高考数学二轮复习 专题六 概率与统计 第2讲 统计与统计案例训练 文

专题六概率与统计第2讲统计与统计案例训练文
一、选择题
1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A.19
B.20
C.21.5
D.23
解析由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20，20，所以这组数据的中位数为20.
答案B
2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( ) A.p1＝p2＜p3 B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2
D.p1＝p2＝p3
解析由于三种抽样过程中每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
答案D
3.(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56
B.60
C.120
D.140
解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，∴人数是200×0.7＝140人，故选D.
答案D
4.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：
零件数x (个) 10 20 30 加工时间y (分钟)
21
30
39
现已求得上表数据线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( ) A.84分钟 B.94分钟 C.102分钟
D.112分钟
解析 由表中数据得：x ＝20，y ＝30，又b ^＝0.9，故a ^＝30－0.9×20＝12，∴y ^
＝0.9x ＋12.将x ＝100代入线性回归方程，得y ^
＝0.9×100＋12＝102.∴预测加工100个零件需要102分钟，故选C. 答案 C
5.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A.1＋a ，4 B.1＋a ，4＋a C.1，4
D.1，4＋a
解析
x 1＋x 2＋…＋x 10
10
＝1，y i ＝x i ＋a ，
所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A. 答案 A 二、填空题
6.某学校有1 200名学生，现采用系统抽样的方法抽取120人做问卷调查，将1 200人按1，2，…，1 200随机编号，则抽取的120人中，编号落入区间[241，480]的人数为________. 解析 根据系统抽样的特点知，组距为1 200120＝10，所以抽取的120人中，编号落入区间
[241，480]的人数为(480－241＋1)÷10＝24. 答案 24
7.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测评中的成绩(均为整数)，其中一个数字模糊不清，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.
解析 由茎叶图可知，x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，
设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9，a ∈N )，则x 乙＝
83＋83＋87＋90＋a ＋995＝88.4＋a
5
.若甲
的平均成绩不超过乙的平均成绩，则88.4＋a
5≥90，解得a ≥8，所以a ＝8或a ＝9，所以
甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为1
5.
答案 15
8.某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.得以下2×2列联表：
高个 非高个 总计 大脚 5 2 7 非大脚 1 12 13 总计
6
14
20
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系. 附：
解析 由题意得K 2
的观测值k ＝20×（5×12－1×2）2
6×14×7×13
≈8.802＞6.635.而K 2
的观测值k
＞6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系. 答案 0.01 三、解答题
9.(2016·广州模拟)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x 的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：
x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是220＋2402
＝230.
因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[220，240]的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280，300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取
25×1
5
＝5(户).
10.(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a 的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数.
解 (1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ， 解得a ＝0.30.
(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以
上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以2≤x <2.5.
由0.50×(x －2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
11.(2016·北京东城模拟)在微信群中抢红包已成为一种娱乐，已知某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解喜欢抢红包是否与性别有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了45人的调查结果，并作出频数统计表如下： 表1：男性
表2：女性
(1)性别有关”；
参考公式：K 2
＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
临界值表：
(2)从表求所选2人中至少有1人是“不喜欢”的概率. 解 (1)设从男性中抽取了m 人，
则m 500＝45500＋400
，m ＝25，
从而知从女性中抽取了20人， ∴x ＝25－20＝5，y ＝20－18＝2. 填写完整的2×2列联表如下：
而K 2
＝30×15×25×20＝30×15×25×20＝8＝1.125<2.706，
∵1－0.9＝0.1，P (K 2
≥2.706)＝0.10，
∴没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”.
(2)由(1)知表1中“一般”的有5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，表2中“不喜欢”的有2人，分别记为a ，b ，
则从中随机选取2人，不同的结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，a }，{A ，
b }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，a }，{B ，b }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，a }，{C ，b }，{D ，E }，{D ，a }，{D ，b }，{E ，a }，{E ，b }，{a ，b }，共21种.
设事件M 表示“所选2人中至少有1人是‘不喜欢’”，则M 为“所选2人都是‘一般’”，事件M 所包含的不同的结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{B ，C }，{B ，
D }，{B ，
E }，{C ，D }，{C ，E }，{D ，E }，共10种.
∴P (M )＝10
21
，
故P (M )＝1－P (M )＝1－1021＝11
21
.。