管理运筹学 第七章 网络优化模型

T(v5)=7
min {T(v6),T(v7),T(v3), T(v5)}=min {3, 3, 8, 7}=3
P(v6) =3
S={v1 ,v4 , v2 , v6}
S={v1 ,v4 , v2 , v6}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
52
表示。
a1
(v2)钱
a7
a2
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
5
7.1 图与网络的基本概念
7.1.1 图与网络的概念及分类
1、图：图由点和边组成 G=( V, E )
点集V={ vi } 边集E={ ei }
管理运筹学 第七章 网 络优化模型
2020年4月30日星期四
哥尼斯堡七桥问题
A D
C B
A
简捷表示事物之间的
本质联系，归纳事物
C
D
之间的一般规律
B
7.1 图与网络的基本概念
在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱
(v5) 周
e4 (v4) 李
7.3.1 基本概念
1、流量和容量 有向连通图G = ( V，E ),G的每条边（vi，vj）上有非负
数cij称为边的容量，仅有一个入次为0的点vs称为发 点，一个出次为0的点vt称为收点，其余点为中间点 ，这样的网络G称为容量网络，记为G= （V,E,C） 。
7.3 最大流问题
2、可行流和最大流
树叶
分枝点
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
2、树的性质 性质7.1 树中任意两点之间有且只有一条链。 性质7.2 如图G中任意两点之间，有且只有一条 链，则该图G是一个树。 性质7.3 一个树，则m=n-1。 性质7.4 树中任意两个不相邻的点之间增加一 条边，则形成唯一的圈。 性质7.5 一个树如果去掉任何一条边，该图就 不再连通。
( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e8 , v5 )
7.1 图与网络的基本概念
圈：无向图G =（V, E）中起点和终点重合的 链称为圈
初等圈：没有重复点(除起点和终点外)和重复边的 圈称为初等圈 ( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e5 , v1 )
vi cij=5 fij=3
( vi，vj )是不饱和的 vj 间隙为δ12=c12-f12=5 – 3 = 2
7.3 最大流问题
容量网络G，若u为网络中从vs到vt的一条链，u上的边 与u同向的称为前向边，与u反向的称为后向边 给定一个G的一个可 行流，u 如果满足：
则称u为从vs到vt的增广链。
v6
4
v7
8
v8
P(v6) =3
P(v7) =3
T(v3)=8 T(v8)=10 min {T(v3), T(v8)}=min {8, 10}=8
P(v3) =8
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7 , v5 , v3}
L23=8 L53=15 L58=10 L78=11
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7 , v5 , v3}
7.1 图与网络的基本概念
对于有向图来说，如果链和圈中边的方向与有 向图中所标方向相同，那么链就称为道路，圈 就称为回路。
连通图：无向图中，任意两个点之间至少有一 条链相连的图称为连通图
7.1 图与网络的基本概念
6、子图与生成子图：
子图：图G=( V, E )，E’是E的子集，V’是V的子 集，且E’ 的边与V’的顶点想关联， G’=( V’, E’) 是图G的一个子图。 生成子图：若V’=V，则G’是G的生成子图
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7 , v5 , v3 , v8}
P(v1)=0
v1
3
P(v2) =2
2
v2
1 10
P(v4)=1
6
59 P(v5) =6
v4
7
v5
P(v3) =8 v3
6
52
v6
P(v6) =3
4
v7
P(v7) =3
34
8
v8
P(v8) =10
v1到v8的最短路径为{v1 ,v4 , v7 , v5 , v8}，长度为10
7.1 图与网络的基本概念
6、网络：
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
无向网络 有向网络
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
v3
6
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
v3
6
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
1 10
59
P(v4)=1
P(v5) =6
3
v4
7
v5
P(v3) =8 v3
6
52
34
v6
4
v7
P(v6) =3
P(v7) =3
8
v8
P(v8) =10
L38=14 L58=10 L78=11
T(v8)=10
P(v8) =10
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7 , v5 , v3 , v8}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
59
P(v4)=1
P(v5) =6
3
v4
7
v5
6
52
34
v6
4
v7
8
v8
P(v6) =3
P(v7) =3
T(v3)=8 T(v5)=6 T(v8)=11
min {T(v3),T(v5),T(v8)}=min {8, 6, 11}=6
P(v5) =6
7.1 图与网络的基本概念
出次d+(vi) ：有向图中，以vi为始点的边数 入次d-(vi) ：有向图中，以vi为终点的边数
Σd+(v) =Σd-(v) = m
7.1 图与网络的基本概念
5、链、圈、路、回路、连通图：
链：无向图G =（V, E）前后相继的点边序列称为 链 初等链：点边序列中没有重复的点和重复边的链称 为初等链
vs
7
v1
6
v2
24
3
v4
7
4
3
v3
1
v5
9 w
vt
8
为G的割集 其中S =(vs,v1, v3,v4)
= (v2,v5,vt) 割集E’的容量=14
7.3 最大流问题
其中容量最小的割集称为网络G的最小割集 (最小割)
定理7.5：（流量—割集定理）设f为网络G= （V,E,C）的任一可行流，S是任一割集，则 有W (f)≤
每一条边和两个端点关联，一条边可以用两个端点
表示（vi，vj）
