波动和波动光学

波动的特点：
•有一定的传播速度 •能量的传播 •反射、折射、干涉和衍射 •相似的波动方程
一、机械波的产生和传播
1、产生机械波的条件 波源：产生机械振动 弹性介质：传播机械振动
2、波动的本质 波动中各质点并不随波前进，传播的是振动 形式和能量
3、波动的特点 沿传播方向各个质点的相位依次落后
4、波动与振动不同 振动——一个质点振动 波动——一系列质点在作振动
3、相位(ωt+Ф)——反映振动的状态 ① 相位： (ωt+Ф)是决定简谐系统状态的物理量
t－t0
t+Ф
ψ
v
0
0
A
0
T/4
/2
0
A
T/2
A
0
T
2
A
0
② 初相位 Ф —— t＝0 时刻的相位
初相位与时间零点的选择有关
③ 相位差 ΔФ
两个振动在同一时刻的相位差 ΔФ=（w2t+Φ2）–（w1t+Φ1） 同一振动在不同时刻的相位差 ΔФ=（wt2+Φ）–（wt1+Φ）
o
c.
2d
o c. x
二、简谐振动的特征量
1、振幅 A ——反映振动幅度的大小
定义：振动量ψ 在振动过程中所能达到的最大值
说明： ✤ A恒为正值 ✤ A的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件决定
2、周期和频率——反映振动的快慢
① 周期 T
定义：完成一次全振动所需要的时间，单位秒（s）
T 2
波的周期只与振源有关，而与传播介质无关
3、波速 v ——波沿波线传播的速度
描速振动状态在介质中传播快慢程度
波速与介质有关
说明： 波速是振动状态传播的速度，也是相位传播的速度——相速 区别波速和质点振动速度 实验表明，波速取决于介质的弹性模量和密度，与振源无关 波长、波速和周期间的关系 同一振源的波在不同介质中波长不同
问题：物理量同时参与两 个互相垂直的不同频率简 谐振动
x Axcos(xt x) y Aycos(yt y)
1、两个分振动的频率相 差很小
2、两个分振动的频率相 差很大，但有简单的整数 比关系
四、不同频率的垂直简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两 个互相垂直的不同频率简 谐振动
x Axcos(1t x) y Aycos(2t y)
EEKEP
1k 2
A 2
2、LC振荡电路
We 2 QC2 co2s(t)
Wm2 QC 2 sin 2(t)
WWe Wm
Q2 2C
五、旋转矢量法
1、旋转矢量图示法
注意： 旋转是匀速的，旋转矢量的
矢端在X轴上的投影点作简谐振动
Yω
M A t M0
o ψP X
参考圆
2、旋转矢量的应用 ✤ 作振动图
✤ 求初相位 ✤ 求速度和加速度 ✤ 振动的合成
拍频
拍
2 1 2
拍的应用
2 A2
o
A
1 A1
x
三、同频率的垂直简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个互相垂直的同频率简谐振动
A x ct o x ) i s A y c ( t o y ) j s(
消去时间t
A x x 2 2A y y 2 22 A x x A yycoys (x)si2(nyx)
点之间的距离
2v
反映波动的空间周期性
说明：
波长——一个完整的“波”的长度
横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离
纵波： `` 密部或疏部 ``
y
λ
λ
x o
反映波动的时间周期 性
2、周期和频率
周期 T ——波传播一个波长所需要的时间
频率ν ——波在单位时间内前进的距离中所包含的波长数
说明：
1 T
波的周期等于波源振动的周期
点的振动规律
2、平面简谐波
av
理想化模型
3、建立波动方程的方法： ➢写出某质点的振动方程
x
➢求出任一质点相对于该质点的相位差
➢写出波动方程
4、波动方程 yAcos([tx)]
v
结论：平面简谐波表达式的关键是波线上任一点的相位比已
知点超前还是落后，这对于横波和纵波都是成立的。
四、描述波动的物理量
1、波长λ——同一波线上两个相邻的、相位差为2π 的振动质
v
v
Aco2s([t x)]Ac
T vT
o2s([T t x)]
1、x一定，则位移仅是时间的函数
2、t 一定，则位移仅是坐标的函数 3、x 和 t 都变化 波的传播是相位的传播
结论：
