保险精算学公式
保险精算学-趸缴纯保费(2)
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
保险精算学公式
= =
= = = =
= =
第四章
寿险名称
现值符号
计算公式
死亡年末给付
终身寿险
n年定期寿险
n年延期寿险
n年养老保险
保额递增的终身寿险
保额递增的n年定期寿险
n年定期递增的终身寿险
递减的n年定期寿险
死亡时给付
终身寿险
n年定期寿险
n年延期寿险
n年养老保险
保额递增的终身寿险
保额递增的n年定期寿险
n年定期递增的终身寿险
第一章
第二章
；
；
第三章
年金名称
给付方式
给付类别
现值符号
计算公式
终身年金
一年给付一次
期末付
期首付
n年定期
一年给付一次
期末付
期首付
n年延期
一年给付一次
期末付
期首付
n年延期的
m年定期
一年给付一次
期末付
期首付
终身年金
一年给付m次
期末付
+
期首付
—
n年延期
一年给付m次
期末付
+
期首付
—
n年定期
一年给付m次
期末付
+ (1— )
n年定期递减的终身寿险
= =
通常以 ， ， 近似 .
寿险与生存年金现值的关系式：
=v -
=v -
= v -
=1-d
=1—d
+i +i =1
=1-
=1- -
=1—
=v -
=v —
= —d
第五章
均衡净保费是基于前面各章节的基础上,综合前面的所有内容，计算以及处理方法类似。
保险精算学-总复习讲解
管理费及承保费用：第一年5元，第二年以后每年 2元，保费缴清后每年1元。
试求其年缴总保费。
费用开支列表：
年龄 x=30 x+1 x+2 x+3 … x+9
趸缴纯 保费
1000 A30:20|
佣金 0.25G 0.1G
0.05G 0.02G
0.02G
x+10 … x+20
管理费
a 1 vT T vt dt
T
0
• 步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期 望值，即终身连续生存年金精算现值，
ax
E(a ) T
0
a T
fT (t)dt
ln(1 i), fT (t)t px xt
相关公式
（1）ax
E(a T
)
a
0T
fT (t)dt
0
1 vt
t
px xt dt
Ax
(m
Ax )2
0.0288
例
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 保险金在死亡即刻赔付
签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
• 计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax
(2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
答案
(1) Ax
0
e t
25:40
25:40
25:40
G
0.9a 0.15
25:40
A1 25:40
A 25:40
A1 25:40
0.033425
G 856.45
life insurance 精算公式
life insurance 精算公式Life Insurance 精算公式该文章将列举一些与生命保险精算相关的公式，并举例解释其含义。
纯费用净保费公式（Net Premium Formula）•纯费用净保费 = 纯死亡率 * 累计保费这个公式用于计算保险公司所收取的净保费，其中纯死亡率是指以被保险人的年龄、性别、职业等因素为基础的死亡风险。
累计保费是指被保险人支付的全部保费之和。
例子：假设某位被保险人购买了一份10年期的寿险，保额为100,000元。
根据精算师的数据分析得出该被保险人在该保险期间的纯死亡率为。
如果该被保险人每年需要支付1000元的保费，那么他每年必须缴纳的纯费用净保费为：纯费用净保费 = * (10 * 1000)= 100元现金价值（Cash Value）计算公式•现金价值 = 累计保费 - 永久纯费用净保费 - 风险准备金现金价值是指保险合同生效后，被保险人可获得的保额之和。
永久纯费用净保费是指永久性保证死亡保险的纯费用净保费，也称为值班保费。
风险准备金是保险公司为防备被保险人死亡而储备的资金。
例子：假设某位被保险人购买了一份20年期的定期寿险，保额为100,000元。
年度保费为2000元，精算师估计该被保险人在该保险期间的永久纯费用净保费为150元，并且风险准备金为500元。
那么该被保险人的现金价值为：现金价值 = (20 * 2000) - (20 * 150) - 500= 36,500元退保价值（Cash Surrender Value）计算公式•退保价值 = 累计保费 - 累计纯费用净保费 - 风险准备金退保价值是指在保险合同期间被保险人在合同终止前选择退保所能获得的金额。
累计纯费用净保费是指在保险合同期间累计支付的纯费用净保费。
风险准备金是为了应对潜在的风险而储备的资金。
例子：假设某位被保险人购买了一份10年期的定期寿险，保额为100,000元。
年度保费为5000元，精算师估计该被保险人在该保险期间的累计纯费用净保费为4000元，并且风险准备金为1000元。
财产保险保费精算公式
财产保险保费精算公式
财产保险的保费精算是通过对潜在风险的评估和分析，确定
保费的方法。
一般来说，财产保险的保费精算可以采用以下公式：
保费=纯保费+成本+利润
其中，纯保费是指在没有成本和利润的情况下，根据风险暴
露的概率和程度计算出的保费。
成本是指保险公司为提供保险
服务而产生的各类费用，包括管理费、销售费用、理赔费用等。
利润是指保险公司为风险承担所获得的收益。
具体来说，保费的计算一般包括以下几个步骤：
1.风险评估：根据被保险财产的价值、损失可能性以及损失
程度等因素，对潜在风险进行评估和估计。
2.统计分析：利用现有的风险数据和历史赔付数据，进行统
计分析，计算出潜在风险的概率分布以及可能的损失水平。
3.纯保费计算：根据风险评估和统计分析的结果，计算出每
个风险暴露的纯保费。
4.成本和利润确定：根据保险公司的经营成本和预期获得的
利润率，确定成本和利润的比例。
5.总体保费计算：将纯保费、成本和利润加总，得到最终的
