离散数学第五版第九章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

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9.1二元运算及其性质
四、单位元和幺元
1. 幺元的定义（定义9.6）
设为S上的二元运算,如果存在 xS都有
el
(或 e r )S使得对于任何
则称
el x = x(或 x er =x) el (或 er )是S中关于运算的一个左幺元(或右幺
元)。若eS关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e
yl x e
(或x yr e)
则称 yl (或yr ) 是x的左逆元（或右逆元）。若yS既是x 的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元。如果x的逆元
存在，则称x是可逆的。
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9.1二元运算及其性质
2. 逆元的唯一定理（定理9.3）
如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr 则有
设为S上可结合的二元运算,eS为运算的单位元，对于xS，
零元，如果S至少有两个元素，则e。
证明：假设e=,则xS有 x=e x= x= 则 x==e ,S中只有一个元素 又因为S中至少有两个元素，矛盾 所以： e
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9.1二元运算及其性质
五、逆元
1. 逆元的定义（定义9.6）
设为S上的二元运算,eS为运算的幺元，对于xS， 如果存在 yl S (或yr S ) 使得
yl yr y
则y是x的唯一逆元。
证： yl yl e yl ( x y r ) ( yl x ) y r e yr yr
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9.1二元运算及其性质
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下
条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
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9.1二元运算及其性质
例4：在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上，一
个数的相反数、倒数是否为这些集合上的一元运 算？ 例5：在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的 绝对补运算～是否为P(S)上的一元运算？
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9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表，
分别为运算的左零元和
右零元，则有
l = r =
且为S上关于运算的唯一的零元。 证：
l r l（将 l 做为左零元） l r r （将 r 做为右零元） 所以： l r
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9.1二元运算及其性质
3. 幺元与零元的定理
设为S上的二元运算, e，分别为运算的幺元和
设为S上的二元运算,
el ， e r
分别为运算的左幺元和
右幺元，则有
el= er =e
且e为S上关于运算的唯一的幺元。
证： el er er（将el 做为左幺元） el er el （将er 做为右幺元） 所以：el er e
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9.1二元运算及其性质
四、零元
1. 零元的定义（定义9.6）
为S上关于运算的幺元。
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9.1二元运算及其性质
例8：
自然数集N上的加法 自然数集N上的乘法 自然数集N上的除法 幂集P(S)上的运算 幺元，幺元是 幺元，幺元是 幺元，幺元是 幺元，幺元是 。 。 。 。
幂集P(S)上的运算
幺元，幺元是
。
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9.1二元运算及其性质
2. 单位元和幺元的唯一定理（定理9.1）
3) f ( x, y ) x y
4) f ( x, y ) x y
例3：S为任意集合，则在f:P(A)×P(A)P(A)上， 、、、是否为二元运算？
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9.1二元运算及其性质
二、n元运算的定义(定义9.2)
设S为集合，n为正整数，则函数 f：S×S×……×SS 称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。 （1）当n=1时，则函数f:SS为S上的一元运算，如(x)=y （2）当n=2时，则函数f:S×SS为S上的二元运算。 (x，y)=z （3）当n=3时，则函数f:S×S×SS为S上的三元运算。 (x，y，z)=t
例7：设S={1,2,3,4},定义S上的二元关系如下：
xy=(x*y)mod 5 x,yS。 求的运算列表。

1 2 3 4
1
1 2 3 4
2
2 4 1 3
3
3 1 4 2
4
4 3 2 1
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9.1二元运算及其性质
三、二元运算的主要性质
（1）交换律（定义9.3）
设为S上的二元运算.如果对于任意的x,yS都有
集合的、是复合等幂律的。
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9.1二元运算及其性质
（4）分配律（定义9.4） 设和*是S上的两个二元运算,如果对于任意的x，y，zS有 x*(yz)=(x*y)(x*z) (yz)*x=(y*x)(z*x) (左分配律) (右分配律)
则称运算*对是可分配的，也称*对适合分配律。
设为S上的二元运算,如果存在 l (或 r )S使得对于任何 xS都有
l x = l(或 x r = r) 则称 l (或 r )是S中关于运算的一个左零元(或右零元)。
若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于
运算的零元。
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9.1二元运算及其性质
其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai ~ai

