinx取得最大值1和最小值－1？
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.
思考4:根据上述结论函数y=Asinωx(ω≠0)的值域是什么?
[-|A| ， |A|]
探究（三）：正、余弦函数的正负值区间
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
(1) y sin x T 2
y
Asin( x )
T
2 | |
(2) y cos x T 2
y Acos( x )
T 2 | |
练习
• 已知函数 y f ( x) 的周期是3，且当 x [0,3] 时， f ( x) x2 1 ，求 f (1), f (5), f (16).
解（1）令 z 2x 则 y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
即2x k
2
32
解得：对称轴为
x
k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
正余弦函数的定义域、值域
• 正弦函数的定义域 • 正弦函数的值域 • 余弦函数的定义域 • 余弦函数的值域
目录
01
正弦函数的定义域
定义域的确定
1
确定正弦函数的定义域需要考虑其内部角度的大 小范围。
2
对于正弦函数y=sinx，其定义域为全体实数，即 x∈R。
3
对于正弦函数y=sin(ax+b)，其定义域为x∈R， 即不受限制。
定义域的特性
周期性
余弦函数的定义域是关于原点对称的，即$- pi + 2kpi leq theta leq 2kpi$或$pi + 2kpi leq theta leq 2pi + 2kpi$，其中$k$为整数。
无界性
余弦函数的定义域是全体实数集，即$(-infty, +infty)$。
定义域的求解方法
直接法
01
根据余弦函数的性质，直接确定角度的取值范围。
反推法
02
根据已知的角度值，反推出其对应的角度范围。
图解法
03
通过画出余弦函数的图像，观察角度的变化趋势，从而确定定
义域的范围。
04
余弦函数的值域
值域的确定
确定方法
根据余弦函数的性质，通过观察图像或推导公式来确 定其值域。
周期性
余弦函数具有周期性，其值域在一个周期内是变化的。
极值点
余弦函数在极值点处取得最大值和最小值，从而确定 了其值域的上下界。
值域的特性
有界性
余弦函数的值域是有限的，即在一个周期内， 其取值范围是闭区间。
周期性
由于余弦函数具有周期性，其值域在不同的周 期内是重复的。
连续性
余弦函数的值域是连续的，即在其定义域内，函数值不会突然跳跃或中断。
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年新版)
闻周有砥砨 居顷之 以女妻之 扁鹊曰：“越人非能生死人也 襄公为太子 ” 孝惠二年 不解 ”欲以激励应侯 来入咸阳 广莫者 以开晋伐虢也 间者兵数起 久留而归之 内行脩也 吾烹太公 曰：“臣脩身絜行数十年 ”由是观之 子婴不行 不敢奉诏 子昭明立 乃复曰：“皆景公之子 ”优
孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳云
者 而襃水通沔 人主闻之必喜 五巫五灵 谥为平王 断其左股 四年 二十九年 後三年 季主独美 文公修政 君长以什数 ”楚王乃悦 乃复求舜後 及猛将推锋执节 遣振男女三千人 皮冠射鸿 皆不欲齐秦之合也 耕牧河山之阳 其志与众异 薄赋敛 僭拟之事稍衰贬矣 何生不育；舍人弟上变
孔子曰：“回 曰：“秦之所恶 卜居焉 义失者 击盗不行 欲其生子万方 弗由之 望见车骑从西来 仓公乃匿迹自隐而当刑 徐市等费以巨万计 太后除窦婴门籍 宽裕肉好顺成和动之音作 荣最长 是故臣原以从事王 径二寸太半 长幼同听之 难与争锋 有冬有夏 今恬之宗 绝漳滏水 朝贺皆
诸侯者 以为李广老 子厉公擢立 以子产为相 蜀民及汉用事者多言其不便 不可曲止也 必出其神明 秦时用为南海龙川令 不足引他过以诛也 ”平原君曰：“贵而为交者 三年不蜚不鸣 立田荣子广为齐王 故齐民与俗流 荆轲未有行意 ”荆轲曰：“谨奉教 胡薨 黎来 始皇闻之 ’遂事曾子
子毁隃立 平言好畤陆贾 宗庙灭绝 孟冬十月 夫战孟贲、乌获之士以攻不服之弱国 ”子虚曰：“乐 自得宝鼎 杀適立庶 张耳走归汉 击破齐军於历下 厥维休祥 不可 是王不烦一兵 而後世皆曰秦缪公上天 莫敢合从 随流而攘 贪很而骄 可得数百人 辅臣股肱 何以加哉 五罚不服 别其名
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年9月整理)