保费。
需要注意的是，财产保险的保费精算是一个复杂的过程，涉及到多个因素和变量，并且需要根据不同的产品和市场情况进行调整。
因此，在实际操作中，保险公司往往会根据自身的经验和市场需求进行调整和修正，以确保保费公正合理且能够覆盖风险。
保险精算学-生存年金(1)
P 60000
a30 60000
N 30 D30
60000 91,698 ,459 3,905 ,782
140865 .7（1 元）
19
20
21
(3) 终身生存年金的趸交净保费
• 保险公司的收费原理是期望意义下的现 值或终值的收支相等，这样计算出来的 费用称为净保费.
• 对于1元的终身生存年金，如果要计算 投保人在投保初的一次性交清（趸交） 净保费，则其数额应该等于相应的年金 的精算现值，
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex
nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
nEx
现时值
1
E n t x t
1
S
tE x
1
10
第2节
离散生存年金
11
简介
• 离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。
Dx
m
ax
Nxm1 Dx
a m x:n
Nxm1Nxmn1 Dx
54
年金计算一般公式
：首次支付
年金的年龄
n：支付
N N 次数
α
αn
特别： N∞ = 0
Dz
z :需要计算价 值的时间点
55
谢谢您的关注！
(h)ax(h)
其 中 ： (h) i(hi)d d(h)
• 近似公式（实际操作公式）
ii(h)
(h) i(h)d(h)
保险精算知识点公式总结
保险精算知识点公式总结保险精算是保险行业中非常重要的一个领域，它主要是通过利用数学、统计学、金融学等知识和方法，对保险产品的风险进行评估，确定保费水平，制定保险产品设计和管理策略，对保险公司的财务和风险进行监控等方面进行评估和分析。
在这个过程中，有些公式是非常重要的，它们在保险精算中起着至关重要的作用。
接下来，我们将对这些公式进行总结和介绍。
1. 保费计算公式保费是保险公司向被保险人收取的费用，用以承担被保险人因意外事故或自然灾害而遭受的损失。
保费的计算是通过对风险的评估和分析后确定的。
在实际的保费计算中，通常会采用以下公式：保费 = 风险成本 + 经营成本 + 利润要求其中，风险成本是指保险公司为承担被保险人风险而支付的成本；经营成本是保险公司的运营成本，包括员工薪酬、办公费用等；利润要求是保险公司的盈利要求。
2. 保险赔付率计算公式保险赔付率是指保险公司的赔付成本与保费收入的比率，它是衡量保险公司盈利能力的重要指标。
保险赔付率的计算公式如下：保险赔付率 = 赔款总额 / 保费收入其中，赔款总额是指在一定时期内保险公司为被保险人承担的赔款总额；保费收入是指在同一时期内保险公司所收到的保费总额。
3. 风险价值计算公式风险价值是指保险产品所承担的风险的价值，是对风险的衡量和评估。
在实际操作中，通常会采用以下公式进行计算：风险价值 = 预期损失 × 风险发生频率其中，预期损失是指风险事件发生时预期的损失金额；风险发生频率是指风险事件发生的频率。
4. 保险资产负债表计算公式保险资产负债表是保险公司的财务报表，用以展示保险公司在某一时点上的资产和负债情况。
在计算保险资产负债表时，通常会采用以下公式：资产总额 = 货币资金 + 应收账款 + 存货 + 投资负债总额 = 应付账款 + 应交税费 + 长期借款 + 应付利息其中，货币资金是指保险公司在一定时期内所持有的现金和银行存款；应收账款是指应收保费和应收代位求偿款；存货是指保险公司所持有的股票、债券等金融产品；投资是指保险公司的长期投资。
保险精算学利息理论
in=(A(n)-A(n-1))/A(n-1)
2.1.2 单利与复利
1 单利
2 复利
Eg2.1 某人1997年1月1日借款1000元，假设 借款年利息为5%，试分别以单利和复利计 算： （1）如果1999年1月1日还款，还款 总额是多少？
（2）如果1997年5月20日还款，还款 总额是多少？
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
a (m )
a
a (m )
a 1v v2 .... 1 1
1v d
a v v2 v3 .... v 1
1v i
两者的关系 a a (1i)
考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为1的永久 m
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t
1 总额函数 A(t):t时资金累积额
2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差
A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累
积函数a(t)
a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率
衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。
i
III 永久递增年金
同学们自己分析，得出结论：
(Ia)
1,(Ia) id
d12
例子：
Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每 年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值 的计算表达式。
寿险精算公式集合
第一章 生命表函数与生命表构造 生存函数 定义S ( x) Pr( X x) 意义：新生儿能活到 x 岁的概率 与分布函数的关系 S ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系 f ( x) S ( x) 新生儿将在 x 岁至 z 岁之间死亡的概率 Pr( x X z ) s( x) s( z) 未来寿命 定义：已经活到 x 岁的人（简记(x)） ，还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作 T(x)。 q Pr( T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) 分布函数： t x
