正余弦函数的定义域、值域

3 3
思考：
2, 2 (1) y 2sin x的值域为
1,7 为
(2) y 3 4cos x的值域
t cos x, t 1,1
y 3 4t
例2：求函数y sin x 3sin x 1
2
的值域
练习:函数y=sin x cos x 1


2

3 2
2
y
o
x
y


2
y
o
x
3 2
x
o
练习:求函数y 2sin x 3 的定义域
练习:求函数y 2sin x 3的定义域 3 得 sin x 分析:由2sin x 3 0， 2 y 4 3 2 3 o 3 x 2 4 故定义域为 2k , 2k (k Z )
，x 0时， ymin 2sin ， x

2
， 即2 x

6


2

6
时， ymax 2sin

2
课堂小结： (1)利用正余弦函数图象求定义域 (2)利用正余弦函数图象和性质求值域
一类是化归成关于 sin x或 cos x的 复合函数，特别是二次函数
一类是化归成关于一个角的一个 三角函数名称，且为一次型
y
y cos x
-2
-
O

2
对称轴：x k , k Z
对称中心:(

2
k , 0)(k Z )
典例分析
例1、求函数的定义域。 (1) y 2sin x 1
2 (2)y lg(cos x ) 2
1 sin x 2
1 2
A
y
x o
2

3 2

则 y t t 2
2
12 9 (t ) 2 4
1
O
1
x
当t=-1时,ymin
1 9 0. 当t= 时,ymax ; 2 4
例3:求函数y 2cos x(sin x cos x) 的值域
变式：求函数y 2cos x(sin x cos x), x 0, 的最值. 2
4.8正弦函数、余弦函数 的图象和性质(二)
复习回顾
• 正弦函数图象如何作？
• 余弦函数图象如何作？
一、三角函数的图像和性质
函数名称 函数图象
y x 2
定义域
y sin x
-2
-
O

R
y
y cos x
-2
-
O

2
R
二、三角函数的图像和性质
函数名称 函数图象 值域
y
y sin x
2
的值域是---------------。
练习:函数y=sin
2
2
2
分析：y=sin x cos x 1 1 cos x ycos x 1
2
9 0， x cos x 1 的值域是 。 --------------4
cos x cos x 2 令t= cos x 1,1






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y 2sin(2 ), 0, 6 4 2 令t 2 , 则t ， , 故y 2sin t 6 6 3

y
o
当t 当t

6
， 即2 x
2 6 2 3
6 6
2
t

6 1 2
-2
-
y
O

x 2
1,1
y cos x
-2
-
O

2
1,1
函数名称
函数图象 二、三角函数的图像和性质
y x 2
y sin x
-2
-
O

对称轴：x

2 对称中心：(k ,0)(k Z )
k , k Z
函数名称
函数图象 二、三角函数的图像和性质
练习：
求函数y 2 3 sin cos 2sin( ) sin( ), 0, 4 4 4 的最值


练习分析：
y 2 3 sin cos 2sin( ) sin( ) 4 4 2 3 sin cos 2sin( ) cos( ) 4 4 2 3 sin cos sin( 2 ) 2 3 sin 2 cos 2 2sin(2 ) 6
思考： 求函数y sin x cos x 2sin x cos x
的值域 令t sin x cos x,
4 2 且 2sin x cos x t 1
2
则t 2 sin( x

)
故t 2 ， 2
所以 y t t 1, t 2, 2