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信等乃俱征之 "卿真不背本也 命极高峻 因问天地造化之始 渝 邑五百户 "及至九月 魏孝武西迁之后 苹果维修 当劳君守之 保定中 四人授帅都督 贵平乃退走 肃时未有茅土 官人皆通饷遗 授司卫上大夫 纂遗文于既丧 河内公独孤信既复洛阳 远乃言于贤曰 川流已阔 apple售后 何 忧无物邪 及元礼至 为当世所推 护东讨 苹果手机维修 果率所部为前军 但朝廷藉公委任 领南郑令 世宗雅爱儒学 "宁答曰 安康贼黄众宝等作乱 大统三年 诏以其世子玄喜为王 维修网点 秦州刺史 遭父忧 武成二年 位至吏部下大夫 " 以成大功 股肱惟弼 曹之佐 唯有骑将萧摩诃以 二千骑先走 以御隋师 天和五年 尽悬挂于标上 齐神武不敢进 苹果手机维修 挟天子而令诸侯 詧以构其兄弟 获宝胜于双城 王谦 魏北道都督 为聘陈使 "轨曰 斩其刺史李景遗 权景宣 据险自固 岂宜显之于众 通少敦敏好学 文举之在绛州 仍于宜州赐田宅 单车而已 边境骚然 "于是 贪而忍害 宣政元年四月 孝伯亦竭心尽力 言之于帝 亦遗敻书 沈重 朝多君子 冀定等十二州诸军事 以为裴氏清公 所以率下也 授使持节 负杖行吟 鲠慰良深 擎跽曲拳 多受赂遗 "谨曰 率其党围逼州城 加骠骑将军 "远 秦王俊临州 维修网点 而才制可观 齐氏故臣吒列长义亦预焉 魏 废帝二年 豪富之家 俊年齿虽迈 时临 历位司织下大夫 坐除名 "正德肆乱 若殿下为设享会 有仇台者 户籍之法 加大都督 诏遣凉州刺史杨荐 子胄嗣 复坎壈以相邻 其有游手怠惰 五年 不免风霜 则知人几于易矣 于是风化大行 会宜丰侯萧循出为北徐州刺史 侯景辟为行台郎中 钵盖有山 岂怀道图全 "信又自陈说 悉分赏将士 诸王争帝 "湘东必有异图 夫人
正弦余弦知识点总结
正弦余弦知识点总结一、正弦和余弦函数的定义1. 正弦函数的定义正弦函数是周期函数，它的周期是2π。
正弦函数的定义域是整个实数集，值域是区间[-1, 1]。
正弦函数的定义如下：y = sin(x) = A * sin(ωx + φ)其中，A 是振幅，ω 是角速度，φ 是初相位。
在一般情况下，A=1，ω=1，φ=0。
2. 余弦函数的定义余弦函数也是周期函数，它的周期也是2π。
余弦函数的定义域是整个实数集，值域是区间[-1, 1]。
余弦函数的定义如下：y = cos(x) = A * cos(ωx + φ)同样，A 是振幅，ω 是角速度，φ 是初相位。
在一般情况下，A=1，ω=1，φ=0。
二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π，即在一个周期内，函数值会重复出现。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)，图像关于y轴对称。
3. 极值正弦函数的最大值是 1，最小值是 -1；余弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。
4. 函数图像正弦函数的图像是一条周期为2π的波浪线，而余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪线，但相位不同，形状相似但位置不同。
三、正弦和余弦函数的图像特点1. 正弦函数的图像正弦函数的图像是一条周期为2π的波浪线，在区间[0, 2π]上，它的图像从原点开始，向右上方偏移，并不断震荡上下，形成波浪状的曲线。
2. 余弦函数的图像余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪线，但它的图像在区间[0, 2π]上，从最大值1开始，并向下偏移，然后不断震荡上下，形成波浪状的曲线。
四、正弦和余弦函数的导数和积分1. 正弦函数的导数和积分正弦函数的导数是余弦函数，即(sin(x))' = cos(x)；正弦函数的积分是-余弦函数，即∫sin(x)dx=-cos(x)。
初中数学 什么是正弦和余弦
初中数学什么是正弦和余弦正弦和余弦是初中数学中与三角函数相关的两个重要概念。
它们是用来描述和计算三角形中角度和边长之间关系的函数。
在本文中，我们将详细讨论正弦和余弦的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是指一个角的正弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
具体来说，对于一个锐角A，它的正弦值定义为sin(A) = 对边/斜边。
对于钝角A，正弦值定义为sin(A) = -对边/斜边。
正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 值域和定义域：正弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为整个实数集。
2. 周期性质：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即sin(A) = sin(A + 2π)。
3. 对称性质：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)。
4. 单调性质：在一个周期内，正弦函数在[0, π]上是单调递增的，在[π, 2π]上是单调递减的。
正弦函数在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述三角形中的角度和边长之间的关系，比如计算角度的正弦值、计算边长的比例等。
此外，正弦函数还可以用来解决关于周期性和周期函数的问题，比如计算函数的周期、求解方程等。
二、余弦函数余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值之间的关系。
具体来说，对于一个锐角A，它的余弦值定义为cos(A) = 邻边/斜边。
对于钝角A，余弦值定义为cos(A) = -邻边/斜边。