1 x x s ( x) 1
x
De Moivre 模型(1729)
,
0 x
x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
n 1
v
k 0
n 1
k 1
d xk lx
v
k 0
n 1
d vx xk x lx v
M x M xn 1 ( C x k C x k ) Dx k 0 Dx k n
例题：设年龄为 35 岁的人投保离散型的保险金额为 5000 元的 25 年定期保险.求该保单的趸 缴纯保费.
产险精算指标计算公式总结 笔记
产险精算指标计算公式总结笔记产险精算指标计算公式总结一、引言在产险精算领域，精准的指标计算是非常重要的。
只有通过科学的计算，才能更好地评估风险、制定保险方案，并且为保险公司的盈利能力提供支持。
本文将就产险精算指标的计算公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用。
二、总赔付率（Loss Ratio）总赔付率是产险公司经营状况的重要指标之一。
其计算公式为：\[ \text{总赔付率} = \frac{\text{赔付金额}}{\text{已赚保费}} \times 100\% \]其中，赔付金额是指某一特定期间内的承保风险发生的赔付金额，已赚保费是指某一特定期间内的保险合同有效期内所获得的保费收入。
总赔付率的计算公式体现了保险公司在一定期间内的赔付能力和风险控制能力。
通常情况下，总赔付率越低，说明保险公司的盈利能力越强。
三、综合成本率（Combined Ratio）综合成本率是产险公司经营状况的另一个重要指标，其计算公式为：\[ \text{综合成本率} = \frac{\text{总赔付} + \text{营业费用} +\text{账单费用}}{\text{已赚保费}} \times 100\% \]其中，营业费用和账单费用是产险公司在运营过程中产生的相关费用。
综合成本率的计算公式充分反映了保险公司在一定期间内的全部成本占已赚保费的比例，是评估保险公司经营状况和盈利能力的重要指标。
通常情况下，综合成本率越低，说明保险公司的经营效率越高。
四、预期赔付率（Expected Loss Ratio）预期赔付率是指在一定风险水平下的预期理论赔付率，其计算公式为：\[ \text{预期赔付率} = \frac{\text{预期赔付}}{\text{风险单位}}\times 100\% \]其中，预期赔付是指在特定风险水平下的理论赔付金额，风险单位是指被保险对象的风险单位数量。
预期赔付率的计算公式是产险精算中的重要工具之一，能够帮助精算师精确评估风险和制定保险方案。
人民大学《保险精算学》
人民大学《保险精算学》第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的缺失。
二、利息的度量利息能够按照不同的标准来度量，要紧的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积存方式划分：（1）线性积存：单利计息单贴现计息（2）指数积存：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积存值。
因此长期业务一样复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积存值。
因此短期业务一样单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力专门，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情形（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积存值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质差不多上对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时刻顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时刻参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时刻间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）差不多年金约束条件：等时刻间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一样年金不满足差不多年金三个约束条件的年金即为一样年金。
保险精算学4-2
例
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元
保险金在死亡即刻赔付
签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt ) (3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
不同给付时刻精算现值之间的关系
结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则
Ax
i
Ax .
例：设在每一年龄年UDD假设成立，
i 0.05, q35 0.01, A36 0.185. 计算 A35
解：
A36
i
A36
ln1.05 0.185 0.1805. 0.05
A35 vq35 vp35 A36 0.1797
解：设Z表示保险人给付额的现值，T60服从[0.60] 上的均匀分布
E(Z ) 100 1 200 9 190. 10 10
E(Z 2 ) 1002 1 2002 9 37000.