♫波动方程反映了波的时间和空间双重周期性；
♫时间周期性由周期T代表。从质点看，每个质点振动周期为T； 从波形看，t时刻的波形曲线与t＋T时刻的一致；
Ψ
3、讨论（分振动同频同方向） ① 合振动仍然是简谐振动，且频率为ω ② 合振动的振幅不仅与原振幅有关，而且与初相位差有关 ③ 上述结论可推广到多个同频率平行简谐振动的合成
合振动也是简谐振动
A co t s
二、不同频率平行简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个不 同频率、相同振幅、相同初相 位的平行简谐振动
2 v122 t2 (2拉普拉斯算
七、波速与媒质性质的关系
1、液体和气体（传播纵波）
v B (B容变弹性模 密 量度 ， )
2、固体
v G (横 波) (G切 变 模 量)
v Y (纵 波) (Y杨 氏 模 量)
§9－5 波的能量 能流密度
一、波的能量 能量密度
1、波的能量
① 动能 dk W 1 2(d)V A 2 2si2 [ n (tv x ) ] ② 势能 dP W 1 2(d)V A 2 2si2 [ n (tv x ) ]
2、按波的波前来分——平面波、球面波、柱面波
波射线（波线）——沿传播方向所作的代箭头的线
波振面（波面）——同一时刻，波动传播到的空间各点构成的曲面
波前 ——最前面的波振面 在各向同性介质中波线恒与波面垂直
平面波：波前为平面 球面波：波前为球面 柱面波：波前为柱面
3、按波动的传播来分——行波和驻波
第九章振动和波动基础
机械振动， 电磁振动 …… 广义振动——任一物理量在某一数值附近作周期往复变化
§9－1简谐振动
一、简谐振动
1、弹簧振子的往复运动
第九章振动和波动基础
机械振动， 电磁振动 ……
广义振动——任一物理量在某一数值附近作周期往复变化
§9－1简谐振动
一、简谐振动
1、弹簧振子的往复运动 f kx
♫空间周期性由波长λ代表。从质点看，相隔整数倍波长的质 点同步；从波形看，波形在空间以波长为“周期”分布。
六、波动微分方程
2
x2
1 v2
2
t2
——平面波的波动微分方程
说明：
❀ 任何物理量，只要其时空关系满足此微分方程，则该物理 量就按波的形式传播(适用于一切波形)
❀ 传播速度由方程直接给定
❀ 推广到三维空间
§9－2简谐振动的合成
振动叠加原理——系统的合振动等于各分振动的“和”。
一、同频率的平行简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个同频率的平行简谐振动
1 A 1 c t o 1 ,s 2 A 2 c t o 2 s
12
1、应用解析法 A co t s
A A12A222A1A2cos2(1) 其中 tanA A11csoins11 A A22scion2s2
2、应用旋转矢量法
圆频:率 合:振 A A 1 2 幅 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s 1 )(
初
相 : t位 a 1n A 1si1 n A 2si2 n A 1co1 sA 2co2s
A
A2
合振动 :
Acost
A1
2 1
A2si n2
A1sin1
A1cos1 A2cos2
A 0 2 v0 2
ta 1n (v0 ) w0
注意：Ф一般取值在-π~π（或0 ~ 2π）
例，已知某质点作简谐运动，振动 曲线如图所示，试根据图中数据写 出振动表达式。
四、简谐振动的能量
1、弹簧振子的能量
Ek1 2kA 2sin 2(t) EP1 2k A 2c o2( st)
ox
行波——振动状态和振动能量由波源向外传播的波 驻波——同一直线上振幅、频率相同，反向传播的两列波叠加而成
4、按波动的明显物理性质来分——光波、声波、水波…… 5、按质点的振动行为来分——脉冲波、周期波、简谐波……
三、平面简谐波的波动方程（波函数）
1、波动方程——用已知波源的振动规律，表达出介质中各
小结： 频率、周期：决定于波源 波速：决定于介质 波长：由波源和介质共同确定
五、波动方程是时间和空间的函数
yAcos(t[x)]Aco2s[(tx)]
v
v
Aco2s([T t vxT)]Aco2s([T t x)]
1、x一定，则位移仅是时间的函数
五、波动方程的物理意义
yAcos(t[x)]Aco2s[(tx)]
