与圆有关的最值问题(汇总).ppt

圆心C 1, 2,半径r 2
设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a、b 当a b 0时，切线方程可设为y kx
即kx y 0 由点到直线的距离公式得：
k 2
2
k 2 6
k 2 12
切线方程为y 2 .精品课件. 6 x
16
当a b 0时，切线方程可设为 x y 1 ab
圆心C到Q的距离 CQ ，而 CQ 的最小
值就是圆心到直线的距离 CH .
.精品课件.
5
PQ CQ 1 CH 1
005
1 5 1
12 22
PQ 的最小值为 5-1 点评：到圆上一点距离的最值问题 总是转化为到圆心距离的最值问题。
.精品课件.
6
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：
例3：已知定点A1,0, B1,0和圆x 32 y 42 4
x2 y2有最值。
易求得P
9 5
, 12 5
时,x2
y2最小为20
求得P
21 , 5
28 5
时,x2
y2最大为100
.精品课件.
8
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
（1）3x 4 y （2）x2 y2 （3）y 2
解：（1）法一：令
x y
上的动点P，求使 PA 2 PB 2 最值时点P的坐标。
解：设P x, y
PA 2 PB 2 x 12 y2 x 12 y2
2 x2 y2 1
上式中x2 y2相当于在 x 32 y 42 4
上的点P到原点O的距.离精品课的件.平方。
7
作图不难知道，当O0,0, P x, y,3, 4共线时,
.精品课件.
1
ox
10
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
（1）3x 4 y （2）x2 y2
解：（3）法一：由（1）知 :
（3）y 2 x 1
k 3 sin ,得sin k cos k 3 1 cos
即 1 k 2 sin( ) k 3
9
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
（1）3x 4 y （2）x2 y2
解：（2）法一：由（1）知 :
（3）y 2 x 1
x2 y2 cos2 (1 sin )2 2 2sin
x2 y2的最大值为4，最小值为0
y
法二：x2 y2 ( x2 y2 )2可看作圆 x2 ( y 1)2 1上的点到坐标原点距离 的平方的最值，亦可求解
解：已知圆可化为： x 12 y 12 1 圆心C 1,1,半径r 1
SPACB 2SPAC PA • AC
PC 2 r2 • r PC 2 1
.精品课件.
3
求SPACB的最小值就是求 PC 的最小值， 而 PC 的最小值就是圆心到直线的距离.
348
d
3
32 42
所求面积的最小值为
.精品课件.
13
由圆心到直线的距离等于半径，得：
d 4 9 12 1 r 42 32 5
r2 1
x
25
12
y
32
的最小值
1 25
点评：在线性规划中，求形如 x a2 y b2 的
最值问题，总是转化为求圆 x a2 y b2 r2
半径平方的最值问题。.精品课件.
14
S 91 2 2
点评：求切线长时总是转化为
到圆心的距离和半径来求解。
.精品课件.
4
二、到圆上一点距离的最值问题：
例2：已知P是圆x2 y2 1上一点，Q是直线
l : x 2y 5 0上一点，求 PQ 的最小值。
解：圆心C 0,0,半径r 1,
作 CH l 与H
求圆上一点P到Q的距离可以转化为
sin( ) k 3 ,则 k 3 1,k 4
1 k2
1 k2
3
y x
2 1
有最小值为
4 ，无最大值
3
.精品课件.
11
法二：y 2 y (2) 可看作圆 x 1 x (1)
x2 ( y 1)2 1上的点与P(1, 2)两点的 连线的斜率最值，结合图形可求解
y
1
ox
P( 1,2 )
PM PO PC 2 MC 2 PO 2
即k x 12 y 22 2 x2 y2
x 2y 3 2
PM PO
x2 y2
Fra Baidu bibliotek
2
y
3 2
2
y2
5y2 6y 9 4
即x y a 0 由点到直线的距离公式得：
1 2 a 2
12 12 a 1或a 3
切线方程为x y 1 0或x y 3 0
总之，所求切线方程为y 2 6 x,
x y 1 0或x y 3 .精品课件. 0
17
2.连结MC,则 PM 2 PC 2 MC 2
.精品课件.
12
四、与圆半径有关的最值问题：
x0
例4：设x，y满足
yx
求x 12 y 32的最小值。
4x 3y 12
Y Y=X
解：设 x 12 y 32 r2
则圆心C 1,3,半径为r.
O
X
4x+3y=12
由图观察知，当圆与直线4x 3y 12 0
相切是，半径r最小，即r 2最小。
练习2：已知圆C：x2 y2 2x 4 y 3 0
1.若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，
求切线的方程；
2.从圆C外一点P x, y向圆引切线PM，
M为切点，O为坐标原点，且 PM PO ， 求使 PM 最小的点P的坐标。
.精品课件.
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解：1.圆C可化为： x 12 y 22 2
cos
1 sin
,
则
x 1
3x 4 y 3cos 4 4sin 5sin( ) 4
3x 4 y的最大值为9，最小值为1
法二：设3x 4 y t,直线与圆相切时取最值
于是 3 0 41 t 1, t 4 5,t 9或 1 5
3x 4 y的最大值为9，.精最品课小件.值为 1
.精品课件.
1
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题; 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
.精品课件.
2
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4y 8 0上的动点，PA, PB 是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。