10
10
var(Z ) E(Z 2 ) (E(Z ))2 900
例：设
lx 100 x, 0 x 100,且i 0.05.则求
解：
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
0
1 60
dt
保险精算概念公式
：x 岁死亡概率
表示x 岁的一批人在x ~ x + n 岁之间的死亡人数。
表示x 岁的人群在x ~ x + n 岁的死亡概率
表示 x 岁的人继续存活n 年的概率
表示x 岁的人继续存活n 年并在第n + l 年死亡的概率，或x 岁的人在x + n ~ x + n+1岁死亡的概率
表示x 岁的人在x + n ~ x + n + m 岁之间死亡的概率（或者x 岁的人存活到
x+n 岁并在x+n ~ x+n+m 岁之间死亡的概率
：x 岁的人生存的人年数
但通常0岁组死亡人数的分布很不均匀，一般用下面经验公式计算：
这间接说明0 ~ 1岁之间的婴儿死亡率高于其他年龄段的死亡率
x
q x n d
x n q
x
n
x x x
x n
x n l l l l d q +-=
=
x
n
p x
n x x n l l p +=
x n q x
n
x n x n x n x x n x n x x n x n l d l l l l l q p q +++++++=-⋅=⋅=1x m n q
x n x n x n m x n x n m m
x n x n
x m x n
n m x x n x
x
l l l l l d q p q l l l l ++++++++++--=
⋅=⋅==x L
1
00724.0276.0l
l L +=x
T。
保险精算学2_li
如果每年年初支付：
4 0 0 0 a 60 : 20 4 0 0 0 N 60 N 80 D 60 4 1 9 4 9 .8 1 4 0
实验习题：利用excel编辑 a x : n 和 ax : n
的计算表。
3、2、5 n年延期期末付生存年金（从第n+1年开始支付到终生） n年延期生存年金是投保后经过n年才进入给付的年金。对(x)每 年l元的n年延期期末付生存年金现值以 n a x 表示。
如图：（相当于把 x +1 ~ ∞ 上每年1单位元的年金折算到x的时刻）
3 2 1
Ex Ex Ex
1 1 1
……
……
1
x
x +1
x +2
x +3
x 1
ω -1
（4· 4a）
a x 1E x 2 E x 3 E x
t
Ex
显然， 是保险期分为1年、2年、3年等一系列1元纯粹生存 ax 保险现值之和。 公式（4· 4a）的求和上限为x + t = ω -1 ，t =ω -1-x， ω -1是 生命表中的最大年龄。今后为了方便通常写为∞。
4 0 0 0 a 60 4 0 0 0 4 1 9 6 1 .0 8
6 0 1
4000
D 60
2 6 6 0 6 .0 2
这份保险的现值为41961.08元。 实验习题：利用excel制作 a x 的计算表。 3、2、2 期首付终身生存年金 对（x）岁投保的人每年1元的期初支付终身生存年金，其现值 以 ax 表示。
N x n 1 D x n D xn Dx
3、2、4 期首付n年定期生存年金 以 ax : n 表示对(x)的每年l元期首付n年定期生存年金现值，则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+ (1- )
期首付
- (1- )
终身年金
连续年金
——
n年定期
连续年金
——
n年延期
连续年金
——
递增终身年金
变额年金
期末付
期首付
递增n年定期
变额年金
期末付
期首付
n年定期递增
变额年金
期末付
期首付
递减n年定期
变额年金
期末付
期首付
连续终身递增
变额年金
期末付
期首付
各种年金之间的关系式：
= +
=
=1+
=
=
=
=
= +
= +
=
转换函数的定义
=
= =
= = = =
= =
第四章
寿险名称
现值符号
计算公式
死亡年末给付
终身寿险
n年定期寿险
n年延期寿险
n年养老保险
保额递增的终身寿险
保额递增的n年定期寿险
n年定期递增的终身寿险
递减的n年定期寿险
死亡时给付
终身寿险
n年定期寿险
n年延期寿险
n年养老保险
保额递增的终身寿险
保额递增的n年定期寿险
n年定期递增的终身寿险
n年定期递减的终身寿险= =来自通常以 ， ， 近似 。
寿险与生存年金现值的关系式：
=v -
=v -
= v -
=1-d
=1-d
+i +i =1
=1-
=1- -
=1-
=v -
=v -
= -d
第五章
均衡净保费是基于前面各章节的基础上，综合前面的所有内容，计算以及处理方法类似。
；
；
；
保险精算学公式
第一章
第二章
；
；
第三章
年金名称
给付方式
给付类别
现值符号
计算公式
终身年金
一年给付一次
期末付
期首付
n年定期
一年给付一次
期末付
期首付
n年延期
一年给付一次
期末付
期首付
n年延期的
m年定期
一年给付一次
期末付
期首付
终身年金
一年给付m次
期末付
+
期首付
-
n年延期
一年给付m次
期末付
+
期首付
-
n年定期
一年给付m次