{1} {2}

{1} {2}
{1}
{1} {1,2} {2}
{2}
{2} {1,2} {1}
{1,2}
{1,2} {2} {1}
8

{1}
{1,2}
{1}
{2}
{1,2}
{2}

{1,2} {1,2}
9.1二元运算及其性质
例11： <N,+>、<N,+,->、<Z,+,->、<Z,+,,×>是否为代数系统？ <P(S),,>, <P(S),,->是否为代数系统？
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9.2 代数系统
二、特异元素、代数常数的定义
代数系统中对于给定的二元运算存在幺元或零元， 并且它们对该系统的性质起着重要的作用，称之 为该系统的特异元素或代数常数。 例如：
v1=<N,+,0>
v2=<Z,+,0>
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9.2 代数系统
例12： 设V=<Z,+,0>，令 nZ={nz|zZ}.n为自然数， 那么，<nZ,+,0>是否为V的子代数？
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9.2 代数系统
四、平凡子代数与真子代数的定义
对任何代数系统V={S,f1,f2,……,fk}，最大的子代数 就是V本身。如果令V中所有的代数常数构成的集合是 B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则，B就构成了 V的最小子代数。这种最小和最大子代数称为V的平凡 子代数。 如果代数系统V的子代数V’={B,f1,f2,……,fk}， 满足 BS，则称V’为V的真子代数。
例9：
自然数集N上的加法 自然数集N上的乘法 自然数集N上的除法 幂集P(S)上的运算 零元，零元是 零元，零元是 零元，零元是 零元，零元是 。 。 。 。
幂集P(S)上的运算
零元，零元是
。
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9.1二元运算及其性质
2. 零元的唯一定理（定理9.2）
设为S上的二元运算,
l ， r
注:整数集Z、自然数集N、有理数集Q、实数集R上的加法和
乘法都是可结合的；矩阵的加法和乘法也是可结合的； 集合的、、也是可结合的；函数的复合运算也是可
结合的。
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9.1二元运算及其性质
（3）幂等律（定义9.3） 设为S上的二元运算,如果对于任意的xS都有 xx=x
则称运算在S上适合等幂律.
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9.2 代数系统
五、积代数定义（定义9.14）
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统，和*为二元运算。 V1和V2的积代数V1×V2是含有一个二元运算的代书系 统，即V1×V2=<S,>,其中S=S1×S2,对任意的 <x1,y1>,<x2,y2>S1×S2有 <x1,y1><x2,y2>=<x1x2,y1*y2>
4) f ( x, y ) x y
3) f ( x, y ) x y
4) f ( x, y ) x y
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9.1二元运算及其性质
例2：
f : R * R* R * (其中R * 是非零实数 )
1) f ( x, y ) x y
2) f ( x, y ) x y
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
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9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令 ：ZZn，(x)=(x)modn 则是否为G1到G2的同态？
xy=yx 则称运算在S上是可交换的,或者说运算在S上适合交换律. 注:对于二元运算矩阵来说,二元运算满足交换律,则二元 运算矩阵关于主对角线对称。
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9.1二元运算及其性质
（2）结合律（定义9.3） 设为S上的二元运算.如果对于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz) 则称运算在S上是可结合的,或者说运算在S上适合结合律.
离散数学
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第9章 代数系统简介 9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 几个典型的代数系统
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9.1二元运算及其性质
一、二元运算的定义(定义9.1)
设S为集合，函数f:S×SS称为S上的二元运算， 简称为二元运算。
如何判断一个运算是否为集合S上的二元运算？ S中任意两个元素均可以进行这种运算，且运算的 结果是唯一的。 S中任意两个元素的运算结果都属于S，即S对该运
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9.2 代数系统
例13： 设V1=<Z,+,0>，V2=<Z,*,1>,求V1与V2的积代数。 V1×V2=<Z×Z,,<0,1>>,其中： <x1,y1><x2,y2>=<x1+x2,y1*y2>
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9.2 代数系统
六、同态的定义(定义9.15)
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
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9.2 代数系统
一、代数系统的定义(定义9.8)
非空集合S和S上k个运算f1,f2……fk(其中fi为ni元 运算，i=1，2,…，k)组成的系统称为一个代数系 统，简称代数，记作<S, f1,f2……fk >。 判断代数系统的方法：
判断该系统中的每个运算是否为n元运算。
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9.2 代数系统
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9.1二元运算及其性质
（5）吸收律（定义9.5） 设和*是S上的两个可交换的二元运算,如果对于任意的 x，yS有 x*(xy)=x x(x*y)=x
则称运算*和满足吸收律。 例如：幂集P(S)上的和运算满足吸收律。即A,BP(S)
有 A(A B)=A A(A B)=A
它是上所有长度为k的串的集合，特别的： 0
1 2 * 0 1 , * , a1a2a3 am , b1b2 bn 串的连接运算：
a1a2 amb1b2 bn
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第九章 代数系统的一般性质 9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 几个典型的代数系统
<Z,+,0>、<Z,*,1>、<P(S),,, ,S,>
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9.2 代数系统
三、子代数系统、子代数的定义(定义9.13)
设V={S,f1,f2,……,fk}是代数系统，BS且B， 如果B对f1,f2,……,fk都是封闭的，且B和S含有相 同的代数常数，则称<B,f1,f2,……,fk>是V的子代 数系统，简称子代数。 例如：
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9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令 k {vi1 vi2 vik | vi j , j 1,2,, k}
算是封闭的。
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9.1二元运算及其性质
例1：
f :N N N f : Z Z Z
1) f ( x, y ) x y
2) f ( x, y ) x y
1) f ( x, y ) x y
2) f ( x, y ) x y
3) f ( x, y ) x y