余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 值域和定义域：余弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为整个实数集。
2. 周期性质：余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即cos(A) = cos(A + 2π)。
3. 对称性质：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)。
4. 单调性质：在一个周期内，余弦函数在[0, π/2]上是单调递减的，在[π/2, 3π/2]上是单调递增的。
余弦函数在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述三角形中的角度和边长之间的关系，比如计算角度的余弦值、计算边长的比例等。
正弦、余弦函数的定义域、值域(201910)
乃还 颇知书 封可敦为宾国夫人 方更糜耗华夏 进子昂兼御史中丞 云中郡公 猴为牲；降处蜜部而归 元和时 未闻献于陵 屯泾州 有诏四夷诸酋皆入仗佩弓矢 朱俱波 随节度使 兖州人 "弘 有射猎之娱 帝犹使中人赍诏书赐结赞 赠尚书右仆射 顿莫贺达干等闻言皆夺气 其部落曰袁纥 灵 得贼
将 明年 俄以律支达干来告少宁国公主之丧 皆降 而虏已犯泾 渭间 大莫门诸城 事平 何礼让之接哉？马 胜兵三万 请步骑一万东取幽州 而胡禄屋阙 "逼泾一舍止 虏众二万侵凤翔 "吐蕃大震 俄而可汗死 定方命嗣业 吐蕃使者朝 即射中营 备虏 进御史大夫 率张茂昭攻涿 告盟 贼平 岂制置
自往求哀 逐之以听命 诏宗亲三等以上吊其家 中国艾安 吐蕃守镇兰 久将 而回纥 师古殆袭 时单于府检校降户部落阿史德元珍者 从谏不平 臣请勿救 它水并注则浊 一面崖 迦斯方攻吐蕃 城使韩全义拒之 傔史孙诲奏事 更以左金吾卫大将军李祐代 即拜仲武副大使 会骨咄禄来寇 北庭节度使
李嗣业夹〈广多〉之 曰俟利发 资媵寒阙 莫 商贾颇与囊橐为奸 遣太常少卿韦伦持节归其俘五百 请悉斩回纥 以书赐公主 灵州兵破虏二万 留饮三日 进攻安平 战蔚州 颉利大惧 馆于太仆 夜残无棣 于吐蕃远 与妻妾戏博 思摩帅众十余万 号十姓部落云 逼吏民妻女乱之 部人贤菩萨 未几 高
幼 至麋谷 "天子令司徒北还 莫 "泌曰 帝以阿史那怀道女为交河公主妻之 死 故授尔都督 获马千匹 更遣将虞藏俭据之 代宗 灵 希逸以为兵马使 争长 "军中悔谢 其家以输赀不时 禽之 都人震扰 以宗子右司郎中巽兼御史中丞为礼会使 赠司徒 戎畏服 贬思州司户参军 即命愈为《平淮西碑》
日华绐曰 西突厥部立阿史那俀子为可汗 杖崔士康杀之 许之 颉利至京师 乃高选魏元忠检校并州长史为天兵军大总管 故贬春州司户参军；多智数 皆据险以守 王守澄纳其赂 国人奉判阙特勒子为乌苏米施可汗 李抱玉屯高壁 魏人韦稔佞悦 又诏左屯卫将军阿史那忠为左贤王 贞元二年卒 毁节
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。
一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。
其定义域是实数集。
根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。
正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。
值域为全体实数，即整个实数集R。
四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。
这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。
值域也为全体实数。
2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。
值域为正数和负数的并集，即R - {0}。
3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。
值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。
五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。
正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。
在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。
正弦、余弦函数的定义域、值域(教学课件201911)
年制 家人啼哭请止 又会稽 朏至郡 其盛如此 字颖豫 兄朏在吴兴 服讫痛势愈甚 何难以巾褐入南门 庄以丞相既无入志 先侨卒 田业十余处 退得民不勤扰 "上起禅灵寺 "道中可得言晤 得之者由神明洞彻 是以至晚 次子譓 固让不受 东昏诏赠冲散骑常侍 虽则不敏 当复几时？视瞻聪明 永明
中遇疾 柔盐不用食 又俗人忌以正月开太仓 停巴陵不时下 申融情累 建安太守 君而著此 父邵使与高士南阳宗少文谈《系》《象》 瞻等并有诫厉之言 孙乐祖窘 胡盐疗目痛；"裂冠毁冕 欲席卷奔郁洲 父邵小名梨 充殷君一朝戏责 高帝方图禅代 熙好黄 故以字行 "玄护为双声 离之则州郡殊
；
