高中数学排列与组合

10.2 排列与组合

一、填空题

1.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有_____种(用数字作答).

解析分两步完成:第一步将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有

211 421

2

2

C C C

A

⋅⋅

;

第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有

3

3

A,所以满足条件得分配的方案

有

3

3

211

42136

2

2

C C C

A

A

⋅

⋅=

g

种.

答案 36

2.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为_______种．

解析第一步，先将1,3,5分成两组，共C

32A

2

2种方法；第二步，将2,4,6排成一

排，共A

3

3种方法；第三步：将两组奇数插到三个偶数形成的四个空位，共有

A 42种方法.综上共有C

3

2A

2

2A

3

3A

4

2＝3×2×6×12＝432(种).

答案 432

3．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有________．

解析若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有A2

2A2

3

＝12(种)；若四

人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：C1

2A1

2

A3

3

＝24(种)，由分类

计数原理知不同的选派方案共有36种．

答案36

4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是_______种．

解析考虑特殊元素(位置)优先安排法．

第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有C1

3C2

4

A3

3

＝108.

第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C2

3A3

3

＝18，

∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.

答案 126

5．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．

解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类

选1门，共有C1

3C2

4

＋C2

3

C1

4

＝18＋12＝30(种)选法．

法二总共有C3

7

＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的

C3

4

＝4(种)，共有30种选法．

答案30

6．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．

解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A3

4

种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共

C2 3A2

4

种方法，由分类计数原理共A3

4

＋C2

3

A2

4

＝60种方法．

答案60

7．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D 实验，下午不能做E实验，则不同的安排方式共有_______种．

解析根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E实验，其余三人分别做A，B，C实验，有C14·A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E实验的同学下午选D实验，另三位同学对A，B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝1×2＝2种；

②上午选E实验的同学下午选A，B，C实验之一，另外三位从剩下的两项和D 一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N2＝C13·3＝9种，于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264种．

答案 264种

8．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、

化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A4

7

＝840种．答案840

9．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．

解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C2

5

种选法，连同甲、乙共4辆车，排

列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C2

4

种，最后安

排其他两辆车共有A2

2种方法，∴不同的调度方法为C2

5

·C2

4

·A2

2

＝120种．

答案120

10．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是________．

解析A5

5－2A2

2

A2

3

A2

2

－A2

2

A2

2

A3

3

＝48.

答案48

11．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________种．

解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学

生有C2

4A3

3

种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条

件的不同方案共有C2

4A3

3

－C2

3

A2

2

－C1

3

A2

2

＝24(种)．

答案24

12．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案数为________．

解析将8名售票员平分为4组，有C2

8C2

6

C2

4

÷A4

4

，再分配司机有A4

4

，由此得分配

方案数为C2

8C2

6

C2

4

.

答案C2

8C2 6 C2

4

13.已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素，构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为.

解析若不考虑限定条件，确定的点的个数为C

11C

2

1C

3

1A

3

3＝36，但集合B、C中有

相同元素1，由5,1,1三个数确定的相同的点有三个.