高等数学(下)无穷级数PPT课件
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第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
.
1
第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
.
2
一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 32n(n0,1,2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
.
5
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a 1
q q
n
当q 1时， 由于 limqn0,从而
级数的前 n 项和
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
k 1
称为级数的部分和.
.
4
若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 S u n
n 1
若limSn不存,在则称无穷级数发散 .
n
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2 为级数的余项. 显然 nl im rn 0
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
.
7
例2. 判(别1 )下n 列1 l级n n 数n 1 的;敛散性:
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
n 1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
.
10
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un vn )
必发散 .
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n 有界 .
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN, 有unkvn(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1
p1,因为当n 1 x n 时,
1 np
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
1 2
1 3
1 3
1 4
1nn11
1 1 1 (n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
.
9
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 u n 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n 1
n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
a 0 a1 a2 an n时,这个和逼近于圆的面积 A .
即 A a 0 a 1 a 2 a n
.
3
定义：给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n,将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n1
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
例如，( 1 1 ) ( 1 1 ) 0 ,但 1 1 1 1 发散.
.
12
三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数 S u n , 则必有nl im un0. n 1
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 ( 1 )n 1n ,其一般项为
因此级数收敛 , 其和n 为1 a q ;
limSn
n
1aq
当q
1时,由于 limqn,从而
n
nl im Sn,
因此级数发散 .
.
6
2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 )n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
lnn(1) (n ） 技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求 和
.
8
(2) Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
wk.baidu.com
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
n 1
.
n 1
16
例1. 讨论 p 级数121p31pn1p(常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若 p1, 因为对一切 nZ ,
1 np
1 n
而调和级数
n
1
1 n
1
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
n
1
n
p
发散 .
.
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2)
若
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 32 1 n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
.
14
第十一章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
.
15
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
n1
但若二级数都发散 , (un vn ) 不一定发散.
n1
例如, 取 un(1)2n,vn(1)2n1,
而 unvn0
.
11
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和.
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
2345
n 1
un
(1)n1 n n1
当 n 时 ,un不趋于0, 因此这个级数发散.
.
13
注意: nl im un 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 11111
n1n 2 3
n
虽然 nl im unnl im 1n0， 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
.
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第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
.
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一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 32n(n0,1,2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
.
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a 1
q q
n
当q 1时， 由于 limqn0,从而
级数的前 n 项和
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
k 1
称为级数的部分和.
.
4
若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 S u n
n 1
若limSn不存,在则称无穷级数发散 .
n
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2 为级数的余项. 显然 nl im rn 0
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
.
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例2. 判(别1 )下n 列1 l级n n 数n 1 的;敛散性:
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
n 1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
.
10
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un vn )
必发散 .
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n 有界 .
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN, 有unkvn(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1
p1,因为当n 1 x n 时,
1 np
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
1 2
1 3
1 3
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1nn11
1 1 1 (n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
.
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 u n 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n 1
n 1
乘以常数 c 所得级数 c u n 也收敛 , 其和为 c S .
a 0 a1 a2 an n时,这个和逼近于圆的面积 A .
即 A a 0 a 1 a 2 a n
.
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定义：给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n,将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n1
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
例如，( 1 1 ) ( 1 1 ) 0 ,但 1 1 1 1 发散.
.
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三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数 S u n , 则必有nl im un0. n 1
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 ( 1 )n 1n ,其一般项为
因此级数收敛 , 其和n 为1 a q ;
limSn
n
1aq
当q
1时,由于 limqn,从而
n
nl im Sn,
因此级数发散 .
.
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2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 )n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
lnn(1) (n ） 技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求 和
.
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(2) Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
wk.baidu.com
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
n 1
.
n 1
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例1. 讨论 p 级数121p31pn1p(常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若 p1, 因为对一切 nZ ,
1 np
1 n
而调和级数
n
1
1 n
1
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
n
1
n
p
发散 .
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2)
若
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 32 1 n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
.
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第十一章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
.
15
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
n1
但若二级数都发散 , (un vn ) 不一定发散.
n1
例如, 取 un(1)2n,vn(1)2n1,
而 unvn0
.
11
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和.
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
2345
n 1
un
(1)n1 n n1
当 n 时 ,un不趋于0, 因此这个级数发散.
.
13
注意: nl im un 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 11111
n1n 2 3
n
虽然 nl im unnl im 1n0， 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则