高二理科数学期中考试卷及答案

20１2-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题

数 学 (理 科）

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U =R ，集合{|22}A x x =-<<,2{|20}B x x x =-≤,则=⋂B A （ )

A.(0,2)

B.(0,2] ﻩ

C.[0,2]ﻩ

D.[0,2)

2． 若复数(1-ｉ)(a +i )是实数(i 是虚数单位),则实数a 的值为（ ）

A ．2- B.1-

C.1 D ．2

３. 已知向量

p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为( ）

Ｂ C.5 Ｄ.13 ４. 函数ln x

y x

=

在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 Ｃ.有极小值 D ５. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（ A ．2 B ．3 C ．4 D.5 6. 设p :0m ≤，q :关于x 的方程2

0x x m +-= 有实数根，则p ⌝

是q 的( ）

A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 的分配方法种数为（ )

A.96 B ．114

Ｃ.12８ D ．１36

N

M

D 1

C 1

B 1

A

1

D C

B

A

图3

(度)

150

140110100 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 长

为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点 N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）

Ａ．4π Ｂ.2π Ｃ.π D.

2

π 图2

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,满分30分. 9.为了了解某地居民月均用电 的基本情况, 抽取出该地区若 干户居民的用电数据, 得到频

率分布直方图如图３所示, 若 月均用电量在区间[)110,120 上共有１50户, 则月均用电量 在区间[)120,150上的居民

共有 户.

10. 以抛物线2

:8C y x =上的一点A 为圆心作圆,

若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点,那么该圆的方程为 . １1. 如果1()n

x

x

展开式中，第四项与第六项的系数相等, 则n ＝ ，展开式中的常数项的值等于 ． 12． △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为

a 、

b 、

c ，已知3,,3

c C π

==

2a b =, 则b 的值为 .

1３. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须

满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪

-≤⎨⎪<⎩

则该校招聘的教师最多是 名.

甲

D

C B

A

F E

乙

D

B

A

14. 在极坐标系中,若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则

AB = .

三、解答题：本大题共６小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分)

已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ）.

(1) 当x 取什么值时，函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ

为锐角，且83

f πθ⎛⎫

+= ⎪

⎝

⎭,求tan θ的值．

16.（本小题满分１2分)

某地区预计从201１年初开始的第x 月,商品Ａ的价格)6912(2

1)(2

+-=

x x x f （ 12,≤∈x N x ,价格单位:元）,且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g (单位：万件）.(1)2０

1１年的最低价格是多少？

（2)201１年的哪一个月的销售收入最少？

１７.(本小题满分１4分） 如图甲,在平面四边形ABCD 中，

已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ＡＢCD 沿BD 折起, 使平面ＡBD ⊥平面BDC(如图乙）,设点Ｅ、Ｆ分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:ＤＣ⊥平面AB Ｃ;

(２)求ＢF 与平面ABC 所成角的正弦; (3)求二面角B －ＥF-A 的余弦.

18.（本小题满分1４分)

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为e =以原点为圆心,椭圆短半轴长

为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆C 上的

动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合,设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ,证明:k

k 2

1

⋅为定值;

(Ⅲ)M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,若OP

OM

λ=，求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．

19.(本小题满分14分） 设函数231

2

)(bx ax e

x x f x ++=-，

已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点. （1）求a 和ｂ的值; (2）设23

3

2)(x x x g -=

， 试比较)(x f 与)(x g 的大小.

2０．(本小题满分14分）

已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图. (Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式;

(Ⅲ）求数列)}3({1

-+n n a n 的前n 项和n T