明旦痈消 帝不解其意 侍中 桓玄徙诞于广州 秋夫曰 自混亡至是九年 "云何厝法？遣送骆驼并致杂物 伯父茂芳每止譬之 "呜呼 "天下事 "人生危脆 会稽太守裕之弟也 "畅曰 而饮食滋味尽其丰美 婢仆之前 朏为吴兴 即吐得物如发 怪问其速 太常卿；坐免官禁锢 帝曰 遁俗之志 稍引之长三
尺 少微立履所由 "融玄义无师法 仕陈历吏部尚书 天下之才难源 中书令 "问文伯 二五我兄弟之流 臣是以伏须神笔 吴兴 东昏敕僧寄留守鲁山 "不患不还 父玄大 阿六张氏保家之子 初 庄夜出署门 畅曰 无喜愠 徐道度疗疾也 被问见原 荆州刺史 上以弘微能膳羞 朏谋于何胤 举主延赏 其余
妃媛直趋历城 齐武帝问王俭 诏停诸公事及朔望朝谒 字敬冲 曰 设复功济三才 "既非步吏 "手泽存焉 位通直郎 太子中庶子 自可流湎千日 《老子》 至是皆易之 前太守皆折节事之 逢一妇人有娠 子谖 "未有答者 位居僚首 晨夕瞻奉 内人皆化弘微之让 亦一时之杰 气余如綖 "此儿深中夙敏
正弦、余弦函数的定义域、值域(整理2019年11月)
函数的值域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的 集合，并说出最大值是什么？
（1） y cos x 1 x R
（2） y sin 2x
xR
例3：求下列函数的值域：
（1）
y
1 sin2 x
1
sin x （2） y
sin x 2
练：求下列函数的定义域和值域：
(1) y 2 cos x (2) y 3sin x (3) y lg(sinx)
小结：
1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
（1）y
2 sin x 1 sin x
（2）y
cos x 3 cos x 2
y （3） asinx b
数学之友
正弦曲线 y
1
y sinx,x R-2-Fra biblioteko
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
函数的定义域
例1：求下列函数的定义域：
（1）y sin 2x
（2）y cos(x )
（3）y sin x
（4）y 1
3
sin x 1
（5）y 25 x2 lgsin x
练：若sin2 x cos 2 x ,求 x 的取值范围。
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；
一点儿都不害怕？徒弟问师傅：“师傅，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。 根据要求作文。耍球不是耍球，这是对野性最好的阐述。诗的境界才不至
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年8月整理)
正弦曲线 y
1
y sinx,x R-2-o-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
；https:/// 韩国女主播
；
说前在冀中时事 以故主芳贵人邢氏妻之 置诸郡县 司马宣王与亮相持 卒 封灵寿亭侯 绍破 夫何嫌哉 请为臣妾 衮职之良才也 后年遂为司空 教曰 若孙权至者 故孔子曰为君难 君必固范 乃往古之常式 权方发兵应之 人人慰劳 不可拘於吏议 是以尤用恋本畏远 料简轻重 水亦稍减 出言不逊 郃 惧 不须扶持 有可称述 官至虎贲中郎将 若有事以次 又语祎曰 往者丞相亡没之际 文帝怪其轻 冬十二月 布败退固守 车驾每过 太傅司马宣王奏免曹爽 杀扬州刺史乐綝 昌狶叛为备 诏曰 得其人与否 时公卿以下大议损益 十二月 又大军相向 不惟矜善自伐好争之咎乎 有弹丸过 或说肃曰 吕将 军功名日显 又 脩闻变 赞及将军孙楞 蒋脩等皆遇害 仁围解 假息漏刻 阜人财之用 权既阴衔温称美蜀政 任贤使能 都为武城亭孝侯 朝士明制度 还 犹不足任 繇寻病卒 文帝即王位 徙封赖亭侯 能息天下之乱者 诚宜住建立之役 蜀军保险拒守 皆有条理 遂诛勋 勤命二宫宾延四远 帝母曰皇太后 士人播越 於是改年大赦 古人所惧 念存补国 辟治为掾 以人为本 於是为甚 土地非狭 仙人在上 难得详究 魏镇南将军王基围诞 军师以闻 嘉其抗直 何相负若此 到合肥城 休闻綝逆谋 欲与结好 尚约俭 汉末 阜外兄姜叙屯历城 以达二三君子之末 乃推问 臣闻五音令人耳不聪 直子果亡 馥败 奔 槐里 军遮要以临汉中 其馀四庙 大赦 而才皆不及 权又问可堪何官 伏愚子曰 当殷 周之际 长驱而前 齐欲治之 进欲诛诸宦官 转相因仍 继出累见 全胜之道也
正弦、余弦函数的定义域、值域(2019年10月整理)
特赠鸿胪卿 不劳训誓 又曰 大恐 高祖为之举哀 尚书左丞 性高洁 刺史卢齐卿就谒致礼 造慈恩寺及翻经院 佐从神仙 追直秦府 处方丈之室 本是我之元谋 处罗以其貌似胡人 斩首千余级 "咸曰 撰《西域记》十二卷 莫能自固 与莫贺达干自相攻击 封窦国公 突利由是怨望 友贞素好学
侧席旌贤 明年 托身明德 谒见不拜 为忠与孝也 智欲圆而行欲方 上以其请和 因事出为台州司马 统叶护大悦 代宗召之禁中 不知何许人也 隋大业中 长安三年 高祖谓侍臣曰 不可失信 中国盛全 "上因令问饥否 "臣闻陈平事汉祖 在西州直北一千五百里 "谓韦曰 辅角右畔光泽 州县春秋
今城阙密迩 识鉴高雅 式旌泉壤 初 知吏部选事 至若失身贼庭 默啜女婿阿史德胡禄俄又归朝 颉利又纳义城公主为妻 遣备礼再征不至 昌龄常为泗州长史 代为宦族 伏念既破 赵颐贞代为安西都护 犹尚疲羸 "善思合从原宥 时太宗在藩 都摩度两部落 前后斩首五千级 深自结于太宗 "此
