高中物理中仪器的“串并联”问题

高中物理中仪器的“串并联”问题
湖北省恩施高中陈恩谱
高中物理中常见的“串并联”的仪器有电阻器、弹簧、电容器、电源等，串并联后的仪器的等效特征参量（如“等效电阻”）是我们关注的重点，而这些特征参量都是用比值定义的物理量，对串并联后的仪器的等效特征参量的数值问题，需要从比值定义式中不变的物理量是分子或者分母入手来理解。

很多同学由于不知道这个入手点，就常常将这几个仪器的串并联问题混淆。

一、电阻器的串并联
1、电阻器的电阻的定义式：I
U R =。

2、电阻器的串并联
（1）串联：分母I 相同
通过各个电阻器的I 相同，等效电阻器两端的总电压等于各个电阻器的电压之和：U =U 1+U 2+……则有等效电阻器的电阻为
212121R R I
U I U I U U I U R +=+=+==即：等效电阻器的电阻等于各个电阻器的电阻之和，等效电阻器的电阻大于各个电阻器的电阻，若串联的各个电阻器的阻值R 0相同，则R =nR 0。

（2）并联：分子U 相同
加在各个电阻器两端的U 相同，通过等效电阻器的总电流等于通过各个电阻器的电流之和：I =I 1+I 2+……则有等效电阻器的电阻为
21I I U I U R +==倒过来，即212121111R R U I U I U I I U I R +=+=+==即：等效电阻器的电阻的倒数等于各个电阻器的电阻的倒数之和，等效电阻器的电阻小于各个电阻器的电阻，若并联的各个电阻器的阻值R 0相同，则R =R 0/n 。

二、弹簧的串并联
1、弹簧的劲度系数的定义式：x
F k =。

2、电阻器的串并联
（1）串联：分子F 相同
各个弹簧中的弹力F 相同，等效弹簧的形变量等于各个弹簧形变量之和：x =x 1+x 2+……则等效弹簧的劲度系数为
21x x F x F k +==倒过来，即212121111k k F x F x F x x F x k +=+=+==即：等效弹簧的劲度系数的倒数等于各个弹簧的劲度系数的倒数之和，等效弹簧的劲度系数小于各个弹簧的劲度系数，若串联的各个弹簧的劲度系数k 0相同，则k =k 0/n 。

（2）并联：分母x 相同
各个弹簧的形变量x 相同，等效弹簧的总弹力等于各个弹簧弹力之和：F =F 1+F 2+……则等效弹簧的劲度系数为
212121k k x
F x F x F F x F k +=+=+==
即：等效弹簧的劲度系数等于各个弹簧的劲度系数之和，等效弹簧的劲度系数大于各个弹簧的劲度系数，若并联的各个弹簧的劲度系数k 0相同，则k =nk 0。

【例1】一小组将两个完全相同的轻弹簧分别按图甲和乙连接，等
效为两个新弹簧，测得两个新弹簧的“拉力与弹簧伸长量的关系图象
如图丙所示，则下列说法正确的是()
A.F ＝2N 时甲图中每个弹簧伸长0.1m
B.F ＝2N 时乙图中每个弹簧伸长0.1m
C.原来每个弹簧的劲度系数为20N/m
D.b 为甲图弹簧得到的图象
解析根据弹簧串联与并联的特点可知，两条弹簧并联后新弹簧的劲度系数增大，而串联后新弹簧的劲
度系数相对较小；弹簧的拉力与弹簧伸长量的关系图象中，直线的斜率k ＝F Δx
，对比胡克定律F ＝k Δx 可知，直线的斜率即表示弹簧的劲度系数。

由于a 的劲度系数大，b 的劲度系数小，所以a 为甲图弹簧得到的图象，b 为乙图弹簧得到的图象。

甲图是两根弹簧并联，新弹簧的伸长量等于每一个弹簧的伸长量，所以甲图中，F ＝2N 时每个弹簧都伸长0.1m ，选项A 正确，B 、D 错误；由丙图可知，新弹簧的劲度系数：
k 甲＝F Δx ＝20.1
N/m ＝20N/m ，则原来每个弹簧的劲度系数一定不是20N/m ，选项C 错误。

答案A
【例2】（2014年理综新课标卷Ⅱ）某实验小组探究弹簧的劲度系数k 与其长度(圈数)
的关系。

实验装置如图所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P 0、P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置
的刻度尺，可以读出指针的位置，P 0指向0刻度。

设弹簧下端未挂重物时，各指针的位
置记为x 0;挂有质量为0.100kg 的砝码时，各指针的位置记为x 。

测量结果及部分计算
结果如下表所示(n 为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80m/s 2)。

已知实验所用弹簧的总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88cm 。

P 1P 2P 3P 4P 5P 6x 0(cm) 2.04 4.06 6.068.0510.0312.01x (cm) 2.64 5.267.8110.3012.9315.41n 102030405060k (N/m)163①56.043.633.828.81k (m/N)0.0061②0.01790.02290.02960.0347(1)将表中数据补充完整：①________，
②________。

(2)以n 为横坐标，1k 为纵坐标，在下图给出的坐标纸上画出1k －n 图象。

(3)图中画出的直线可近似认为通过原点。

若从实验中所用的弹簧截取圈数为
n 的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k 与
其圈数n 的关系的表达式为k ＝
________N/m ；该弹簧的劲度系数k 与
其自由长度l 0(单位为m)的关系的表达
式为k ＝________N/m 。

