弹性力学的半逆解法

弹性力学的半逆解法研究

指导老师：刘平

姓名：曹天阁

班级：研13

学号：M13746

弹性力学的半逆解法研究

姓名：曹天阁学号：M13746

摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。

关键词:弹性力学;解析法;应力函数

THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。

Key words:elasticity;analysis method;stress function

半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。

实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此，我们可以在假设某一应力分量，利用平衡方程求出其余的应力分量后再代入相容方程求解。这样，由于未经过消元运算，所以方程的阶数较低，可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解，还可以通过放松边界条件，进而求出一组近似解[2]。由平衡方程可以看出，通过假设剪应力函数而用平衡方程求出其余应力分量较方便。

图1 受均布载荷的简支梁

1 用应力分量函数求解弹性力学问题的实例

1. 1 受均布载荷的简支梁

平面问题的平衡方程与相容方程是

0=∂∂+∂∂y

x yx

x τσ

0=∂∂+

∂∂y

x

y xy στ （1）

0)(2=+∇y x σσ

把(1) 式的前两式分别对 y 与 x 求偏导并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到 04

=∇xy τ （2） 由(2) 式可以看出xy τ函数的指数一般不超过 3 次 ，可以用三次多项式求解 ，也可以直 接利用材料力学结果求解

)

4(622

3y h h qx xy

--=τ

代入方程(1)的前两式积分后可以得出

)(63

2y f h y qx x +-=σ ， )(23233x g h

qx h qy y ++-=σ （3） 把(3)式代入方程(1)的第三式可求出

E Dy Ay h

qy y f +++-=2

334)( （4）

C Bx Ax x g ++-=2

)( （5） 利用边界条件 y = - h/ 2 时 ，σy = - q; y = h/ 2 时 ，σy = 0 ，得到 A = B = 0 ， C =

-

q/

2;利用端部

x = L 截面合力以及合力矩条件

,,,0222

222

ql dy yd d h

h xy y h

h x y h

h x -==⎰

⎰⎰

---τσσ得到h

q

h qL H 53632-= ，K = 0。受均布载荷的简

支梁应力解为

)5

34(6)(6222

23-+-=h y h y x L h qy x σ

2)12)(1(2-+-

=h

y

h y q y σ （6）

)4

(622

3y h h qx xy

--=τ

1. 2 半无限平面受法向集中力的弗拉芒解

[3]

图 2 半无限平面受集中力

对于长度远大于梁高度的地基梁 ，可简化为集中力用作用半无限平面上的平面应变问题(见图 2) 。利用极坐标求解 ，极坐标下的平面问题平衡方程与相容方程是

0=-+

∂∂+

∂∂ρ

σσφ

ρτσφ

ρρφ

ρ

ρ

02=+∂∂+

∂∂ρ

τφρσρ

τρφ

φ

ρφ （7）

0)()(222=∂+∂⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂φρφρρρρρd d （8） 考察主应力坐标系下的拉梅 - 麦克斯韦尔方程[3]

022

111=-+∂∂ρσσσs 01

2

122=-+∂∂ρσσσs 式中，1s ，2s 分别为主应力坐标系下1σ，2σ方向的曲线坐标;1ρ，2ρ分别为主应力坐标系下曲线坐标的曲率半径。

根据边界条件和对称性知道1s 为直线束 ，而2s 为圆弧。所以必有0=ρϕτ ，利用(7) 式积分得到)(ρσφf = 。根据边界条件可知 ，当2

π

θ±=，0)(==ρσφf 。把这一结果

代入平衡方程的另一式 ，则有