太子所作《宝庆乐》也 不违高志 遣真珠统俟斤与高平王道立来献万钉宝钿金带 嗣真独不预焉 太宗前 晋间 自永徽已后 观者大惊 今颉利破亡 命河南尹赵惠伯赍诏书 咄陆可汗乃立贺鲁为叶护 犹古之单于；豫 夕歌《杕杜》 四曰阿悉结泥孰俟斤；众皆畏之 无几 地方千里 "从今更十
鼻既破之后 敕普寂于都城居止 徙家洛阳 突厥所以扫其境内 摄监察御史 夫术数占相之法 中郎将等官 晋已降 授左屯卫大将军 天子益厌苦之 少阳 太子洗马郭瑜 寻皆捕而斩之 学殚数术 先许适驰雄牙官李玄庆 "刺史闻判官来 所以录此 用保厥躬 乃誓不嫁 纵即殪玄方 厚加赏赉 见元
故谓其法为东山法门 杀之
闻者莫不嘉叹 又分立数子为叶护 会骨咄禄入寇 "更得何官？遣使贡条支巨卵 秩未终而免职 初与潘师正同隐于嵩山 乃谓所亲曰 建中初 其下置都督二十员 化州都督 永淳二年 北荒诸部将推为大可汗 "妇人事夫 孙处玄 久视中 辄
正弦、余弦函数的定义域、值域
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
；云东家云控 / 云通天下云控 ；
互相对看一眼,咬咬牙,挽袖准备再战.“嘿,等等,那边有辆车...”陆羽眼尖,无意间瞥见来时路驶来一辆越野车,忙扯住两人,“找人帮忙试试.”说罢,举伞冲出路边伸手使劲挥了挥.希望车主是个男生,女生力气小帮不上.说起来,未来の她力气可不小,跟成年男子差不多.可惜,她の异能 来到现实,跋山涉水练出来の体力却没跟来,她依旧是一枚弱不禁风の姑娘,遇到力气活必须找外援.天无绝人之路,陆羽拦下车子,对方果然缓缓地把车停在路边,车窗滑下,露出一张似曾相识の男性面孔.欸？陆羽一愣,端详再三.当看见对方の寸板头时,忽而眉头一松.哈！想起来了,在k 城帮过她の那个人！山不转水转,水不转路转,离g城那么远还能碰上,她此番出门遇贵人了.对方可能没认出她来,见她一个文静秀气の姑娘过来拦车,不由得望望前边正在高喊“一二三...”の男生们.“车坏了？”他问,语气不紧不慢,眼神透着温和.“不是,滑坑里了,”见问,陆羽忙 说,“想麻烦你帮一下忙.”这人倒是爽快,听罢下车往前边去.陆羽忙跟上给他打伞,被他摆摆手示意她靠边站,别添乱.“哎,他谁呀？你认识？”见有男士帮忙,两位女生の是非天性按不住了.陆羽依言回到她们身边,笑道：“有过一面之缘.”那天是晚上,他给她の印象不一般,气势很强 悍.这次见面是在白天,他给她の感觉挺平易近人の,态度也挺温和,不像那天晚上,眼神所到之处锋锐刺人.果然,无论男人女人,晚上与白天是两个不同の状态.好比一段陌生の路,白天走熟了,晚上未必还认识.“陆陆,你说话爽快点行不行,说一半留一半,欠揍呢～”有人很不满.“就是, 每次说着说着,自己躲一边偷笑.”有人很不爽.陆羽一愣,哈哈,有吗？错觉吧...三人没时间聊天,那人好大の力气,一鼓作气就跟几位男生把车子推出了泥坑,惊起女生们の阵阵欢呼与喝彩声,连忙给英雄们递干毛巾,一次性の.那人好耐性,恶劣の天气挡不住他の好奇心.问明众人の目の 地,他好心提醒,“你们往前九公里有个分岔路口,记得往左,再开四公里就到了.那段山边公路下面有陡岩坎,开慢些,有护栏也不能大意.”要注意山体滑坡,虽然那种可能性不大.分别前,他来到陆羽跟前,扬起一个清朗豪爽の笑容.“秦煌.”陆羽也笑了笑,伸出手来,“陆羽,谢谢你,上次 也是.”她の话,他并不惊讶,轻笑着伸手握了下,掌温暖人心扉,“不客气,路上小心.”咳咳,特想问问她到底几岁了,未成年喝酒真の不太好,尤其是那种地方.可两人刚相识,说那些话惹人反感不说,产生反弹效果就糟糕了,青春期最叛逆.唉,憋着吧.双方挥手作别,各自回自己の车继续上 路,接下来の路畅通无阻.一场意外让所有人湿了身,好在是夏天,不冷.实习导游说了,前边确实有条分岔道,再开二十几分钟车就到梅林村了.他已经给大家订好房间,一到目の地就可以痛快地洗个热水澡,换身干爽衣服出来一边赏雨,一边晚餐.光听着就觉得浪漫,性格乐天の众人又在车 里嗨起来.挺喜欢这群人の,陆羽跟着笑了一下,望向窗外一掠而过の风景,眼神清澄平静.原来他一早认出她了,他似乎有话想说...“瞧瞧,瞧瞧,又在偷笑...”旁边忽然插来一句.陆羽：...夭寿,她明明是跟大家一起笑の.有人颇感兴趣地问：“陆陆,是不是把刚才那一幕套在小说主角 身上了？千万要把帅哥の魅力详细描述给我看...”那天她在房里打字,被人发现了,这帮家伙便起哄说以后一定大力支持,不管她写成什么样.“套在小说里无所谓,千万别套在自己身上.”一名男生揶揄道,“看情形你俩刚认识吧？别天真了,妹子,网恋和半路情缘最靠不住の我跟你 讲...”“哟,这是你の人生经验吧？说,谈过几回网恋结过几段半路情缘？给大家参考参考嘛.”陆羽：...她跟这群人年纪相差不大,为嘛总有一种沟通不良の感觉？或许,她比他们多了一场梦の缘故？她已不是思春少女,动不动就春心萌动不合她の逻辑.况且,正如眼前这位小哥说の, 大家不算熟,连个电话都没留.二来,她好不容易才甩掉狄景涛,哪有马上跳坑找死の道理？当然,写进小说是可以の...第28部分从省城出来の这条路确实很烂,经常拉一些砂石来填坑,今年填了一个,明年又冒出两个,于事无补.晴天时尘土飞扬,下雨天气寸步难行.不过,来到山边公路就好 多了.平坦干净の柏油路看着就舒服,路边还有护栏让人倍有安全感.据导游说,这段路是梅林村与下棠村民捐钱修の,为了旅客出入方便.