解析(1)k ＝0.981.20×10－2
N/m ＝81.7N/m ，1k ＝0.0122m/N 。

(2)根据实验数据描点，并用一条直线将这些点连接起来即可。

(3)由图象上取两点即可求得k ＝1.75×103n N/m ，而n l 0＝60N 11.88×10－2m ，解得k ＝3.47l 0
N/m 。

答案(1)81.70.0122(2)1k
－n 图象如图所示～1.83×103n 均可～3.62l 0均可本问题实际上就是弹簧的串联问题——我们可以将整个弹簧视为一圈一圈的小弹簧串联而成，由前述分析可知，整个弹簧的劲度系数等于每一圈弹簧的劲度系数的1/n ，即n k k /0=，所以有
011k n k ⋅=，这就是本题图象的实质。

由于弹簧的原长正比于弹簧的匝数，故有0/1l k ∝。

三、电容器的串并联
1、电容器的电容的定义式：U
Q C =。

2、电容器的串并联
（1）串联：分子Q 相同各个电容器极板所带的电荷量Q 相同，等效电容器的总电压等于各个电容器两板间的电压之和：U =U 1+U 2+……则等效电容器的电容为21U U Q U Q C +==
倒过来，即2
12121111C C Q U Q U Q U U Q U C +=+=+==即：等效电容器的电容的倒数等于各个电容器的电容的倒数之和，等效电容器的电容小于各个电容器的电容，若串联的各个电容器的电容C 0相同，则C =C 0/n 。

（2）并联：分母U 相同各个电容两板间的电压U 相同，等效电容器的电荷量等于各个电容器极板所带的电荷量之和：Q =Q 1+Q 2+……则等效电容器的电容为
212121C C U
Q U Q U Q Q U Q C +=+=+==即：等效电容器的电容等于各个电容器的电容之和，等效电容器的电容大于各个电容器的电容，若并联的各个电容器的电容C 0相同，则C =nC 0。

【例】平行班电容器电容决定式的理解
当两极板的正对面积增大时，可认为是在原来的电容器旁并联了一个极板间距相同的电容器，并联电容器的电容等于各个电容器的电容之和，故新的电容器的电容增大。

我们还可以进一步将电容器分成完全相同的小电容器的并联，由前述分析，极易证明平行班电容器的电容正比于两极板的正对面积。

同理，当两极板间距增加时，我们可以想象为在两极板间插入了厚度为0的金属极板，这个金属极板与原来电容器一个极板的距离等于原来电容器两极板间距，这样就可以将新的电容器视为两个电容器的串
联，因此新电容器的电容减小了。

我们甚至还可以想象中将电容器两极板间的间距均分，在每一个等分面上放置一个厚度为0的金属极板，借此可以轻松证明，平行板电容器的电容与极板间距成反比。

四、电源的串并联
1、电源电动势的定义式：q W E 非=。

2、电源的串并联（1）电源的串联：q
W E 非=中分母q 相同通过各个电源的电荷量q 相同，等效电源非静电力做的功等于各个电源中非静电力的功之和：W =W 1+W 2+……则等效电源的电动势为
212121E E q
W q W q W W q W E +=+=+==换一个角度看，串联电源的外电路处于开路时，其两端的电压等于各个电源的开路电压之和U =U 1+U 2+……而每个电源都没有电流通过，则由闭合电路欧姆定律Ir E U -=可知，i i E U =，故有等效电源的电动势为
2
121E E U U U E +=+==开即：等效电源的电动势等于各个电源的电动势之和，等效电源的电动势大于各个电源的电动势，若串的各个电源的电动势E 0相同，则E =nE 0。

【例】法拉第电磁感应定律的理解通过线圈的磁通量发生变化时，每一匝线圈都产生一个电动势t
E ∆∆=Φ0，每一匝线圈都相当于一个电源，整个线圈就可以视为是这些电源的串联，因此，整个线圈的电动势，等于这些电源的电动势之和，即t
n nE E ∆∆==Φ0。

注意，上述分析默认电源之间是同向串联，也就是正负极方向相同，如果正负极方向相反，则很容易证明等效电源的电动势等于正向电动势减去反向电动势。

（2）电源的并联：用开U E =分析
电源并联时，并不像电阻、电容器、弹簧的并联一样存在定义式中分子或者分母代表的物理量相等的情况，因此不方便用定义式q
W E 非=进行分析，因此，电源的并联，我们用等效电压源定理开U E =（参见本书“等效电压源定理及其在高中物理中的应用”一节）来分析。

如图，两个电源电动势、内阻分别为E 1、r 1、E 2、r 2，则两个电源并联后且等效电源的外电路处于开路时，等效电源内部是有电流的，设等效电源内电路中的电流为I ，则有
2121r r E E I +-=
则等效电源两端的开路电压为11Ir E U -=开或2
2Ir E U +=开联立得212112r r E r E r U ++=开即等效电源的电动势为2
12112r r E r E r U E ++==开，若并联的两电源参数（E 0、r 0）是一样的，则等效电源的电动势等于各个电源的电动势0E E =。

E 1
，r
1E 2，r 2。