d2x dt 2
2 x
( k )
m
2、LC振荡电路
L dI q dt C
dd2q 2t 2q
(
1) LC
K C
L
3、简谐振动的微分方程（动力学方程）
d2
dt2
2
物理量对时间的二阶导数与物理量自身成正比，但符号相反
4、简谐振动的运动学方程
A co ts()
位 移 A co t s( )
速v 度 d A si n t () dt
加速 ad d 度 2 2t 2A co ts ()
x、、a
2A
a
A
A
x
o
-A
- A
T t
-2A >0
<0
a<0 <0
<0
>0
>0
>0
减速 加速
减速 加速
5、简谐振动的特点（以弹簧振子为例）
例，如图，两轮的轴互相平行，相距为2d，其转速相同，转向相 反，将质量为m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系 数为μ，当木板偏离对称位置后，它将如何运动？
说明（两个振动）：
✍ ΔФ>0 振动（2）超前于振动（1） ✍ ΔФ<0 振动（2）落后于振动（1） ✍ ΔФ＝±2kπ，k＝0,1,2…，同相（步调相同） ✍ ΔФ＝±2(k+1)π，k＝0,1,2…，反相（步调相反）
三、A 和Ф 的确定
t 0 : 0 A co , s tt 0 v 0 Asin
1 A0 cos( 1t) 2 A0 cos( 2t)
合振动
2A 0co 2 2 s1tco 2 2 s1t
讨论:合振动振幅的变化规律
A2A0cos2
1
2
t
2 A2
o
A
1 A1
ψ
讨论:合振动振幅的变化规律
A2A0cos2
1
2
t
两平行振动合 成时,由于频率 差别造成其合 振动的振幅时 而加强时而减 弱的现象叫拍
1、两个分振动的频率相 差很小
2、两个分振动的频率相 差很大，但有简单的整数 比关系
§9－3 阻尼振动 受迫振动 共振
（了解）
一、阻尼振动——振幅随时间变化而减小的振动
原因：能量损耗
临界阻尼
x
过阻尼
b
oc
t
a
应用：
阻尼
减小阻尼：活塞
增大阻尼：弦乐器，减振器
利用临界阻尼：阻尼天平，灵敏电流计
二、受迫振动——在强迫周期外力作用下系统发生的振动
椭圆方程，形状由分振动的振幅和相位差决定
讨论：
(1)yx0
(Hale Waihona Puke Baidu)yx
(3)y
x
2
(4)yx
3
2
y
Ay Ax
x
y
Ay Ax
x
2 x
Ax2
2 y
Ay2
1
2 x
Ax2
2 y
Ay2
1
（5）当 0 <ΔФ<π 时，质点沿顺时针方向运动 当 -π<ΔФ< 0 时，质点沿逆时针方向运动
顺时针 逆时针
四、不同频率的垂直简谐振动的合成
说明： 稳定状态时振动频率为强迫力的频率 振幅依赖于系统固有频率、阻尼大小及强迫力
三、共振——强迫力频率
与系统固有频率相同时，受 迫振动的振幅达到最大值的 现象
应用： 利用：乐器； 收音机；核磁共振 防止方法：改 变固有频率，改变 外力周期性，增大 阻尼，减振
§9－4 简谐波 （机械波）
波动 ——振动状态的传播过程 机械波——机械振动在介质中的传播（声波、水波、地震波） 电磁波——电磁场在空间的传播（无线电波、光波）
o
a●
u
x
质点的振动方向与波的 传播方向垂直。
波峰——波形凸起部分 波谷——波形凹下部分
b、纵波 质点的振动方向与波的传播方向平行。
表现为疏密状态沿波传播方向移动。
b、纵波 质点的振动方向与波的传播方向平行。
表现为疏密状态沿波传播方向移动。
说明： 横波的传播表现为波峰、波谷的传播 纵波的传播表现为疏、密状态的传播
② 频率 ν
定义：单位时间内的全振动次数，单位赫兹（Hz）
1 T 2
③ 圆频率 ω
定义：2π秒时间内的全振动次数，单位弧度/秒（rad·s-1）
2 2
T
说明： 简谐振动的基本特征是其周期性 周期或频率均由系统本身性质决定 简谐振动的表达式
A co t s ) A ( c2 o t s ) ( A c2 o t s)( T
5、如何判断各质点振动方向
t后的波形图
传播方向
二、波的类型
1、按介质质点的振动方向与波动传播方向分——横波与纵波
a、横波
y
b
●
o
a●
u
x
质点的振动方向与波的传 播方向垂直。
波峰——波形凸起部分 波谷——波形凹下部分
二、波的类型
1、按介质质点的振动方向与波动传播方向来分——横波与纵波
a、横波
y
b
●