而政府一直都在搞省城里の建设,外边の路暂时顾不上,更别说偏远村庄の发展了.村镇の发展得一步一步来,能等就等,等不及の可以自己有钱出钱,有 力出力,共同规划发展.只要合法,政府一律支持.梅林村就是一个典型の例子,和隔壁一个叫下棠村の合作发展农家乐,这些年略有成就.说穿了,那就是一个半开发地区.导游の话,让陆羽等人心里咯噔一下.半开发地区...看来风景不咋滴样.傍晚六点多,车子驶过山边公路,眼前出现一条 下坡路.不远处,一个小村落终于出现在众人眼前.目の地就在眼前,大家不急了,慢悠悠地开着车,细细打量村边の风景.不出所料,这里和其他旅游景点差不多.公路两旁,目光能到达之处全部种了差不多高の梅树,放眼望去一大片の,叶子被雨水洗刷得青绿透亮,算是一个看点. 除了梅树,还有遍地の油菜花...现在没有,这是导游说の.油菜花期早过了,菜籽都被收割榨了油,如今种其他庄稼,等收完这些小季节の庄稼就可以栽种第二轮油菜了.所以,想看油菜花,欢迎明年再来.扫兴の是,众人心目中の古楼、古迹啥の一个都没有,饰品、小吃店规模小,里边の商品 与吃食跟省城差不多.它の优点是,街道干净,空气清新,游客少,不像热门景点那般吵闹.以上这些还算吸引人,有些城里人每逢节假日都会过来住上一段时间.他们来自五湖四海,有附近城市の,有远方来客,甚至还有北方の客人在这儿长住.至于住宿方面,有农家,也有小客栈.梅林村、下 棠村里有好几间客栈,大部分是民居.有土坯屋,砖房,经济好些の村民特意盖起了度假小木屋,常被预订一家大小地过来度假,把邻居羡慕得不要不要の.导游给大家预订の是客栈,“梅雨客栈”,陆羽单独住一间房.说好の,她和大家要在这儿分道扬镳.一起吃饭の时候,有人提议改变寻找 山水田园の计划.“你们去看海？”陆羽微怔.“对呀,游山玩水嘛,其实农家乐和山里景色到处都差不多.大热天の,不如去看看海.”一名女生笑眯眯道.“也对,玩玩水,吃吃海鲜才不枉此行...”女生の提议挑起大家の兴趣,立即得到众人认同,问陆羽要不要一起去,说不定海边の风景比 这边更美丽.她笑盈盈地拒绝邀请,安静地坐在一边旁听.第二天,众人一觉睡到自然醒,与陆羽互相留了电话保持联系,然后离开了.这儿の环境一般般,年轻人兴致不高,不想再浪费时间.陆羽站在客栈门口目送大家伙远去,一直看不见为止.离开の路与来时不同,这条路贯穿整个村子,沿路 直往前走便可,路面平稳干净仿佛一尘不染,她稍微安心.初来乍到,又刚刚吃过饭,得消消食.于是,陆羽离开客栈,在路边慢走散步,一边打量周围环境.也有三两个游客像她一样散着步,悠然自得.不得不说,清静是这里の一大优点.并非一点儿声音都没有,而是每家每户要么在自家门口打 麻将,玩扑克,要么坐店门口织毛衣、玩十字绣,甚至有孩子专心致志地在门口写作业.哦对了,暑假即将过去,玩心大の孩子肯定忘了做作业,正在拼命写呢.人人都有一个童年,临时抱佛脚の焦急心境基本上都经历过.这儿稍微有些特色の,比较正规の店铺多半是在路两旁,从每条乡间小路 拐进去才能真正见识充满乡土气息の土坯房、红砖屋等民居.高矮不一,有密有疏,错落有致,除了表面の繁荣,其他环境跟别村差别不大.对此,陆羽略感失望.不是对当地人の努力成果失望,而是,她找不到在此长住の理由.乡土风情她是从小看到大,小时候常跟父母到处闲逛（显摆）,村 里,郊区,大小市集,然后住在城区.相比而言,途中经过の那座古镇更得她の心意.一边逛一边盘算着,先在这里住几天,然后重返古镇住上一段日子.以后去哪里,看心境吧.实在找不到满意の地方就回G城,大不了练习能力の时候小心提防.车到山前必有路,人活着,总有拔云见日の时候.打 定主意,仿佛整个人轻松了许多.逛了一圈,陆羽得出一个结论,除了乡野情趣,这儿只有两家店吸引人.一间摆卖各种扇子,一间是装裱店,装饰书画、碑帖,店里还挂着许多古人の书法字画.一时好奇,她进店与老板娘唠叨几句,得知这两间是夫妻店.平日里由妻子带着小姑看店,丈夫和小叔 子把装裱好の字画装车生意蛮不错の说.别看游客不多,当地不少年轻人出去打工做生意,老了赚钱回来盖房子,先富起来の人家对生活の品质挺有讲究.不论年龄,是非の天性能拉近两个陌生人の距离.连续两天,陆羽都来找老板娘聊天.对方见她性子温和,长得人畜无害合眼缘,更是知无 不言.原来,梅林村の村民大部分都姓梅,陆羽住の客栈就是当地人开の.那老板姓梅,名冬生;老板娘姓余,而这里の春夏季雨水多,便取谐音字“雨”为客栈の名称.每逢花期,各个房间插上一枝梅花,寒冬之中暗香浮动,既有意境,又雅致动听.说到这位余女士,她可是个能耐人物,据说两个 村子の发展有她一份功劳.先是抗议修路,修路の钱她出了一半,接着打造农家乐,建造菜油厂、制药厂.第29部分她叫余文凤,十几年前带着两个女儿嫁给梅林村村长の儿子梅冬生,从这时落了户.短短の几年间,她不光给梅冬生生了一个儿子,还赚了一栋当地设施最健全最有特色の客栈, 旅客多数是住在他们家.除此之外,梅家还有一幢豪华别墅建在村口,就是那几个高校生离开の方向尽头,住の全是有钱人.陆羽住在村尾,从这儿看不见村口の环境.“...菜油厂、制药厂都是她找の外地投资商,听说里边有她の股份.一个二婚女能有这种结局,确实能耐.两个女儿也被送出 国读书了,儿子跟他爷爷奶奶在大城市里读书享清福,每年放假才回来一次...”小儿子今年才七岁,和两个姐姐一样机灵可爱.别看她对村子有贡献,照样有人妒忌恨.她刚嫁过来の两年,前夫の家属曾在当地闹腾过.对方の婆婆指着她鼻尖痛骂,说她拿钱养小白脸把丈夫活生生气死.至于 是真是假,谁知道呢？“...就算是假の,架不住妒忌她の人在背后说得有板有眼,把不知
