常微分方程积分因子法

§5 积分因子法

本节再来讨论§1剩下的没有解决的第三个问题.即当方程

),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.5( 不满足条件x

Q y P ∂∂=∂∂时，有什么办法能把它变为恰当方程呢？由一阶微分的形式不变性，易见变量代换发在这里是无能为力的.但在§2对变量分离方程

0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X ， 虽然一般来说它不是恰当方程，然而用)

()(1),(11y Y x X y x =μ乘方程两侧，就得到一个恰当方程 0)

()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X . 由以上作法我们得到启示，分离变量法可以推广而成为对方程)1.5(能够适用的积分因子法.就是说，对一般的方程)1.5(，设法寻找一个可微的非零函数),(y x μμ=，使得方程

0),(),(),(),(=+dy y x Q y x dx y x P y x μμ )2.5(

成为恰当方程，亦即

x

Q y P ∂∂=∂∂)()(μμ )3.5( 满足这一条件的),(y x μ称为方程)1.5(的一个积分因子.

由条件)3.5(，可以看出),(y x μ应满足方程

)(y

P x Q x Q y P ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμμ )4.5( )4.5(是一阶线性偏微分方程.对于一般的一次连续可微函数),(),,(y x Q y x P ，

虽然可证)4.5(的解一定存在，但要想通过解方程)4.5(来求积分因子，从而得到方程)1.5(的解，将比求解)1.5(本身更困难.然而，在若干特殊情形中，利用)4.5(去寻求)1.5(的积分因子却是可行的.也就是说，)4.5(为我们提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径.

例如，对于方程)1.5(，如果存在只与x 有关的积分因子)(x μμ=，则0=∂∂y

μ，这时)4.5(变成 μμ)(x

Q y P dx d Q ∂∂-∂∂=，

或者

)

,(),(),()()(1y x Q x y x Q y y x P dx x d x ∂∂-∂∂=μμ )5.5( 由此可知，要)5.5(有解，其充要条件是：

)()

,(),(),(x G y x Q x y x Q y y x P =∂∂-∂∂ )6.5( 即与y 无关.当此条件满足时，便可由)5.5(式求得方程)1.5(的一个积分因子

⎰=dx x G e x )()(μ )7.5(

把上面的讨论用定理的形式写出即为

定理4 微分方程)1.5(有一个只依赖于x 的积分因子的充要条件是：表达式)6.5(只依赖于x ，而与y 无关；而且由)7.5(所确定的函数)(x μ是方程)1.5(的一个积分因子.

同理，可以得到如下平行的结果.

定理5 微分方程)1.5(有一个只依赖于y 的积分因子的充要条件是：表达式

)()

,(),(),(y H y x P y y x P x y x Q =∂∂-∂∂ 只依赖于y ，而与x 无关；而且此时函数⎰

=dy y H e y )()(μ是方程)1.5(的一个积分因子. 例1 求解微分方程

0)2()3(23=-++dy x y x dx y x )8.5(

解 这里14,1-=∂∂=∂∂xy x

Q y P ，因此原方程不是恰当方程，由于

x x Q y P Q 2)(1-=∂∂-∂∂， 于是由定理4知，原方程有积分因子

2

)2

(1)(x e x dx x =⎰=-μ. 将它乘)8.5(式，得到一个恰当方程

0232=-++x

xdy ydx ydy xdx ，

由此可求得通积分

C x

y y x =-+2223. 值得注意的是，同一个微分方程可以有许多积分因子，例如0=-xdy ydx 这么一个简单的微分方程，由于

2)(x

ydx xdy x y d -=， 2)(y

xdy ydx y x d -=， 2

2)(arctan y x xdy ydx y x d +-=， xy

xdy ydx y x d -=)(ln . 于是xy

y x y x 1,1,1,12222+等都是这个微分方程的积分因子.由此再来看上面的例1，将)8.5(式的左端分成两组：

0)()23(23=-++xdy ydx ydy x dx x .

其中第二组由上述讨论知，有积分因子xy y x y x 11,1,12222或+，若同时考虑到第一组，则21(x x =）μ是两组的公共的积分因子，从而是方程)8.5(的积分因子.

为了使这种分组求积分因子的方法一般化，给出下面的有关积分因子的一个性质定理.

定理6 若),(y x μμ=是方程)1.5(的一个积分因子，使得

),(),(),(),(),(y x d dy y x Q y x dx y x P y x Φ=+μμ

则)),((),(y x g y x Φμ也是)1.5(的积分因子，其中)(⋅g 是任一可微的非零函数.

证明 ),()),(()),(),())(,((),(y x d y x g dy y x Q dx y x P y x g y x ΦΦ=+Φμ

⎰ΦΦ=d g d )(，

所以)),((),(y x g y x Φμ也是)1.5(的积分因子.

下面就介绍分组求积分因子法.

设将方程)1.5(的左端分成两组，即写成：

0)()(2211=+++dy Q dx P dy Q dx P ，