e
vi
vj
边数：m ( G ) = | E | 点数： n ( G ) = | V |
7.1 图与网络的基本概念
2、无向图和有向图
无向边：
有向边：
无向图：由无向边构成的图
有向图：由有向边构成的图
7.1 图与网络的基本概念
3、简单图和多重图
P(v2) =2
S={v1 ,v4 , v2}
L12=2 L16=3 L42=11 L47=3
S={v1 ,v4 , v2}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
L16=3 L47=3
52
34
L23=8
v6
4
v7
P(v6) =3
8
v8
L25=7
T(v6)=3 T(v7)=3 T(v3)=8
狄克斯托算法（Dijkstra）的适用条件： 1、用于赋权有向图。
对于赋权无向图的处理 2、权数 wij ≥0
7.2 最短路问题
2、逐次逼近算法 可用于网络中有权数为负数的边
7.2 最短路问题
7.3 最大流问题
8 w
vs
7
6 v1
v2
24
3
v4
7
4
3
v3
1
v5
9 w
vt
8
7.3 最大流问题
34
v6
4
v7
8
v8
P(v6) =3
P(v7) =3
T(v7)=3 T(v3)=8 T(v5)=7 min {T(v7),T(v3),T(v5)}=min {3, 8, 7}=3
百度文库
P(v7) =3
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7}
L47=3 L23=8 L25=7 L67=7
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7}
可行流必须满足的两个条件
（1）容量限定条件： 0≤fij ≤cij （2）流量守恒条件：中间点的流入量等于流出量
3、增广链
饱和边、不饱和边、流量间隙(剩余流量)
1、如果cij=fij，流从vi到vj的方向是饱和的
vi cij=5 fij=5
vj
（vi，vj）是饱和的
2、如果fij<cij，流从vi到vj的方向是不饱和的
定理7.4 可行流f是最大流的充要条件是不存在从vs到 vt的可增广链。
4、割集
8 w
vs
7
v1
6
v2
24
3
v4
7
4
3
v3
1
v5
9 w
vt
S =(vs,v3) = (v1,v2,v4,v5,vt) 为G的割集
8 (vs,v1), (v3,v4), (v3,v5)的容 量和为割集E’的容量=13
8 w
7.1 图与网络的基本概念
在根树中，若每个顶点的出次d-(vi) ≤m，称这棵 树为m叉树。 若每个顶点的出次d-(vi) =m或0，则称这棵树为完 全m叉树
7.2 最短路问题
2
6
v1
v2
v3
1
10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
4
v7
8
v8
求从v1到v8的 最短路径
1、狄克斯托算法（Dijkstra）:标号法 标号：T标号（试探性标号）
最小生成树 权=11
7.1 图与网络的基本概念
5、根树 有向树：若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树， 则称这个有向图为有向树。
根树：有向树T，恰有一个结点入次d-(vi) =0，其余各 点入次d-(vi) =1，则称T为根树
根树中入次d-(vi) =0的点称为根 出次d+(vi) =0称为叶
其他点称为分枝点
P标号（永久性标号）
S={v1} P(v1)=0, T(vi)=∞
P(v1)=0
2
6
V1
V2
V3
1
10
P(v4)=1
5
9
3
V4
7
V5
6
5
2
3
4
V6
4
V7
8
V8
T(v2)=2 , T(v4)=1 , T(v6)=3 min {T(v2),T(v4),T(v6)}=min {2，1，3} =1
P(v4) =1
S={v1 ,v4}
L12=2 L14=1 L16=3
S={v1 ,v4}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
52
34
v6
v7
v8
4
8
T(v2)=2
T(v6)=3 T(v7)=3
min {T(v2),T(v6),T(v7)}=min {2，3，3}=2
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7 , v5}
L23=8 L25=7 L75=6 L78=11
S={v1 ,v4 , v2 , v6 , v7 , v5}
P(v1)=0
v1
2
P(v2) =2
v2
6
1 10
P(v4)=1
59 P(v5) =6
3
v4
7
v5
P(v3) =8 v3
6
52
34
定理7.6：(最大流-最小割定理)任一个网络G中 ，从vi到vj的最大流的流量等于分离vi，vj的最小
割的容量
7.3 最大流问题
7.3.2 最大流算法
(5 , 0)
v1
环：e 9
多重边：e 6 和 e 7
简单图：不含环和多重边
多重图：含多重边
7.1 图与网络的基本概念
判断下列哪些图是简单图，哪些图是多重图？
7.1 图与网络的基本概念
4、次：以点v为端点的边数叫做点v的次，d(v)
奇点：次为奇数 悬挂点：d(v)=1
偶点：次为偶数 孤立点: d(v)=0
定理7.1：任何图，Σd ( vi ) = 2 m 定理7.2：任何图，奇点有偶数个
e5 (v6)吴
(v7)陈
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用下图来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李
(v4)
周(v5)
e5 吴(v6) 陈(v7)
4
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的
关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系
了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就是
一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的弧
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
3、图的生成树
生成树（支撑树）：图G的生成子图是一棵树， 则称该树为G的生成树
图G中属于生成树的边称为树枝，不属于生成树 的边称为弦
定理7.3：图G=（V,E）,有生成树的充分必要条 件为G是连通图
4、最小生成树：图G = ( V，E )的生成树所有树枝上的 权数的总和,称为生成树的权。权数最小的生成树称为 最小生成树。 寻找最小生成树的方法：避圈法、破圈法