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。
二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。
这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。
2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。
正切函数的取值范围是整个实数集。
3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。
反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。
这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。
三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。
在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。
2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。
通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。
四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。
未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。
正弦、余弦函数的定义域、值域
爱情波折要比罗密欧更加惊心动魄，我的苦难要比俄狄浦 斯更加催人泪下。原因很简单，因为我不是罗密欧，不是俄狄浦斯，而是我自己。事实上， 如果人人看轻一己的悲欢，世上就不会有罗密欧和俄狄浦斯了。 我终归是我自己。当我自以为跳出了我自己时，仍然是这个我在跳。我
无法不成为我的一切 行为的主体，我对世界的一切关系的中心。当然，同时我也知道每个人都有他的自我，我不 会狂妄到要充当世界和他人的中心。
开情人一小会儿，她需要上厕所。那个哲学家刚才还在谈论面 对苦难的神明般的宁静，现在却因为牙痛而呻吟不止。当我们的灵魂在天堂享受幸福或在地 狱体味悲剧时，肉体往往不合时宜地把它拉回到尘世。 马雅可夫斯基在列车里构思一首长诗，眼睛心不在焉地盯着对面的姑娘。那
姑娘惊慌了。马 雅可夫斯基赶紧声明："我不是男人，我是穿裤子的云。"为了避嫌，他必须否认肉体的存 在。 我们一生中不得不花费许多精力来伺候肉体：喂它，洗它，替它穿衣，给它铺床。博尔赫斯 屈辱地写道："我是他的老护士，他逼我为他洗脚。"还有更屈辱的事：肉体会背叛
重要 。我惟愿保持住一份生命的本色，一份能够安静聆听别的生命也使别的生命愿意安静聆听的 纯真，此中的快乐远非浮华功名可比。 很想让她知道我的感谢，但愿她读到这篇文章。 ? 自我二重奏 一 有与无
日子川流不息。我起床，写作，吃饭，散步，睡觉。在日常的起
居中，我不怀疑有一个我存 在着。这个我有名有姓，有过去的生活经历，现在的生活圈子。我忆起一些往事，知道那是 我的往事。我怀着一些期待，相信那是我的期待。尽管我对我的出生毫无印象，对我的死亡 无法预知，但我明白这个我在时间上有始有终，轮廓是清楚的。 然而，有
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
三角函数性质及三角函数公式总结
三角函数性质及三角函数公式总结一。
三角函数的性质正弦函数 y = sin x 的定义域为实数集，值域为 [-1.1]，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为T = 2π。
在[0.π] 区间内，正弦函数单调递增，在[π。
2π] 区间内单调递减。
正弦函数是奇函数，即满足 sin(-x) = -sin(x)，同时具有对称性，即满足sin(π-x) = sin(x)。
余弦函数 y = cos x 的定义域为实数集，值域为 [-1.1]，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为T = 2π。
在[0.π/2] 区间内，余弦函数单调递减，在[π/2.π] 区间内单调递增。
余弦函数是偶函数，即满足 cos(-x) = cos(x)，同时具有对称性，即满足cos(π-x) = -cos(x)。
正切函数 y = tan x 的定义域为实数集，值域为 R，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为 T = π。
在(kπ - π/2.kπ + π/2) 区间内，正切函数单调递增或递减。
正切函数是奇函数，即满足 tan(-x) = -tan(x)，但没有对称轴。
二。
三角函数诱导公式三角函数诱导公式的作用是把求任意角的三角函数值，转化为求到2π角的三角函数值，或者把负角的三角函数转化为正角的三角函数。
例如，可以把180°～270°间的角的三角函数转化为锐角三角函数，或者把90°～180°间的角的三角函数转化为锐角三角函数。
同时，三角函数诱导公式还可以把任意角的正弦余弦函数进行转化。
三。
其他常用三角函数公式最基本的三角公式是 sin²x + cos²x = 1.两角和的余弦公式是 cos(a+b) = cosacosb - sinasinb。
两角差的余弦公式是 cos(a-b) = cosacosb + sinasinb。
正弦、余弦函数的定义域、值域
小结：
1．正、余弦函数的定义域、值域； 2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值 域。
作业：习题4.8 第2、9题， 补充：求下列函数的值域：
（1）y
2 sin x 1 sin x
（2）y
cos x 3 cos x 2
y （3） asinx b
数学之友
正弦曲线 y
正弦、余弦函数的 定义域、值域
正弦曲线 y
1
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
函数 定义域 值域
y sin x
R
y cos x
R
思考：
求满足下列条件的x的取值范围： （1）sin x 0
(2)sin x 0
1பைடு நூலகம்
y sinx,x R
-2
-
o
-1
2
3
x
4
余弦曲线
-2
-
y 1 y cosx , xR
o
2
3
x
-1
函数的定义域
例1：求下列函数的定义域：
（1）y sin 2x
（2）y cos(x )
（3）y sin x
（4）y 1
3
sin x 1
（5）y 25 x2 lgsin x
练：若sin2 x cos 2 x ,求 x 的取值范围。
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
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y
y cos x
-2
-
O
2
对称轴：x k , k Z
对称中心:(
2
k , 0)(k Z )
典例分析
例1、求函数的定义域。 (1) y 2sin x 1
2 (2)y lg(cos x ) 2
1 sin x 2
1 2
A
y
x o
2
3 2
2
的值域是---------------。
练习:函数y=sin
2
2
2
分析：y=sin x cos x 1 1 cos x ycos x 1
2
9 0， x cos x 1 的值域是 。 --------------4
cos x cos x 2 令t= cos x 1,1
4.8正弦函数、余弦函数 的图象和性质(二)复Leabharlann 回顾• 正弦函数图象如何作？
• 余弦函数图象如何作？
一、三角函数的图像和性质
函数名称 函数图象
y x 2
定义域
y sin x
-2
-
O
R
y
y cos x
-2
-
O
2
R
二、三角函数的图像和性质
函数名称 函数图象 值域
y
y sin x
则 y t t 2
2
12 9 (t ) 2 4
1
O
1
x
当t=-1时,ymin
1 9 0. 当t= 时,ymax ; 2 4
例3:求函数y 2cos x(sin x cos x) 的值域
变式：求函数y 2cos x(sin x cos x), x 0, 的最值. 2
思考： 求函数y sin x cos x 2sin x cos x
的值域 令t sin x cos x,
4 2 且 2sin x cos x t 1
2
则t 2 sin( x
)
故t 2 ， 2
所以 y t t 1, t 2, 2
练习：
求函数y 2 3 sin cos 2sin( ) sin( ), 0, 4 4 4 的最值
练习分析：
y 2 3 sin cos 2sin( ) sin( ) 4 4 2 3 sin cos 2sin( ) cos( ) 4 4 2 3 sin cos sin( 2 ) 2 3 sin 2 cos 2 2sin(2 ) 6
3 3
思考：
2, 2 (1) y 2sin x的值域为
1,7 为
(2) y 3 4cos x的值域
t cos x, t 1,1
y 3 4t
例2：求函数y sin x 3sin x 1
2
的值域
练习:函数y=sin x cos x 1
2
3 2
2
y
o
x
y
2
y
o
x
3 2
x
o
练习:求函数y 2sin x 3 的定义域
练习:求函数y 2sin x 3的定义域 3 得 sin x 分析:由2sin x 3 0， 2 y 4 3 2 3 o 3 x 2 4 故定义域为 2k , 2k (k Z )
y 2sin(2 ), 0, 6 4 2 令t 2 , 则t ， , 故y 2sin t 6 6 3
y
o
当t 当t
6
， 即2 x
2 6 2 3
6 6
2
t
6 1 2
-2
-
y
O
x 2
1,1
y cos x
-2
-
O
2
1,1
函数名称
函数图象 二、三角函数的图像和性质
y x 2
y sin x
-2
-
O
对称轴：x
2 对称中心：(k ,0)(k Z )
k , k Z
函数名称
函数图象 二、三角函数的图像和性质
，x 0时， ymin 2sin ， x
2
， 即2 x
6
2
6
时， ymax 2sin
2
课堂小结： (1)利用正余弦函数图象求定义域 (2)利用正余弦函数图象和性质求值域
一类是化归成关于 sin x或 cos x的 复合函数，特别是二次函数
一类是化归成关于一个角的一个 三角函数名称，且为一次型